資源簡(jiǎn)介

數(shù)學(xué)
均值不等式
被稱為均值不等式。 ·即調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何
平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為 “調(diào)幾算方 ”。
其中： ，被稱為調(diào)和平均數(shù)。
，被稱為幾何平均數(shù)。
，被稱為算術(shù)平均數(shù)。
，被稱為平方平均數(shù)。
一般形式
設(shè)函數(shù) （當(dāng) r不等于 0 時(shí)）； （當(dāng) r=0
時(shí)），有 時(shí)， 。
可以注意到， Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即
。
特例
⑴對(duì)實(shí)數(shù) a,b，有 （當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取“=號(hào)”）， （當(dāng)且僅
當(dāng) a=-b 時(shí)取 “=號(hào)”）
⑵對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù) a,b，有 ，即
⑶對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù) a,b，有
⑷對(duì)實(shí)數(shù) a,b，有
⑸對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù) a,b，有
⑹對(duì)實(shí)數(shù) a,b，有
⑺對(duì)實(shí)數(shù) a,b,c，有
⑻對(duì)非負(fù)數(shù) a,b，有
⑼對(duì)非負(fù)數(shù) a,b,c，有
在幾個(gè)特例中，最著名的當(dāng)屬算術(shù) —幾何均值不等式（ AM-GM 不等式）：
當(dāng) n=2 時(shí)，上式即：
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立。
根據(jù)均值不等式的簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，即 。
排序不等式
基本形式：
排序不等式的證明
要證
只需證
根據(jù)基本不等式
只需證
∴原結(jié)論正確
棣莫弗定理
設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)（用三角形式表示） ，則：
復(fù)數(shù)乘方公式： .
圓排列
定義
從 n 個(gè)不同元素中不重復(fù)地取出 m（1≤m≤n）個(gè)元素在一個(gè)圓周上，叫做這 n 個(gè)不同
元素的圓排列。 如果一個(gè) m-圓排列旋轉(zhuǎn)可以得到另一個(gè) m-圓排列， 則認(rèn)為這兩個(gè)圓排列相
同。
計(jì)算公式
n 個(gè)不同元素的 m-圓排列個(gè)數(shù) N 為：
特別地，當(dāng) m=n 時(shí)， n 個(gè)不同元素作成的圓排列總數(shù) N 為： 。
費(fèi)馬小定理
費(fèi)馬小定理 (Fermat Theory) 是數(shù)論中的一個(gè)重要定理，其內(nèi)容為： 假如 p 是質(zhì)數(shù)，且
(a,p)=1 ，那么 a(p- 1)≡1（mod p ）。即：假如 a 是整數(shù)， p 是質(zhì)數(shù)，且 a,p 互質(zhì) (即兩者只
有一個(gè)公約數(shù) 1)，那么 a 的 (p-1)次方除以 p 的余數(shù)恒等于 1。
組合恒等式
組合數(shù) C(k,n) 的定義：從 n 個(gè)不同元素中選取 k 個(gè)進(jìn)行組合的個(gè)數(shù)。
基本的組合恒等式
nC(k,n)=kC(k-1,n-1)
C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)
∑C(i,n)=2^n
∑ [(-1)^i]*C(i,n)=0
C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n) （這個(gè)性質(zhì)叫組合的【聚合性】）
C(k,n)+C(k,n+1)+ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n)
C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p- 2,m)+ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=
C(p,m+n)
韋達(dá)定理
逆定理
如果兩數(shù) α和 β滿足如下關(guān)系： α+β= ，α·β=，那么這兩個(gè)數(shù) α和 β是方程
的根。
通過(guò)韋達(dá)定理的逆定理，可以利用兩數(shù)的和積關(guān)系構(gòu)造一元二次方程。 [5]
推廣定理
韋達(dá)定理不僅可以說(shuō)明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，還可以推廣說(shuō)明一元 n 次方程
