資源簡介

第一部分?jǐn)?shù)學(xué)模式
第一章雙軌跡模式
1幾何作圖
用直尺和圓規(guī)作圖,在平面幾何教學(xué)中有著傳統(tǒng)的地位,
這種最簡單的作圖法是繪圖員所常用的。幾何作圖的實用價
值和理論價值都不大,不過這種作圖法在數(shù)學(xué)課程中仍有它
定的作用:它最適宜于使初學(xué)者熟悉圖形,并且使初學(xué)者
悉解題思路.正是由于后一原因,我們將從討論幾何作圖
開始
與數(shù)學(xué)教學(xué)中的許多傳統(tǒng)內(nèi)容一樣,幾何作圖可以追溯
到歐幾里得.在他的體系中,幾何作圖起著重要的作用。歐
幾里得《幾何原本》中的第一個問題(第一篇的第一個命題)就
是:“給定一線段,作一等邊三角形.”在歐幾里得體系中,把
這個問題限制在等邊三角形范圍內(nèi),是頗有道理的.但事實
上,解下述更為一般的問題:給定一個三角形的三條邊,求作
角形,同樣容易
讓我們花點時間來分析這個問題
在任何問題中,必定有一個未知量,如果什么都是已知
的,就無所尋求,也就無所事事了.在我們的問題中,未知
量(要“求”的)是一個幾何圖形,即一個三角形
然而在任何問題中,還必須有巳知的或者給定的東西(我
們稱之為己知量),如果什么也不給定,那么我們就沒有依據(jù)
去了解廳要“求”的東西,即使我們?nèi)タ疾焖?我們也無法了解
它.在我們的這個問題中,已知量是三條“有限直線”或線段
最后,在任何問題中必須有一些把未知量與已知量聯(lián)系
起來的條件.在我們的問題中,條件是:規(guī)定這三條給定的
線段必須是所要“求”的三角形的三條邊
條件是問趣的一個必要組成部分,把我們的問題和下述
問題比較一下:“給定三個高,作一三角形”,在這兩個問題
中,已知量是一樣的(三條線段)并且未知量是同類的幾何圖
形(三角形),只是未知量和已知量之間的聯(lián)系不一樣,也就是
說,條件不同.當(dāng)然這兩個問題也確實很不相同(我們的問題
比較容易些)
當(dāng)然,讀者對此問題的解法是熟悉的。令ab和c代表
條給定線段的長,作BC,使它的長等于a(請讀者自己作
出此圖形).我們作兩個圓,一個以C為圓心,以b為半徑;另
個以B為圓心,以G為半徑;令A(yù)為這兩個圓的兩個交點之
于是,△ABC就是所求的三角形
§12從例題到模式
讓我們回顧上述解法,找出解類似問題時可能有用的特
作線段a,我們就把所求三角形的兩個頂點B和C定了
位;只剩下另一個頂點要“求”了,事實上,作了那條線段,我
們]就把所提出的問題變換成另一個與之等價卻又不一樣的問
題。在這個新問題中
未知量是一個點(所求三角形的第三個頂息)
已知量是兩個點(B和C)和兩個長度(b和c)
條件則是要求所求的點與給定點C的距離為b,與給定
點B的距離為C
這一條件包括兩部分:一部分涉及b與C,另一部分涉及
與B.首先,若只考慮條件的一部分,而不考慮另一部分,那
么未知量究竟被確定了沒有 它能怎樣交化 在平面上距離
給定點C有給定距離b的點,既不是完全確定的,也不是絲亳
不受約束射:它被限制在一條“軌跡”上,它必須屬于以C為圓
心,以b為半徑的圓周上,但能沿著圓周移動.這樣,所求的未
知點必須同時在兩條這樣的軌跡上,它們的交點即為所求
這樣我們便發(fā)現(xiàn)了一個求解的模式雙軌跡模式),仿照
它我們便可以成功地解決幾何作圖問題。現(xiàn)敘述如下
首先,把問題簡化為作一個點
然后,把條件分為兩部分,使每一部分變成未知點的一條
軌跡;而每一條軌跡必須是一條直線或者是一個圓
例子要比規(guī)則生動單純講述模式對你幫助不大。成功
地應(yīng)用這種模式而得到解決的例子,都會使這個模式變得更
豐富多彩、更有趣和變得更有價值。閻育蘇 譯 北京：科學(xué)出版社，1982年
第一部分 在教室中
目的
1．幫助學(xué)生
教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生。這個任務(wù)并不很簡單，它需要時間、
實踐、熱忱以及健全合理的原則。
學(xué)生應(yīng)當(dāng)有盡可能多的獨立工作經(jīng)驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不
到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進(jìn)步。但若教師對他幫助過多，
那么學(xué)生卻又無事可干，教師對學(xué)生的幫助應(yīng)當(dāng)不多不少，恰使學(xué)生有一份合
理的工作。
