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(共26張PPT)
第十三章 軸對稱
13.3.1 第1課時 等腰三角形的性質
隨堂演練
獲取新知
知識回顧
例題講解
課堂小結
知識回顧
在一個三角形中，如果有兩條邊 ，那么這個三角形叫做等腰三角形.
腰
腰
相等
C
B
A
頂角
底邊
底角
底角
獲取新知
探究等腰三角形的性質
如圖所示，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC 有什么特點？
A
B
C
D
仔細觀察自己剪出的等腰三角形紙片，你能發現這個等腰三角形有什么特征嗎？
上述過程中，剪刀剪過的兩邊是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形
（1）把你們準備的頂角分別為銳角、直角和鈍角的等腰三角形拿出來；
（2）把三角形的頂角頂點記為A，底角頂點記為B，C。
（3）把三角形對折，讓兩腰AB，AC重疊在一起，折痕為AD。
觀察后你發現了什么現象？
B
A
C
D
A
B
C
D
做一做
重合的線段 重合的角
　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC= 90°
由這些重合的角，你能發現等腰三角形的性質嗎？
猜想: 等腰三角形的兩個底角相等.
如何證明這個結論呢？
已知：△ABC中，AB=AC,
求證：∠B= C.
A
B
C
驗證結論
A
B
C
D
證明：
作底邊的中線AD，
則BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共邊)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對應角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底邊上的中線
還有其他的證法嗎？
A
B
C
D
證明：
作頂角的平分線AD，
則∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共邊),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對應角相等).
方法二：作頂角的平分線
在△BAD和△CAD中
A
B
C
D
證明：
作BC的高AD，
則∠BDA=∠CDA= 90°.
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共邊),
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對應角相等).
方法三：作底邊的高線
在Rt△BAD和Rt△CAD中
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發現？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性質易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線 .
A
B
C
D
知識要點
性質1:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).
A
C
B
如圖,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等邊對等角).
性質2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.
幾何語言：如圖,在△ABC中,
在等腰三角形中
由任意兩個條件
可以推出第三個
條件
例題講解
例1 如圖，在△ABC中 ，AB=AC，點D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度數。
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等邊對等角)
設∠A=x,則∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
從而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
∴∠A=36°∠ABC=∠C=72°
例2 已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.
(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；
(2)如圖②，若BD＝CE，F為DE的中點，求證：AF⊥BC.
圖②
圖①
證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
圖①
G
證明：(2)∵BD＝CE，F為DE的中點，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
圖②
方法總結：在等腰三角形有關計算或證明中，有時需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．
隨堂演練
(1).等腰三角形的頂角一定是銳角.
(2).等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以.
(3).鈍角三角形不可能是等腰三角形.
(4).等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.
(5).等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.
(6).等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
1.判斷正誤
（√）
(1)等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為____ __；
(2)等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________；
(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為_ ___ _ _.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
2.填空
（4）在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．
A
B
C
70°或20°
注意：當題目未給定三角形的形狀時，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.
A
B
C
課堂小結
等腰三角形的性質
等邊對等角
三線合一
注意是指同一個三角形中
注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質.而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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