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2021年清華大學強基計劃筆試數(shù)學試題回憶版
本試卷共35題,每一道題均為不定項,下為回憶版
1.甲乙丙丁四人共同參加4項體育比賽,每項比賽第一名到第四名的分數(shù)依次為4、3
1分.比賽結束甲獲得14分第一名,乙獲得13分第二名,則(
A.第三名不超過9分
B.第三名可能獲得其中一場比賽的第一名
C.最后一名不超過6分
D.第四名可能一項比賽拿到3分
答案:ACD
(1)所有分數(shù)之和為4×(4+3+2+2)=40,甲乙總分之和為14+13=27,所以第
三名和第四名總分數(shù)為13分,第四名的分數(shù)不超過6分,C正確,第四名至少得
4分,A正確
(2)所有項目的第一名和第二名分數(shù)之和為4×(4+3)=28分,只比甲乙兩人總分數(shù)
高一分,說明只有一種情況,甲乙包攬所有項目第一名,總共拿到3個第二名和
第三名B錯誤
(3)D正確的一種情形
2.定義
則(…(2*3)*4)…)*21=().
答案:115
解:令=1,y=1,則xy==M
其中入
2-1,=-+1
x+1
容易得到,若設z
入p-1
*0)*怎
Auv+1
即*運算滿足:
(2)(x*y)*2=*(y*2)
進而可得(,(234…)+21=(=)(=)(
器)-1-21×11-1116
(-2)+1-21×11+1115
補充說明:看到+9,聯(lián)想到mnhx=p+1’于是做一個x+/的換元準沒
入-1
1+ ry
3.已知
A.x4+x3+x2+x+1=(x-a)(x-23)(x-2)(x-a3)
B.x4-x32+x2-x+1=(x-u)(x-u3)(x-u)(x-a3)
C.x4-x3-x2+x+1=(x-)(x-u3)(x-u7)(x-)
D.x4+x3+x2-x-1=(x-u)(x-w3)(x-w2)(x-u2)
答案:B.
解:容易得到1、、2、.、a為x10-1=0的根,則
另外1、2、u4、w6、s為x5-1=0的根,則
結合u5
兩個式子做比可得
補充說明:第一次見此題是2000年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試第6
4.恰有一個實數(shù)x使得x3-ax-1=0成立,則實數(shù)a的取值范圍為()
易得x≠0,問題等價于方程a
只有一個實數(shù)解
令∫(x)=x2--,∫(x)=2x+
令2x3+1
可知
,x0
∫(x)
極小值
其圖象如圖所示
補充說明:高考導數(shù)基本要求
5.已知團為高斯函數(shù),+
解的組數(shù)為()
A.30
答案:A
解:因為
∈Z,則x∈Z
因此
z}+(}+(=}

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