資源簡介

讓分數應用題的解答
變得具有操作性
解答分數應用題是小學生學習的難點之一，面對分數應用題，小學生會束手無策，那么如何使解答分數應用題的過程變成具有可操作性呢？進行以下專題訓練就能達到。
1. 標準題型按要求訓練
一個數學題目總是需要語言敘述的，語言能反映題目的意思，我們要抓住語言的理解來確定解決問題的方法。
拿到題目認真讀題，按步驟進行：
1．讀題，找到分率句（又稱關系句）
2.找單位“1”。
用“△”表示“比”“是”“占”“相當于”等詞語，它們的后面就是單位“1”；分率前面“的”字也用“△”表示，它的前面也是單位“1”，即標準量。在單位“1”下面畫橫線“ ”，在它的上標明“1”。
3.找比較量。比較量就是誰跟單位“1”在比。“是”“占”“相當于”“比”等詞的前面就能找到比較量。在比較量的下面畫上波浪線“ ”。
4.找比較量的分率。
明確“量”與“分率”的區別：有計量單位的數是“量”，沒有計算單位的分數一般是“分率”。
“是”“占”“相當于”單位“1”的幾分之幾，比較量的分率就是幾分之幾；比單位“1”多幾分之幾，就是多的量是比較量，它的分率就是“”，比單位“1”少幾分之幾，就是少的量是比較量，它的分率就是“ ”。在比較量的上面寫出它對應的分率。
5. 分析分率句，列出等量關系式。
分析復雜分率句除要會找單位“1”外，還要會把“比”字句轉化為“是”字句，然后依據“是”字句較快地列出等量關系式，等量關系式都可以用乘法表示：單位“1”的量×分率=分率的對應量。列方程解就用這個關系式。
6.選擇用乘法或除法計算。
（1）單位“1”的量是已知的，用乘法計算分率的對應量。單位“1”的量×分率=分率的對應量
（2）單位“1”的量是未知的，用方程解法或除法計算。分率的對應量÷對應的分率=單位“1”的量
二．復雜分數應用題的解答不僅要按上面的步驟思考，更要進行畫線段圖表示題意的專題訓練，找準等量關系解答。怎樣畫線段圖表示題意？
讀題分析后，按下面操作：
1.思考題題目中的量是包含關系還是并列關系？包含關系是一個整體里面包含幾個部分量，一般是部分量跟整體比較；并列關系是相比較的兩個（幾個）量是互相獨立的，你不包含我我不包含你。
2.包含關系用一條線段表示，并列關系用兩（幾）條線段表示。
3.先畫標準量即單位“1”，再畫比較量。包含關系在整條線段上分出比較量的線段；并列關系的兩（幾）條線段左邊寫好量的名稱，線段左邊對整齊。
4.根據題意在相應線段上表示分率，在線段下面表示已知條件的量、問題的量。這樣條理清楚，才容易分辨量與分率，容易找到量和分率的對應關系。
5.從已知的量去找對應的分率，從已知的分率去找對應的量。線段是一段線表示一個量或一段線表示一個分率，它們的對應關系容易分辨。特別是有的分率沒直接告訴，而需要尋找和轉化，我們堅信“什么樣的分率對應什么樣的量”，如“總的分率對應總的量”，“相差的分率對應相差的量”，“多（少）的分率對應多（少）的量，”……。
6．找數量之間的等量關系：單位“1”的量×分率=分率的對應量，便于用方程解答。
7. 選擇用乘法或除法計算。
（1）、單位“1”的量是已知的，用乘法計算分率的對應量。單位“1”的量×分率=分率的對應量。
（2）、單位“1”的量是未知的，用方程解法或除法計算。分率的對應量÷對應的分率=單位“1”的量。
如果長期這樣訓練，學生就會形成解答分數應用題的技能。雖然方法比較呆板，但是我在實際教學取得了相當的實效。
二、把握聯系，互通有無，相互轉化
倍數、分數、百分數和比等的知識是相互聯系的，我們要掌握各自的特點，分別訓練，掌握其每種類型的本質特征，然后要復習中認識到它們之間存在著共通之處。所以在六年級總復習時，應從更高的層次對它們進行梳理，使它們相互融通，形成結構，凸顯本質，由此使學生的認知結構得以優化，思維能以得提升，實現溫故知新的復習的。倍數、分數、百分數和比應用問題的聯系、融通與提升，具體而言可從如下幾方面入手。
