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高二數學選擇性必修第一冊專題：橢圓
第一部分：橢圓的定義與方程推理
一、橢圓的定義與定義式，如下表所示：
橢圓的定義 ①標準定義：到兩個定點的距離之和為定長的動點軌跡。 ②其中兩個定點為橢圓的兩個焦點，定長為。 ③實用定義：橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為。
橢圓的定義式 定義式：。 其中：點為橢圓上一點，點和點為兩個焦點。
二、橢圓的方程推理，如下表所示：
焦點在軸上橢圓方程的推理 焦點在軸上橢圓方程的推理
①以兩個焦點和的中點為原點； ②以兩個焦點和的連線為軸； ③以焦距的中垂線為軸。 ①以兩個焦點和的中點為原點； ②以兩個焦點和的連線為軸； ③以焦距的中垂線為軸。
如下圖所示： 如下圖所示：
假設部分： ①假設：橢圓上任意一點； ②假設：兩個焦點之間的距離（焦距） 的長度：； ③左焦點，右焦點。 假設部分： ①假設：橢圓上任意一點； ②假設：兩個焦點之間的距離（焦距） 的長度：。 ③下焦點，上焦點。
推理部分： 根據橢圓的定義得：。 根據兩點之間的距離公式得到： 。 方程兩邊平方得到： 。 方程兩邊平方得到： 。 假設：。 所以：焦點在軸上的橢圓的方程： 。 推理部分： 根據橢圓的定義得：。 根據兩點之間的距離公式得到： 。 方程兩邊平方得到： 。 方程兩邊平方得到： 。 假設：。 所以：焦點在軸上的橢圓的方程： 。
三、橢圓的性質與圖象，如下表所示：
焦點在軸上橢圓 焦點在軸上橢圓
方程
關系
焦距
焦點 左焦點，右焦點 下焦點，上焦點
定義式 其中：點為橢圓上一點，點和點為兩個焦點。 其中：點為橢圓上一點，點 和點為兩個焦點。
左右頂點 左頂點，右頂點。 左頂點，右頂點。
上下頂點 下頂點，上頂點。 下頂點，上頂點。
長軸長
短軸長
圖象
四、橢圓的離心率與準線，如下表所示：
離 心 率 離心率的定義：圓錐曲線上一點到焦點的距離與該點到準線的距離的比值，用表示離心率。
離心率的測量值：。
準 線 焦點在軸 焦點在軸
左準線：，右準線： 下準線：，上準線：
推理：如下圖所示： 取橢圓上的右頂點。 右頂點到右焦點的距離 為：； 右頂點到右準線的距離 為。 根據離心率的定義得：。 根據離心率測量值得：。 。 推理：如下圖所示： 取橢圓上的上頂點。 上頂點到上焦點的距離 為：； 上頂點到上準線的距離 為。 根據離心率的定義得：。 根據離心率測量值得：。 。
第二部分：橢圓的定義題型
一、橢圓的定義題型例題講解，如下表所示：
例題 本題解析
例題一：已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點。，，則的方程為（ ） 解：如下圖所示： 假設：。 。 。 根據橢圓的定義得到： 。。 根據橢圓的定義得到： 。 在中，根據余弦定理得到： 。 在中，根據余弦定理得到： 。 所以： 。 橢圓的焦點為，。 ，。 所以：橢圓的方程：。
例題二：已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且 ，則的離心率是（ ） B、 C、 D、 解：如下圖所示： 根據三角函數的定義得到： 。 。 根據橢圓的定義得到： 。 所以：的離心率為。
例題三：橢圓： （）的左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，且 。， 。求橢圓的標準方程。 解：如下圖所示： 根據橢圓的定義得到： 。 根據勾股定理得到： 。 所以：橢圓的標準方程：。
例題四：橢圓： （）的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線交于，兩點。若的周長為，則的方程為（ ） 解：如下圖所示： 根據橢圓的定義得到： ； 。 。 橢圓離心率為 。 所以：橢圓的方程：。
