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立體幾何中添加輔助線的策略
立體幾何中添加輔助線的主要策略:一是把定義或者定理中缺少的線、面、體補完整;
二是要把已知量和未知量統一在一個圖形中,
如統一在一個三角形中,這樣可以用解三角形
的方法求得一些未知量,再如也可以統一在平行四邊形或其他幾何體中。下面加以說明。
、添加垂線策略。
因為立體幾何的許多定義或定理是與垂線有關的,
如線面角、二面角的定義,點到平面
線到平面、平面到平面距離的定義,三垂線定理,線面垂直、面面垂直的判定及性質定理,
正棱柱、正棱錐的性質,球的性質等,所以運用這些定乂或定理,就需要把沒有的垂線補上。
尤其要注意平面的垂線,因為有了平面的垂線,才能建立空間直角坐標系,扌能使用三垂線
定理或其逆定理。
例1.在三棱錐O_ABC中,三粲棱OA、OB、OC兩兩互相垂直,且OA=OB=OC,M
是AB邊的中點,則OM與平面ABC所成的角的大小是
(用反三角函數表示)
M
少B
圖1
解:如圖1,由題意可設OA=a,則AB=BC=CA=√2a,V。A=-a,O點在底面
6
的射影D為底面△ABC的中心,OD
a。又DM=
MC V3
a,OM與平
面ABC所成角的正切值是tn0=3=√2,所以二面角大小是acan√z。
6
a
點評:本題添加面ABC的垂線OD,正是三棱錐的性質所要求的,一方面它構造出了正
三棱錐里面的Rt△oDM,RtΔoDC,另一方面也構造出了OM與平面ABC所成的角。
二、添加平行線策略。
其目的是把不在一起的線,集中在一個圖形中,構造出三角形、平行四邊形、矩形、菱
形,這樣就可以通過解三角形等,求得要求的量,或者利用三角形、梯形的中位線來作出所
需要的平行線。
例2如圖2,在正方體ABCD-A,B,C,D,中,B,E1=D,F=A1B1,則BE,與DF所成
角的余弦值是()
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15
8
A
B
17
C
7…
C
解析:取AG、AB,易得四邊形ADFG是平行四邊形,則AG/DF,再作E1E∥AG,
四邊形E,EA也是平行四邊形,∠BE,E就是BE,與DF所成角,由余弦定理,算出結果,
選A
點評:求異面直線所成角常采用平移法。
三、向中心對稱圖形對稱中心添加連線策略。
這主要是因為對稱中心是整個圖形的“交
通”樞紐,它可以與周圍的點、線、面關聯起來,常見的有對平行四邊形連對角線,對圓的
問題向圓心連線,對球體問題向球心連線。
例3.如圖3,O是半徑為1的球的球心,點A、B、C在球面上,OA、OB、OC兩兩垂
直,E、F分別是大圓弧AB與AC的中點,則點E、F在該球面上的球面距離是(
2丌
D
4
圖3
解析∶添加輔助線OE、OF,連結EF,構成ΔOEF,關鍵是求∠EOF。為了使EF與已
知粲件更好地聯系起來,過E作EG⊥AO,垂足為G,連結FG,構造ΔGEF,在圖3中,
EG =1 X sin
=FG,∠EGF
EF=√EG2+FG2=1=0E=oF,∠EOF
T
3
點E、F在該球面上的球面距離為三x1=,故選B3
點評∶本題抓住了球心,抓住了弧中點,利用這些特殊點作輔助線是解題的關鍵。
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