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高一數學必修一專題講解：函數的奇偶性周期性對稱性
第一部分：函數的奇偶性推導周期性
一、函數的奇偶性推導周期性結論（原創結論），如下表所示：
結論 推導
結論一：已知：函數為偶函數，函數為偶函數。的正周期：。 推導：為偶函數①。 為偶函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得到：。 用代替得： 的周期為。
結論二：已知：函數為奇函數，函數為偶函數。的正周期：。 推導：為偶函數①。 為奇函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替得： ③。用代入中的得： ④。 把④代入③得： 的正周期：。
結論三：已知：函數為偶函數，函數為奇函數。的正周期：。 推導：為奇函數①。 為偶函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替得：③。用代入中的得： ④。 把④代入③得： 的正周期：。
結論四：已知：函數為奇函數，函數為奇函數。的正周期：。 推導：為奇函數①。 為奇函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 的正周期：。
綜合結論一：當與的奇偶性相同時：的正周期：。 綜合結論二：當與的奇偶性不同時：的正周期：。
二、函數的奇偶性推導周期性例題講解，如下表所示：
例題 解法設計
例題一：已知：函數為偶函數，函數為偶函數。 推理：函數正周期。 解：為偶函數①。 為偶函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得到：。 用代替中的得： 的正周期為：。
例題二：已知：函數為奇函數，函數為偶函數。 推理：函數正周期。 解：為偶函數①。 為奇函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。
例題三：已知：函數為偶函數，函數為奇函數。 推理：函數正周期。 解：為奇函數①。 為偶函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得到： ④。 把④代入③得： 函數的正周期：。
例題四：已知：函數為奇函數，函數為奇函數。 推理：函數正周期。 解：為奇函數①。 為奇函數。 用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 函數的正周期為：。
三、函數的奇偶性推導周期性跟蹤訓練，如下表所示：
跟蹤訓練 解答區域
訓練一：已知：函數為偶函數，函數為偶函數。 推理：函數的正周期。 解：
訓練二：已知：函數為奇函數，函數為偶函數。 推理：函數的正周期。 解：
訓練三：已知：函數為偶函數，函數為奇函數。 推理：函數正周期。 解：
訓練四：已知：函數為奇函數，函數為奇函數。 推理：函數正周期。 解：
四、函數的奇偶性推導周期性跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一： 訓練二：
訓練三： 訓練四：
第二部分：函數的奇偶性和周期性推導對稱性
一、函數的奇偶性和周期性推導對稱性結論（原創結論），如下表所示：
結論 推導
結論一：函數的周期為，函數為偶函數。 函數的對稱軸： 。 推導：的正周期為①。 為偶函數②。聯立①②得：。 用代替中的得： 函數的對稱軸：。
結論二：函數的周期為，函數為奇函數。 函數的中心對稱點的坐標。 推理：的正周期為①。 為奇函數②。聯立①②得： 。用代替中的得： 函數的中心對稱點的坐標。
綜合結論一：函數的周期為，函數為偶函數函數的對稱軸：。 綜合結論二：函數的周期為，函數為奇函數函數的中心對稱點的坐標。
二、函數的奇偶性和周期性推導對稱性例題講解，如下表所示：
例題 解法設計
例題一：函數的正周期為，函數為偶函數。 推理：函數的對稱軸。 解：的正周期為①。 為偶函數②。聯立①②得：。 用代替中的得： 函數的對稱軸：。
結論二：函數的正周期為，函數為奇函數。 推理：函數的中心對稱點的坐標。 推理：的正周期為①。 為奇函數②。聯立①②得： 。用代替中的得： 函數的中心對稱點的坐標。
三、函數的奇偶性和周期性推導對稱性跟蹤訓練，如下表所示：
跟蹤訓練 解答區域
訓練一：函數的正周期為，函數為偶函數。 推理：函數的對稱軸。 解：
訓練二：函數的正周期為，函數為奇函數。 推理：函數的中心對稱點的坐標。 解：
四、函數的奇偶性和周期性推導對稱性跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一： 訓練二：
第三部分：函數的周期性和對稱性推導奇偶性
一、函數的周期性和對稱性推導奇偶性結論（原創結論），如下表所示：
結論 推理
結論一：函數的周期為 ，函數的對稱軸為 函數為偶函數。 推理：的對稱軸為①。 的周期為。 用代替中的得： ②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 為偶函數。