根與系數(shù)的關(guān)系。
定理：
設(shè) （ i=1、2、3、 n）是方程：
的 n 個(gè)根，記 k 為整數(shù)），則有： 。 [
實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：
實(shí)系數(shù)一元 n 次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若 z=a+bi(b ≠0)是方程的一個(gè)根，則 =a-bi 也
是一個(gè)根。
無(wú)窮遞降法
無(wú)窮遞降法是證明方程無(wú)解的一種方法。其步驟為：
假設(shè)方程有解，并設(shè) X 為最小的解。
從 X 推出一個(gè)更小的解 Y。
從而與 X 的最小性相矛盾。所以，方程無(wú)解。
孫子定理
又稱中國(guó)剩余定理，中國(guó)剩余定理給出了以下的一元線性同余方程組：
有解的判定條件，并用構(gòu)造法給出了在有解情況下解的具體形式。
中國(guó)剩余定理說(shuō)明： 假設(shè)整數(shù) m1,m2, ... ,mn 兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)： a1,a2, ... ,an ，
方程組 有解，并且通解可以用如下方式構(gòu)造得到：
設(shè) 是整數(shù) m1,m2, ... ,mn 的乘積，并設(shè)
是除了 mi 以外的 n- 1 個(gè)整數(shù)的乘積。
設(shè) 為 模 的數(shù)論倒數(shù) ：方程組 的通解
形式 ：
在模 的意義下，方程組 只有一個(gè)解：
同余
同余公式也有許多我們常見(jiàn)的定律 ,比如相等律 ,結(jié)合律 ,交換律 ,傳遞律 .如下面的表
示:
1)a≡a(mod d)
2)a≡b(mod d) →b≡a(mod d)
3)(a ≡b(mod d),b ≡c(mod d)) →a≡c(mod d)
如果 a≡x(mod d),b ≡m(mod d),則
4)a+b≡x+m （mod d ）
其中 a≡x (mod d) ，b≡m(mod d)
5)a- b≡x-m (mod d)
其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d)
6)a*b ≡x*m (mod d )
其中 a≡x (mod d),b ≡m (mod d)
7）a≡b（mod d ）則 a-b 整除 d
歐拉函數(shù)
φ函數(shù)的值 通式： φ (x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4) , ..(1-1/pn), 其中 p1,
p2 ,, pn 為 x 的所有質(zhì)因數(shù)， x 是不為 0 的整數(shù)。 φ(1)=1 （唯一和 1互質(zhì)的數(shù) (小于等于
1)就是 1 本身）。 (注意：每種質(zhì)因數(shù)只一個(gè)。比如 12=2*2*3 那么φ（12）=12*（1-1/2）
*(1-1/3)=4
若 n 是質(zhì)數(shù) p 的 k 次冪， φ(n)=p^k -p^(k-1)=(p-1)p^(k-1) ，因?yàn)槌?p 的倍數(shù)外，其他
數(shù)都跟 n 互質(zhì)。
設(shè) n 為正整數(shù)，以 φ(n)表示不超過(guò) n 且與 n 互
素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為 n 的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)
φ：N→N，n→φ (n)稱為歐拉函數(shù)。
歐拉函數(shù)是積性函數(shù) ——若 m,n 互質(zhì)， φ(mn)=φ(m)φ(n。)
特殊性質(zhì)：當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， φ(2n)= φ(n), 證明與上述類似。
若 n 為質(zhì)數(shù)則 φ(n)=n-1。
格點(diǎn)
定義
數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標(biāo)系中橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn) (lattice point) 或整點(diǎn)。
性質(zhì)
1、格點(diǎn)多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）。
2、格點(diǎn)關(guān)于格點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為格點(diǎn)。
3、格點(diǎn)多邊形面積公式（坐標(biāo)平面內(nèi)頂點(diǎn)為格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，類似地也
有格點(diǎn)多邊形的概念。）設(shè)某格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有格點(diǎn) a 個(gè)，格點(diǎn)多邊形的邊上有格點(diǎn) b 個(gè)，
該格點(diǎn)多邊形面積為 S，