例題五：橢圓 （）的兩個焦點分別為，，且橢圓過點。 計算：橢圓的離心率。 解：橢圓的兩個焦點，。 根據兩點之間的距離公式得到： ； 。 根據橢圓的定義得到： 。 所以：橢圓的離心率：。
例題六：已知圓： ，圓： ，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線。求的方程。 解：的圓心，。 的圓心，。 假設：動圓的圓心，半徑為。 動圓與圓外切①。 動圓與圓內切②。 ①②相加得到：。 根據橢圓的定義得到：圓心的軌跡為橢圓。 焦點為，，。 。 所以：曲線的方程：。
二、橢圓的定義題型跟蹤訓練，如下表所示：
跟蹤訓練 解答區域
跟蹤訓練一：橢圓的方程： 的左焦點為，右焦點為，離心率。過的直線交橢圓于，兩點，且的周長為。求橢圓的方程。 解：
跟蹤訓練二：橢圓的方程： 的左、右 焦點分別為，，點在 橢圓上，， ，的面積為。 求橢圓的標準方程。 解：
跟蹤訓練三：橢圓的方程：（）的左、右焦點分別為，，為 橢圓上一點且。 ， 。 求橢圓的標準方程。 解：
跟蹤訓練四：已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率是 。 解：
跟蹤訓練五：已知：橢圓（）的兩個焦點分別為，，為橢圓上一點。 計算：橢圓的離心率。 解：
三、橢圓的定義題型跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
跟蹤訓練一： 跟蹤訓練二：
跟蹤訓練三： 跟蹤訓練四：
跟蹤訓練五：
第三部分：橢圓的性質題型
一、橢圓的性質題型例題講解，如下表所示：
例題 本題解析
例題一：已知橢圓 （）的離心率為，，分別為的左右頂點。 求解：橢圓的標準方程。 解：，。 。 。 所以：橢圓的方程：。
例題二：已知橢圓 （）的離心率為，且過點。 求解：橢圓的標準方程。 解：。 。 橢圓過點得到： ， 。 所以：橢圓的標準方程：。
例題三：已知橢圓：（）過點，點為其左頂點，且的斜率為。求解：橢圓的標準方程。 解：橢圓的左頂點， 。 橢圓過點得到： 。 所以：橢圓的標準方程：。
例題四：已知橢圓：（）過點，且 。 求解：橢圓的標準方程。 解： 過點 。 所以：橢圓的標準方程：。
例題五：已知，是橢圓： （）的兩個焦 點，為上一點，為坐標原 點。若為等邊三角形。 求解：橢圓的離心率。 解：如下圖所示： 連接。 為等邊三角形 。 在中：根據余弦定理得到： 。 根據橢圓的定義得到： 。 所以：橢圓的離心率：。
二、橢圓的性質題型跟蹤訓練，如下表所示：
跟蹤訓練 參考答案
跟蹤訓練一：已知橢圓（）的離心率為，則（ ） B、 C、 D、 解：
跟蹤訓練二：已知橢圓的方程：的右焦點為，且經過點。 求解：橢圓的方程。 解：
跟蹤訓練三：設橢圓 （）的左焦點為，上 頂點為。已知橢圓的短軸長為 ，離心率為。 求解：橢圓的方程。 解：
跟蹤訓練四：設橢圓 （）的左焦點為，左 頂點為，上頂點為。已知： ，為坐標原點。 求解：橢圓的離心率。 解：
跟蹤訓練五：設橢圓： 的一個焦點為，則橢圓的離 心率為（ ） A、 B、 C、 D、 解：
跟蹤訓練六：已知，是橢圓 ：（）的左、 右焦點，是的左頂點，點在 過且斜率為的直線上，滿足 ，為等腰三 角形，則的離心率為（ ） A、 B、 C、 D、 解：
跟蹤訓練七：設橢圓 （）的右頂點為，上 頂點為。已知橢圓的離心率為 ，。 計算：橢圓的標準方程。 解：
跟蹤訓練八：設橢圓： （）的離心率為，焦 距為。 計算：橢圓的標準方程。 解：
三、橢圓的性質題型跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
跟蹤訓練一：選項 跟蹤訓練二：
跟蹤訓練三： 跟蹤訓練四：
跟蹤訓練五：選項 跟蹤訓練六：選項
跟蹤訓練七： 跟蹤訓練八：

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