如果學(xué)生不太能夠獨立工作，那末教師也至少應(yīng)當(dāng)使他感覺自己是在獨立
工作。為了做到這一點，教師應(yīng)當(dāng)考慮周到地、不顯眼地幫助學(xué)生。
不過，對學(xué)生的幫助最好是順乎自然。教師對學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地，應(yīng)當(dāng)了
解學(xué)生情況，應(yīng)當(dāng)弄清學(xué)生正在想什么，并且提出一個學(xué)生自己可能會產(chǎn)生的
問題，或者指出一個學(xué)生自己可能會想出來的步驟。
2．問題、建議、思維活動
在打算對學(xué)生進(jìn)行有效、不顯眼而又自然的幫助時，教師不免一而再，再
而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。這樣，在大量的問題中，
我們總是問：未知數(shù)是什么 我們可以變換提法，以各種不同的方式提問同一個
問題：求什么 你想找到什么 你假定求的是什么 這類問題的目的是把學(xué)生的注
意力集中到未知數(shù)上。有時，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達(dá)
到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。
從作者看來，在與學(xué)生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，
并加以分類是有價值的。前面這張表就包含了這類經(jīng)過仔細(xì)挑選與安排的問題
和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。讀者充分熟悉這張表并且
看出在建議之后所應(yīng)采取的行動之后，他會感到這張表中所間接列舉的是對解
題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大
小排列的。
3．普遍性
表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，例如：未知數(shù)是什么 已
知數(shù)是什么 條件是什么 這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題，我們
提出這些問題都會取得良好效果。它們的用途不限于任何題目。我們的問題可
以是代數(shù)的或幾何的，數(shù)學(xué)的或非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H的，一個嚴(yán)肅的問題
或僅僅是個謎語。這沒什么差別，上述問題都是有意義的，而且有助于我們解
題。
事實上，還存在一個限制，不過這與論題無關(guān)。表中某些問題與建議，只
能用于“求解題”而不能用于“求證題”。如果我們的問題屬于后者，則必須
采用別的提問方法，見第三部分“求解題，求證題”這一段。
4．常識
我們這張表中的問題與建議是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它
們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。例如這條建議：看
著未知數(shù)!試想出一個具有相同未知數(shù)或類似未知數(shù)的熟悉的問題，這條建議不
管怎樣總是勸告你去做你想做的事，而對于你認(rèn)真要解決的問題并未提出具體
的勸告。你是不是肚子餓了 如果你希望搞點吃的，你就會想起你所熟悉的搞到
食物的一些辦法。你是不是有一個幾何作圖題 如果你想作一個三角形，你也會
想起你所熟悉的一些作三角形的辦法。你是否有一個任意的問題 你若希望找出
某個未知數(shù)，你就會想起找出這樣一個未知數(shù)或你所熟悉的類似未知數(shù)的一些
辦法。如果你這樣做了，那你的路子也是對頭的；這個建議是個好建議，它向
你提出一個常能成功的程序。
我們表中的所有問題與建議都是自然的、簡單的、顯而易見的，而且只不
過是普通常識；但是這張表把常識概括地加以敘述。這張表所提出的處理辦法
對于那些認(rèn)真對待其問題并有某些常識的人來說是很自然的。然而按正確道路
行動的人往往不注意用明確的語言來表達(dá)其行動，而且他可能根本不會這樣做；
我們這張表卻嘗試去表達(dá)這些。
5．教師與學(xué)生，模仿與實踐
當(dāng)教師向?qū)W生提出表中的問題或建議時，他可能有兩個目的：第一，幫助