則根據(jù)皮克公式有 S=a+b/2-1 。
4，格點(diǎn)正多邊形只能是正方形。
5，格點(diǎn)三角形邊界上無(wú)其他格點(diǎn)，內(nèi)部有一個(gè)格點(diǎn)，則該點(diǎn)為此三角形的重心。
三面角
定義
三面角：由三個(gè)面構(gòu)成的多面角稱為三面角，如圖中三面角可記作∠ O-ABC 。
特別地，三個(gè)面角都是直角的三面角稱為直三面角。
三面角的補(bǔ)三面角： 由三條自已知三面角定點(diǎn)發(fā)出的垂直于已知三面角的三個(gè)平面的射
線組成的三面角叫做已知三面角的補(bǔ)三面角。
性質(zhì)
1、三面角的任意兩個(gè)面角的和大于第三個(gè)面角。
2、三面角的三個(gè)二面角的和大于 180°，小于 540°。
三面角相關(guān)定理
設(shè)三面角∠ O-ABC 的三個(gè)面角∠ AOB 、∠BOC、∠ AOC 所對(duì)的二面角依次為∠ OC，
∠OA，∠ OB。
1、三面角正弦定理：
sin∠OA/sin ∠BOC=sin ∠OB/sin ∠AOC=sin ∠OC/sin ∠AOB。
2、三面角第一余弦定理：
cos∠BOC=cos ∠OA×sin∠AOB× sin∠AOC+cos ∠AOB× cos∠AOC 。
3、三面角第二余弦定理：
cos∠OA=cos ∠BOC× sin∠OB×sin∠OC-cos ∠OB×cos∠OC。
直線方程
一般有以下八種描述方式：點(diǎn)斜式，斜截式，兩點(diǎn)式，截距式，一般式，法線式，法向
式，點(diǎn)向式。
點(diǎn)斜式
已知直線一點(diǎn) (x1,y1,) 并且存在直線的斜率 k，則直線可表示為： y-y1=k(x-x1) 。適用范
圍：斜率 K 存在的直線。
斜截式
已知與 Y 軸的交點(diǎn)（ 0，b），斜率為 K，則直線可表示為： y=kx+b 。適用范圍：斜率
存在的直線。
兩點(diǎn)式
兩點(diǎn)式是解析幾何直線理論的重要概念。當(dāng)已知兩點(diǎn)（ X1，Y1），（X2，Y2）時(shí)，將
直線的斜率公式 k=(y2-y1)/(x2-x1) 代入點(diǎn)斜式時(shí)，得到兩點(diǎn)式
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 。適用范圍：不平行于（或者說(shuō)不垂直于）坐標(biāo)軸的的直線。
截距式
已知與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（ a，0），（ 0，b）時(shí)，截距式的一般形式： x/a+y/b=1 （a≠0且
b≠0）。適用范圍：不平行于（或者說(shuō)不垂直于）坐標(biāo)軸的直線，不過(guò)原點(diǎn)的直線。
一般式
ax+by+c=0 (A 、B 不同時(shí)為 0)。斜率： -A/B 截距： -C/B。兩直線平行時(shí)：
A1/A2=B1/B2≠C1/C2 ，則無(wú)解。兩直線相交時(shí)： A1/A2≠B1/B2；兩直線垂直時(shí)： A1A2+B1B2=0
A1/B1×A2/B2=-1 ，都只有一個(gè)交點(diǎn)。兩直線重合時(shí)： A1/A2=B1/B2=C1/C2 ，則有無(wú)數(shù)解。
適用范圍：所有直線均可適用。
法線式
過(guò)原點(diǎn)向直線做一條的垂線段，該垂線段所在直線的傾斜角為 α，p 是該線段的長(zhǎng)度。
x·cos α+y sin- p=α0。
法向式
知道直線上一點(diǎn)（ x0，y0）和與之垂直的向量（ a， b），則 a（x-x0）+b（ y-y0）=0，
法向量 n=（a，b）方向向量 d=（b， -a）k=a/b 。
點(diǎn)向式
知道直線上一點(diǎn) (x0,y0)和方向向量（ u,v ）， (x-x0)/u=(y- y0)/v (u ≠0,v≠。0)
極坐標(biāo)系
極坐標(biāo)系（ polar coordinates ）是指在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。在平
面上取定一點(diǎn) O，稱為極點(diǎn)。從 O 出發(fā)引一條射線 Ox，稱為極軸。再取定一個(gè)長(zhǎng)度單位，
通常規(guī)定角度取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?這樣，平面上任一點(diǎn) P 的位置就可以用線段 OP 的長(zhǎng)度 ρ
以及從 Ox 到 OP 的角度 θ來(lái)確定，有序數(shù)對(duì)（ ρ，θ）就稱為 P 點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為 P（ρ，
θ）；ρ稱為 P 點(diǎn)的極徑， θ稱為 P 點(diǎn)的極角。
極坐標(biāo)方程
于極點(diǎn)（ 90°/270°）對(duì)稱，如果 r( θ-α) = r( ，θ則)曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) α°。
圓
方程為 r( θ) = 1的圓。
在極坐標(biāo)系中，圓心在 (r0, φ半) 徑為 a 的圓的方程為 r^2- 2rr0cos( θ-φ)+r0^2=a^2
