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導(dǎo)數(shù)應(yīng)用常見錯(cuò)誤例析與探究
重慶市江北中學(xué)校（400714） 馮霞 徐云軍（13527593182）
新教材引進(jìn)導(dǎo)數(shù)之后，無疑為中學(xué)數(shù)學(xué)注入了新的活力，它在函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等方面有著廣泛的應(yīng)用，還可以證明不等式，求曲線的切線方程等等。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一直是高考試題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。經(jīng)課前準(zhǔn)備和課后調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中疑點(diǎn)較多，本文對(duì)幾類常見問題進(jìn)行剖析和探究，以期引起大家的注意。
問題⑴：若為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則= 0嗎？
答：不一定,缺少一個(gè)條件(可導(dǎo)函數(shù))。反例：函數(shù)在處有極小值，而不存在。
正確的命題是：若為可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則= 0。
問題⑵：若= 0, 則函數(shù)f(x)在處一定有極值嗎？
答：不一定。反例：函數(shù)有= 0，而f(x) 在處沒有極值。 正確的命題是：若= 0,且函數(shù)f(x)在處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)相反，則函數(shù)f(x)在處有極值。
問題⑶：在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，>0是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充要條件嗎？
答：不一定。反例：函數(shù) 在上為增函數(shù)，而= 0。
正確的命題是：（函數(shù)單調(diào)性的充分條件） 在區(qū)間上，>0是f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分而不必要條件。（函數(shù)單調(diào)性的必要條件）函數(shù)f(x)在某區(qū)間上可導(dǎo)，且單調(diào)遞增，則在該區(qū)間內(nèi)0。
另外，中學(xué)課本上函數(shù)單調(diào)性的概念與高等數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)分析）上函數(shù)單調(diào)性的概念不一致。數(shù)學(xué)分析上函數(shù)單調(diào)性的概念有嚴(yán)格單調(diào)與不嚴(yán)格單調(diào)之分。
問題⑷：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間應(yīng)寫成開區(qū)間還是寫成閉區(qū)間？
答： 若端點(diǎn)屬于定義域，則寫成開區(qū)間或閉區(qū)間都可以。若端點(diǎn)不屬于定義域，則只能寫成開區(qū)間。
問題⑸：“曲線在點(diǎn)P處的切線”與“曲線過點(diǎn)P的切線”有區(qū)別嗎？
例1（人教社高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)第123頁例3）：已知曲線上一點(diǎn)P（2，）。 求點(diǎn)P處的切線方程。大多數(shù)學(xué)生能迅速找到解題思路，并得到正確結(jié)果：。
變式： 已知曲線上一點(diǎn)P（2，）。求過點(diǎn)P的切線方程。
解：設(shè)切點(diǎn)為Q,則切線的方程為又點(diǎn)P在切線上，所以 整理，得 。所以 于是 切線的方程為，。
小結(jié)：“曲線在點(diǎn)P處的切線”只有一條，且P為切點(diǎn)；“曲線過點(diǎn)P處的切線”有兩條,P不一定是切點(diǎn)。在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，用好課本，尤其是課本例題更為重要，能總結(jié)出一些有規(guī)律性的東西，可使學(xué)生在復(fù)習(xí)時(shí)既有熟悉感又有新奇感，從而提高認(rèn)識(shí)的深度。
問題⑹：過一點(diǎn)P作曲線的切線有幾條？
探究1：過曲線上一點(diǎn)P作曲線的切線有幾條？
解：設(shè)切點(diǎn)為Q, 則切線的方程為。又點(diǎn)P在切線上，所以 整理，得①，因?yàn)榍芯€的條數(shù)等于關(guān)于t的方程① 的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，所以：過曲線上一點(diǎn)P引直線與曲線相切，當(dāng)時(shí)，切線只有一條；當(dāng)時(shí)，切線有兩條。
探究2：過曲線外一點(diǎn)P作曲線的切線有幾條？（）
解：設(shè)切點(diǎn)為Q,則切線的方程為又點(diǎn)P在切線上，得整理，得②。
下面討論關(guān)于t的方程 ② 的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)：
令= 則 ==，當(dāng)時(shí)，0 ，則在R上單調(diào)遞增，易知方程②有唯一實(shí)根。所以，過點(diǎn)P的切線只有一條。當(dāng)時(shí)，令=0 得 t=0, t=，所以t=0與 t=是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)。下面討論：
當(dāng)時(shí)， 為極大值，為極小值。 從而由圖象可得：當(dāng) 或時(shí)，方程②有唯一實(shí)根，過點(diǎn)P的切線只有一條；當(dāng)時(shí)，方程②有兩個(gè)不同的實(shí)根，過點(diǎn)P的切線有兩條；當(dāng) 且時(shí)，方程②有三個(gè)不同的實(shí)根，過點(diǎn)P的切線有三條。
當(dāng)時(shí)， 為極小值，為極大值。從而由圖象可得：當(dāng) 或時(shí)，方程②有唯一實(shí)根，過點(diǎn)P的切線只有一條；當(dāng)時(shí)，方程②有兩個(gè)不同的實(shí)根，過點(diǎn)P的切線有兩條；當(dāng) 且時(shí)，方程②有三個(gè)不同的實(shí)根，過點(diǎn)P的切線有三條。
小結(jié)：過曲線外一點(diǎn)P引直線與曲線相切。當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P的切線只有一條；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)P的切線可能有一條、兩條和三條。
問題⑺：曲線和它的切線只有一個(gè)公共點(diǎn)嗎？
解：設(shè)切點(diǎn)為Q,則切線的方程為，代入曲線消去y，得，整理得 ③，由于切線與曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于關(guān)于x的方程③的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)。因此 當(dāng) t= 0時(shí)，切線與曲線有唯一交點(diǎn)；當(dāng) t0時(shí)，切線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。
評(píng)注：從而加深了對(duì)切線新概念（切線是割線的極限位置）的理解，也糾正了對(duì)切線的一些偏面認(rèn)識(shí)。
問題⑻：忽視函數(shù)的定義域，容易致錯(cuò)，也給解題帶來很大困難。
例2：求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。
錯(cuò)解： ， ，所以 ， 所以單調(diào)遞增區(qū)間是和。
正解：因定義域?yàn)?，所以是正數(shù)。于是 所以 單調(diào)遞增區(qū)間是。
評(píng)注：這種類型的題目在高三總復(fù)習(xí)中常常見到，也是學(xué)生常犯的錯(cuò)誤之一。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)的核心，是高考必考內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不忘求定義域，還要先求定義域，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，事半功倍的效果。
問題⑼：用導(dǎo)數(shù)解含參數(shù)的函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性問題。
例3：若函數(shù) 在內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D. .