學(xué)生解決手頭的問題；第二，培養(yǎng)學(xué)生將來能夠獨立解題的能力。
經(jīng)驗證明，適當(dāng)使用我們表中的問題與建議，常能對學(xué)生有所裨益。此表
有兩個特點：常識性與普遍性。由于此表來源于普通常識，所以顯得很自然，
學(xué)生自己也會提出這類問題。由于此表具有普遍性，所以它們對學(xué)生的幫助并
非強加于人；它們只不過指出了一般的方向，而留給學(xué)生去做的還很多。
上述兩個目的是密切相關(guān)的。如果學(xué)生在解決手邊的問題中獲得成功，他
就提高了一些解題的能力。這時，我們不應(yīng)該忘記我們所提問題具有普遍性而
且可適用于許多情況。如果同一個問題反復(fù)地對學(xué)生有所幫助，那么他就會注
意到這個問題，于是在類似的情況下，他自己就會提出這個問題。通過反復(fù)地
提出這個問題，他總會有一次成功地誘導(dǎo)出正確的念頭。通過這樣一次成功，
他便發(fā)現(xiàn)了利用這個問題的正確途徑，于是，他真正地領(lǐng)會了它。
學(xué)生可能對我們表中的一些問題領(lǐng)會得很好，以致他最終能夠在恰當(dāng)?shù)臅r
刻向自己提出正確的問題，并進(jìn)行相應(yīng)的自然而活躍的思維活動。這樣，學(xué)生
就無疑從我們的表中得到了盡可能多的收獲。為了得到盡可能好的結(jié)果，教師
可以做些什么事呢
解題，譬如，就好象游泳一樣，是一種實際技能。當(dāng)你學(xué)習(xí)游泳時，你模
仿其他人的手足動作使頭部保持在水面上并最后通過實踐(實地練習(xí)游泳)來學(xué)
會游泳。當(dāng)試圖解題時，你也必須觀察并模仿其它人在解題時的所作所為，并
且最后通過實踐來學(xué)會解題。
希望提高學(xué)生解題能力的教師，必須培養(yǎng)學(xué)生的興趣，然后給他們提供大
量的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學(xué)生中發(fā)展相應(yīng)于我們表中的問
題與建議的思維活動，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問
題和建議。此外，當(dāng)教師在全班面前解題時，他應(yīng)當(dāng)使其思路更吸引人一些，
并且應(yīng)當(dāng)向自己提出那些在幫助學(xué)生時所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，
學(xué)生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將
學(xué)到比任何具體數(shù)學(xué)知識更為重要的東西。
主要部分，主要問題
6．四個階段
在求解過程中，我們很可能再三地改變我們的觀點，或者改變考慮問題的
途徑。我們應(yīng)該不斷地變更我們的出發(fā)點。當(dāng)我們開始著手解題時，我們對問
題的概念可能很不完整；當(dāng)我們有些進(jìn)展以后，我們的看法就不同了；而當(dāng)我
們幾乎已經(jīng)得到解答的時候，看法就會更不相同。
為了把我們表中的問題與建議進(jìn)行適當(dāng)分組，我們把工作分為四個階段。
首先，我們必須了解問題；我們必須清楚地看到要求的是什么 其次，我們必須
了解各個項之間有怎樣的聯(lián)系 未知數(shù)和數(shù)據(jù)之間有什么關(guān)系 為了得到解題的
思路，應(yīng)該制定一個計劃。第三，實現(xiàn)我們的計劃。第四，我們回顧所完成的
解答，對它進(jìn)行檢查和討論。
上述每一階段都有其重要性。可能會有這樣的情況：一個學(xué)生想出了一個
異常好的念頭，于是跳過所有的預(yù)備步驟，解答就脫口而出了。如此幸運的念
頭當(dāng)然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不如愿和很不走運的事：即，學(xué)生通
過上述四階段中的任何一個階段都沒有想出好念頭。最糟糕的情況是：學(xué)生并
沒有理解問題就進(jìn)行演算或作圖。一般說來，在尚未看到主要聯(lián)系或者尚未作
出某種計劃的情況下，去處理細(xì)節(jié)是毫無用處的。如果學(xué)生在實行其計劃的過
程中檢查每一步，就可以避免許多錯誤。如果學(xué)生不去重新檢查或重新考慮已
完成的解答，則可能失去某些最好的效果。
7、弄清問題
回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。