該方程可簡(jiǎn)化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程 r( θ)=a表示一個(gè)以極
點(diǎn)為中心半徑為 a 的圓。
直線
經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的射線由如下方程表示 θ=φ
,其中 φ為射線的傾斜角度，若 k為直角坐標(biāo)系的射線的斜率，則有 φ = arctan k。 任
何不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線都會(huì)與某條射線垂直。 這些在點(diǎn) （ r0, φ）處的直線與射線 θ = φ垂 直，
其方程為
r( θ )=r0sec( -φθ)
圓冪
點(diǎn)到圓的冪：設(shè) P 為⊙O 所在平面上任意一點(diǎn)， PO=d ，⊙O 的半徑為 r，則 d^2－ r^2
就是點(diǎn) P 對(duì)于⊙ O 的冪．過(guò) P 任作一直線與⊙ O 交于點(diǎn) A、B，則 PA·PB= |d2 － r2|．
“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線， 如果此二圓相交， 則該
軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．
三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．
三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．
當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦 (就是兩兩的根軸 )所在直線交于一點(diǎn)．
1．定義從一點(diǎn) A 作一圓周的任一割線，從 A 起到和圓相交為止的兩段之積，稱為點(diǎn)
A 于這圓周的冪．
2．圓冪定理已知⊙ (O, r) ，通過(guò)一定點(diǎn) P，作⊙ O 的任一割線交圓于 A, B，則 PA，
PB 為 P 對(duì)于⊙ O 的冪，記為 k，則
當(dāng) P 在圓外時(shí)， k=PO^2-r^2 ；
當(dāng) P 在圓內(nèi)時(shí)， k= r^2-PO^2 ；
當(dāng) P 在圓上時(shí)， k=0.
圖Ⅰ：相交弦定理。 如圖，AB、CD 為圓 O 的兩條任意弦。 相交于點(diǎn) P，連接 AD、BC，
由于∠ B 與∠ D 同為弧 AC 所對(duì)的圓周角， 因此由圓周角定理知： ∠B=∠D，同理∠ A=∠C，
所以 。所以有： ，即： 。
圖Ⅱ：割線定理。如圖，連接 AD、BC。可知∠ B=∠D，又因?yàn)椤?P 為公共角，所以有
，同上證得 。
圖Ⅲ：切割線定理。如圖，連接 AC、AD。∠ PAC 為切線 PA 與弦 AC 組成的弦切角，
因此有∠ PBC=∠D，又因?yàn)椤?P 為公共角， 所以有 ，易
圖Ⅳ： PA、PC 均為切線， 則∠ PAO= ∠PCO=9°0 ，在直角三角形中： OC=OA=R ，PO
為公共邊，因此 。所以 PA=PC ，所以 。
綜上可知， 是普遍成立的。
根軸
定義
在 平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓 圓冪相等的點(diǎn)的 集合是一條直線，這條線稱為這
兩個(gè)圓的根軸。
另一角度也可以稱兩不 同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。
根軸方程
設(shè)兩圓 O1,O2 的方程分別為：
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)
(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)
由于根軸上任意點(diǎn)對(duì)兩圓的 圓冪相等，所以根軸上任一點(diǎn) (x,y),有
(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2= 圓冪 =(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2
兩式相減，得根軸的方程 (即 x,y 的方程 )為
2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0
其中 f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2 類似。
解的不同可能
(1)(2)連立的解，是兩圓的公共點(diǎn) M(x1,y1),N(x2,y2)
如果是兩組不等實(shí)數(shù)解， MN 不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的公共弦。
如果是相等實(shí)數(shù)解， MN 重合，兩圓相切，方程表示兩圓的內(nèi)公切線。
如果是共軛虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標(biāo)系內(nèi)沒(méi)有實(shí)質(zhì)。稱 M,N 是
共軛虛點(diǎn)。
尺規(guī)作圖
相交 ,相切時(shí) 根軸為兩圓交點(diǎn)的連線 .