錯(cuò)解： 因?yàn)?在內(nèi)單調(diào)遞減，所以 在上恒成立，即 恒成立。因此 ，選C。
正解： 因?yàn)?在內(nèi)單調(diào)遞減，所以 在上恒成立 ，即 恒成立。因此 ，選A。
評(píng)注：這種類型的題目是高考試題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，也是學(xué)生常見的錯(cuò)誤之一。出錯(cuò)的原因在于沒有搞清楚函數(shù)單調(diào)性的充分條件與必要條件之間的關(guān)系；沒有正確理解“教科書第三冊(cè)第139頁[1]中函數(shù)單調(diào)性的充分條件”的含義。其實(shí)這一節(jié)教科書也沒有講清楚。
經(jīng)探討得到以下結(jié)論：一般地，設(shè)函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則，且方程的解是離散的是f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充要條件; ，且方程的解是離散的是f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù)的充要條件。
對(duì)上述“方程的解是離散的”, 筆者認(rèn)為：部分教師講 不恒等于零; 有的教輔資料著函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，這些講法都欠妥，換言之，方程的解是離散的才恰到好處。 另外，一般的，在高考試題中考查含參數(shù)的函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，不會(huì)存在使方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有連續(xù)解的情況。
問題（10）：對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義理解不清致錯(cuò)。
例4：已知函數(shù)，則
Ａ.－１ B. 0 C. D. 2
錯(cuò)解：，從而選Ａ；或。
正解：,從而應(yīng)選Ｃ。
評(píng)注：=,函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值的增量與自變量的增量的比值在自變量的增量趨近于零時(shí)的極限，分子分母中的自變量的增量必須保持對(duì)應(yīng)一致，它是非零的變量，它可以是－2，等。在導(dǎo)數(shù)定義中應(yīng)特別注意“”與“”的對(duì)應(yīng)形式的多樣性，但不論哪種形式都應(yīng)突現(xiàn)“”與“”的一致性。
問題（11）：對(duì)“連續(xù)”與“可導(dǎo)”定義理解不清致錯(cuò)。
例5：函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)是函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù)的（　 ）
Ａ.充分不必要條件 B.必要不充分條件　Ｃ.充要條件　Ｄ.既不充分也不必要條件
錯(cuò)解： 認(rèn)為“連續(xù)”與“可導(dǎo)”是同一個(gè)概念而錯(cuò)選Ｃ。或者對(duì)充分、必要條件的概念不清而導(dǎo)致錯(cuò)選Ｂ。
評(píng)注：防錯(cuò)關(guān)鍵是（１）理清充分、必要條件的概念；（２）函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)必在x=x0處連續(xù)，函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù)不一定在x=x0處可導(dǎo)。如函數(shù)在x=０處連續(xù)但在x=０處不可導(dǎo)。在x=０處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，的左右極限不相等，所以其極限不相等，因此函數(shù)在x=０處不可導(dǎo)。從而本題應(yīng)選Ａ。
問題（12）：沒有考慮函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)致錯(cuò)。
例6：求f(x)=在[－1，3]上的最大值和最小值。
錯(cuò)解：由題意得= ，令=0得x=1。當(dāng)x=－1和3時(shí)，函數(shù)的最大值是，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的最小值是1。
評(píng)注：錯(cuò)誤的主要原因是解題過程中忽略了對(duì)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)的考察，因?yàn)楹瘮?shù)的最值可以在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)處取得.所以后面應(yīng)該加上：在定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)為：x1=0,x2=2 ，f(0)=0 ,f(2)=0，當(dāng)x=－1和3時(shí)，函數(shù)的最大值是，當(dāng)x=0或2時(shí)，函數(shù)的最小值是0。事實(shí)上只要作出函數(shù)f(x)的圖象就不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=0或2時(shí)，函數(shù)的最小值是0。當(dāng)x=－1和3時(shí)，函數(shù)的最大值是。
高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，內(nèi)容多，范圍廣，題量大，善于總結(jié)和反思對(duì)學(xué)生的學(xué)和老師的教都頗有益處。以上總結(jié)，僅為筆者教學(xué)之心得，誠(chéng)請(qǐng)各位同仁賜教。

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