結論二：函數的周期為 ，函數的中心對稱點 函數為奇函數。 推理：的中心對稱點 ①。 的周期為。 用代替中的得： ②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 為奇函數。
結論三：函數的周期為 ，函數的對稱軸為 函數為奇函數。 推理：的對稱軸為①。 的周期為。 用代替中的得： ②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 函數為奇函數。
結論四：函數的周期為 ，函數的中心對稱點 函數為偶函數。 推理：的中心對稱點 ①。 的周期為。 用替換中的得： ②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 為偶函數。
綜合結論一：①對稱軸為和周期為；②中心對稱點為和周期為為偶函數。 綜合結論二：①對稱軸為和周期為；②中心對稱點為和周期為為奇函數。
二、函數的周期性和對稱性推導奇偶性例題講解，如下表所示：
例題 解法設計
例題一：已知：的周期為，對稱軸為。 推理：的奇偶性。 解：的對稱軸為①。 的周期為。用代替中的得：②。 聯立①②得：。用代替中的得：。 所以：為偶函數。
例題二：已知：的周期為，對稱軸為。 推理：的奇偶性。 解：的對稱軸為①。 的周期為。用代替 中的得：②。 聯立①②得到：。 用代替中的得： 。 所以：為奇函數。
例題三：已知：的周期為，中心對稱點為。 推理：的奇偶性。 解：的中心對稱點為 ①。 的周期為。用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 。 所以：為奇函數。
例題四：已知：的周期為，中心對稱點為。 推理：的奇偶性。 解：的中心對稱點為 ①。 的周期為。用代替中的得：②。 聯立①②得：。 用代替中的得： 。 所以：為偶函數。
三、函數的周期性和對稱性推導奇偶性跟蹤訓練，如下表所示：
跟蹤訓練 解答區域
訓練一：已知：的周期為，對稱軸為。 推理：的奇偶性。 解：
訓練二：已知：的周期為，對稱軸為。 推理：的奇偶性。 解：
訓練三：已知：的周期為，中心對稱點為。 推理：的奇偶性。 解：
訓練四：已知：的周期為，中心對稱點為。 推理：的奇偶性。 解：
四、函數的周期性和對稱性推導奇偶性跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一：偶函數 訓練二：奇函數
訓練三：奇函數 訓練四：偶函數
第四部分：函數的奇偶性和對稱性推導周期性
一、函數的奇偶性和對稱性推導周期性結論（原創結論），如下表所示：
結論 推導
結論一：為偶函數，關于對稱。 的正周期：。 推理：關于對稱①。 為偶函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
結論二：為奇函數，關于對稱。 的正周期：。 推理：關于對稱①。 為奇函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
結論三：為偶函數，關于點對稱。 的正周期：。 推理：關于點對稱 ①。 為偶函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
結論四：為奇函數，關于點對稱。 的正周期：。 推理：關于點對稱 ①。 為奇函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
綜合結論一：①為偶函數，關于對稱； ②為奇函數，關于點對稱 的正周期：。 綜合結論二：①為奇函數，關于對稱；②為偶函數，關于點對稱的正周期：。
二、函數的奇偶性和對稱性推導周期性例題講解，如下表所示：
例題 解法設計
例題一：已知：為偶函數，關于對稱。 判斷：的正周期。 解：關于對稱①。 為偶函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
例題二：已知：為奇函數，關于對稱。 判斷：的正周期。 解：關于對稱①。 為奇函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
例題三：已知：為偶函數，關于點對稱。 判斷：的正周期。 解：關于點對稱 ①。 為偶函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： ③。 用代替中的得： ④。 把④代入③得：。 所以：的正周期：。
例題四：已知：為奇函數，關于點對稱。 判斷：的正周期。 解：關于點對稱 ①。 為奇函數。 用代替中的得： ②。 ①②聯立得：。 用代替中的得： 。 所以：的正周期：。
三、函數的奇偶性和對稱性推導周期性跟蹤訓練，如下表所示：
跟蹤訓練 答題區域
訓練一：已知：為偶函數，關于對稱。 判斷：的正周期。 解：
訓練二：已知：為奇函數，關于對稱。 判斷：的正周期。 解：
訓練三：已知：為偶函數，關于點對稱。 判斷：的正周期。 解：
訓練四：已知：為奇函數，關于點對稱。 判斷：的正周期。 解：
四、函數的奇偶性和對稱性推導周期性跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一： 訓練二：
訓練三： 訓練四：

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