1.在等價表征中建立聯系
例題1.根據線段圖說數量關系（出示圖1所示的線段圖）。
師：同學們，你們能根據上面的線段圖，說出圖中紅花朵數與白花朵數之間的關系嗎？
生：紅花朵數是白花朵數的。
生：白花朵數是紅花朵數的，白花朵數是紅花朵數的1倍，白花朵數是紅花朵數的1.25倍。
生：紅花和白花朵數的比是4：5。
生：紅花的朵數是白花朵數的80%。
生：紅花是紅花和白花總數的。
生：紅花的朵數比白花少。
生：白花的朵數比紅花的朵數多。……
師：可見，同一個數量關系可用不同方式來表達。不同的表達方式，可以分成哪幾種類型？
生：倍數、比、分數和百分數幾種不同類型。
師：說得很好。剛才同學們說的數量關系確實應用倍數分數百數和比等知識，這些表達數量關系的句子表示的都是同一個數量系系，所以它們之間是等價的。
將倍數、分數、百分數和比幾個方面的知識進行溝通，可通過兩兩聯系的方式進行，這種方式在新知學習的時候就采用過。例如，分數和比都是利用除法來引入和理解的。百分數則是被視一種特殊的分數來引入的。總復習的溝通方式應有別于此，以便一次性地將四方向的知識聯系起來，片斷1采用的方式，是學生對同一線段圖表示的數量關系從不同的角度進行表述，多種不同的知識就被同一個線段圖溝通起來了。這樣，學生就會直觀地感受到倍數分數百分數和比之間的共通與相通之處，自覺產生尋求彼此聯系的需要。
數學理解的實質，是對數學知識的正確、完整、合理的表征，進而言之，是在頭腦中形成數學概念、規則或方法等知識的網絡。片段1中，學生的各種表達的實質是對線段圖蘊含的數量關系進行不同方式的表征，這些表征與線段圖之間以及彼此之間的關系構成了該數量關系的表征網絡。所以，這一過程就是幫助學生深入理解數量關系的過程。
從解題的角度看，片段1中學生表征的數量關系形異而實同，它們之間是等價的。在問題解決中，條件乃至問題之間的等價變換可以使問題得到重新組織。可能某種表征方式比其他方式更有效，更易激活某個適當的解題知識塊，也可能某種表征方式會使條件和問題之間的距離得以縮短。可見，對條件和問題進行等價變換，有助于學生接近或找到解題的路徑。
2.在強化溝通中認識本質
例題2.將條件句換一種說法（出示條件句“男生人數比士生多25%”。）
師：你能根據給定的條件，執不同角度描述男生和女生人數的關系嗎？
生：男生人數是女生的125%。
生：男生人數比女生多。
生：男生人數是女生的。
生：女生人數是男生的。
生：男生與女生人數的比是5： 4。
師：百分數表示的數量關系可轉化成倍數、分數和比的方式，其中用比的方式最容易看出數量間的關系。
例題3.出示下面的條件：（1）已讀頁數是未讀頁數的80%。（2）按原價打八析出售。（3）速度提高了10%。讓學生用比表示題中數量間的關系，師生共同評價。）
師：上面的三個條件句都可以用比的方式來進行等價變換，今后我們要養成這種自覺變換的習慣，這對于我們理解題意、尋找解題思路是大有好處的。
我們知道，除法運算既可以表示兩種數量的等分關系，也可以表示兩種數量的包含關系。前者，是將一個數量平均分成若干份，結果表示每份是多少；后者，是表示一個數量里包含幾個另一個數量，即倍數。分數本身是數，但是也可以將它看成除法運算的另一種表示形式，具體可以表示兩種關系：整體與等分關系，兩個數量之間的整數比關系。前者，指將整體平均分成若干份，表示其中的一份或幾份；后者，指以一個數量為基準，對另一個數量進行倍數的度量。百分數可視為分數的一種特殊表示形式，表示的是一個數占另一個數的百分之幾，顯然也是以一個數量為基準對另一個數量進行倍數的度量，只不過度量的結果是用百分數來表示的。由此可見，倍數、分數與百分數都可以視為兩個數量之間的比例關系，比是它們共有的屬性。因此，凡是用倍數、分數和百分數表示的條件句，都可以轉化為用比表示的條件句。用比表示的條件句，不僅從本質上揭示了兩個數量之間的關系，而且更為簡潔直觀，更易為學生理解。片段2的設計就是這種認識的體現，所要達到的目的就是讓學生感受到在多種等價表征中，比的方式最能揭示數量關系的本質，也最直觀、明了、淺顯。