內(nèi)含時(shí) ,作一適當(dāng)?shù)膱A與兩園相交 ,這圓與兩圓的根軸的交點(diǎn)在根軸上 .同理
再作一點(diǎn) ,兩點(diǎn)所在的直線即為根軸 (等冪軸 )
相關(guān)定理
1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；
2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；
3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；
4，若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點(diǎn)分別引兩圓的切線，則切線長(zhǎng)相等。
5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交
于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行；
6， 反演后的圓和反演圓和被反演的圓 3 個(gè)圓共根軸。
容斥原理
也可表示為：設(shè) S 為有限集 , 則
兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式： A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |( ∩：重合的部分）
三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式： |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A ∩B∩C|
抽屜原理
第一抽屜原理
原理 1： 把多于 n+k 個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩
件。
證明（反證法）：如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是 n×1，
而不是題設(shè)的 n+k(k≥1)，故不可能。
原理 2 ：把多于 mn(m 乘以 n)（n 不為 0）個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)
抽屜里有不少于（ m+1）的物體。
證明（反證法）：若每個(gè)抽屜至多放進(jìn) m 個(gè)物體 ,那么 n 個(gè)抽屜至多放進(jìn) mn 個(gè)物體 ,
與題設(shè)不符，故不可能 。
原理 3 ：把無(wú)窮多件物體放入 n 個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜里 有無(wú)窮個(gè)物體。
原理 1 、 2 、3 都是第一抽屜原理的表述。
第二抽屜原理
把（mn－ 1）個(gè)物體放入 n 個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中至多有（ m—1）個(gè)物體 (例
如，將 3×5-1=14 個(gè)物體放入 5 個(gè)抽屜中，則必定有一個(gè)抽屜中的物體數(shù)少于等于 3-1=2) 。
極端原理解題，就是在解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，重點(diǎn)放在所研究問(wèn)題的極端情況。
極端原理
最小數(shù)原理、最大數(shù)原理
命題一 有限個(gè)實(shí)數(shù)中，必有一個(gè)最小數(shù)（也必有一個(gè)最大數(shù)）。
命題二 在有限個(gè)或無(wú)限個(gè)正整數(shù)中，必有一最小數(shù)。
命題二可用集合的語(yǔ)言表述為，
最小數(shù)原理 ：若 是自然數(shù)集 的任一非空子集 (注：有限或無(wú)限均可 )，則 中必有
最小的數(shù) ，即對(duì)屬于 的任何數(shù) ，均有 。
最短長(zhǎng)度原理
最短長(zhǎng)度原理 1：任意給定平面上的兩點(diǎn)，在所有連接這兩點(diǎn)的曲線中，以直線段的長(zhǎng)
度為最短；（需注意此原理雖然是直觀的，但對(duì)曲線和其長(zhǎng)度的嚴(yán)格定義卻頗費(fèi)周折。）
最短長(zhǎng)度原理 2：在連接一已知點(diǎn)和已知直線或已知平面的點(diǎn)的所有曲線中， 以垂線段
的長(zhǎng)度為最短。

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