上述這樣的數量關系的轉化，有助于學生理解題意，探尋解題思路。教學中要經常進行這種轉化訓練，使之成為學生的一種習慣。
3.在問題解決中提升能力
師：同學們，現在老師在剛才的條件句上增添條件，使它成為一個完整的問題，你能解答嗎。
例題4.五年級男生人數比女生多25%。如果男生有100人，女生有多少人？學生獨立解答。教師組織匯報交流。
生：設女生有x人，列方程：x+25%x=1 00
解方程得x=80。
生:由男生人數比女生多25%，可以得到，男生人數是女生的(1+25%)，女生人數有100÷(1+25%)=80(人)。
生:根據條件，女生人數是男生的，女生有100×=80（人）。
生:根據條件，男生與女生人數的比是(1+4)：4=5：4，女生人數有100÷5×4=80(人)。
師:不同的解法有很多，我們就不一一展示了。請大家比較這些解法，你喜歡哪種解法，說說理由。……
師：換一個問題，你們選擇怎樣的方法來解答？
例題5.修一條路，第一周修了全長的，第二周修的是第一周的1.5倍，比第一用多修400米。這條路全長多少米？學生獨立解答。匯報時，學生中出現了三種解法：
1. 400÷[×(1.5-1)]
2.400÷（4×1.5-4）×25
3.400÷(1.5-1) ÷
師：你覺得哪種解法容易理解一些？
生：第二種解法是將路的總長度當成25份，第一周修了4份，第二周修了6份。這種解法比較容易理解。
師：這種方法是將分數與倍數都轉化為份數，這樣能清楚地知道數量之間比的關系，比較容易找到解題的辦法。
倍數、分數、百分數和比的應用問題都含有倍數、分數、百分數和比的條件句蘊含著問題中數量之間的關系。因此，解決倍數、分數、百分數和比的應用問題的關鍵在于對題目中條件句的理解，如果學生能成功“破題”，自然就能找到解題思路。廣而言之，在整個小學數學教學過程中，許多應用問題都必須重視“破題”這個環節。
從問題解決的角度看，將倍數、分數和百分數表示的數量關系轉述為比表示的數量關系，不僅有理解題意的作用，而且這種做法本身就是在進行解題方案的設計。G 波利亞認為，改變已知數據或未知量，以及將兩者同時改變，從而使新的已知數據和未知量彼此更加接近的做法就是在擬訂解題方案。我們可以這樣認為，小學數學解題的過程是一個填補已知條件與所求問題之間空隙的過程，而系，不僅有理解題意的作用，而且這種填補從一定程度上可以被視為已知條件、所求問題或兩者兼而有之的持續的等價變換行為。
另一方面，比在揭示數量關系、促進問題解決上的優勢在簡單的問題中不太明顯，在較為復雜的問題中則體現得更為充分。即當問題中的數量不止兩個時，倍數、分數和百分數表示的條件句都是以某一個數量為基準的，這個基準量可能是同一個，也可能是多個，這樣就使得數量關系不能被直接看清，而用比來表示則可以避免這一問題。例如上述的修路問題，用比的方式表示數量關系為：全程：第一周修的：第二周修的=25:4:6，這樣就非常直觀、明了。學生據此更容易找到正確的解題思路。因此將倍數、分數、百分數、十分數（折數或成數）等表示的條件句轉化為等價的用比表不的條件句，有利于學生理清數量關系，成功解答同題。
通過以上加強訓練，既能突出分數應用題的特點，又能把握小學各種數量關系的聯系，就可以使分數應用題解答變得具有操作性，有途徑可走，小學生解決問題的能力就會逐步提高。
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