在校內(nèi)外，這種愚蠢和可悲的事情卻經(jīng)常發(fā)生，但教師應(yīng)力求防止在他的班級
里發(fā)生這樣的事。學(xué)生應(yīng)當(dāng)弄清問題，然而他不僅應(yīng)當(dāng)弄清它，而且還渴望解
出它。如果學(xué)生對問題沒弄清或不感興趣，這并不是他的過錯，問題應(yīng)當(dāng)精選，
所選的題目不太難但也不要太容易，應(yīng)順乎自然而且趣味盎然，并且有時在敘
述方式上也應(yīng)當(dāng)自然而有趣。
首先，必須了解問題的文字?jǐn)⑹觥＝處熢谀撤N程度上可以檢查這一點，他
可以要求學(xué)生重新敘述這題目，而學(xué)生應(yīng)能流利地重新敘述這個問題。學(xué)生還
應(yīng)當(dāng)能夠指出問題的主要部分，即未知數(shù)，已知數(shù)據(jù)，條件。所以老師提問時，
不要錯過這樣的問題：未知數(shù)是什么 已知數(shù)據(jù)是什么 條件是什么
學(xué)生應(yīng)該仔細(xì)地、重復(fù)地并且從各個方面來考慮問題的主要部分。如果問
題和某一圖形有關(guān)，那末他應(yīng)該畫張圖并在上面標(biāo)出未知數(shù)與已知數(shù)據(jù)。如果
對這些對象需要給以名稱，他應(yīng)該引入適當(dāng)?shù)姆枴＿m當(dāng)?shù)刈⒁膺x擇符號，他
就會被迫考慮這些必須選擇符號的對象。在此預(yù)備階段中，假定我們并不期望
有一個明確的回答，而只不過想有一個臨時性的回答或一個猜測，那么另外還
有一個問題可能是有用的，即：滿足條件是否可能呢
(在本書第二部分中，把“弄清問題”分成兩個階段：“熟悉問題”和“深
人理解問題”)。
8、例子
讓我們說明上節(jié)中的某幾點內(nèi)容。 我們選下列簡單問題：已知長方體的
長、寬、高，求其對角線長度。
為了對此問題作有益的討論，學(xué)生必須熟悉畢達(dá)哥拉斯定理及其在平面幾
何中的某些應(yīng)用。他們對立體幾何可能只有很少的系統(tǒng)知識。教師這時可以依
賴學(xué)生對空間關(guān)系的樸素知識。
教師可以通過使問題具體化而使之有趣。如教室就是個長方體，其尺寸可
以測量，也可以估計，要求學(xué)生不作測量，間接地求出教室的對角線長度。教
師指出教室的長、寬、高，用手勢說明什么是對角線，通過不斷地和教室相聯(lián)
系而使他畫在黑板上的圖變得更加形象。
以下是老師與學(xué)生間的對話：
“未知數(shù)是什么 ”
“長方體對角線的長度。”
“已知數(shù)是什么 ”
“長方體的長、寬、高。”
“引入適當(dāng)?shù)姆枺媚膫€字母表示未知數(shù) ”
“x”
“長、寬、高應(yīng)選哪些字母 ”
“a，b，c”
“聯(lián)系a，b，c與x的條件是什么 ”
“x是長方體的對角線，長方體的長、寬、高為a，b，c”
“這是個合理的問題嗎 我意思是說，條件是否充分，足以確定未知數(shù)嗎 ”
“是的，是充分的。如果我們知道a，b，c，我們就知道平行六面體。如
果平行六面體被確定，則對角線也被確定了。”
9．?dāng)M定計劃
當(dāng)我們知道，或至少大體上知道，為了求解未知數(shù)，必須完成哪些計算、
要作哪些圖的時候，我們就有了一個計劃。從弄清問題到想出一個計劃，其過
程可能是漫長而曲折的。事實上，求解一個問題的主要成績是構(gòu)想出一個解題
計劃的思路。這個思路可能是逐漸形成的。或者，在明顯失敗的嘗試和一度猶
豫不決之后，突然閃出了一個“好念頭”。老師為學(xué)生所能做的最大的好事是
通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭。我們下面就要討論的問題
與建議正是要誘發(fā)這樣一種好念頭。
為了弄清學(xué)生的心理活動，老師應(yīng)當(dāng)回想他自己的經(jīng)驗，回顧他自己在解
題時碰到的困難與取得成功的經(jīng)驗。
我們當(dāng)然知道，如果我們對該論題知識貧乏，是不容易產(chǎn)生好念頭的。如
果我們完全沒有知識，則根本不可能產(chǎn)生好念頭。一個好念頭的基礎(chǔ)是過去的
經(jīng)驗和已有的知識。僅僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭。但若不重新收集一些有關(guān)
事實，則也不會出現(xiàn)好念頭。只有材料還不足以蓋房子，但是不收集必需的材
料也蓋不了房子。解決數(shù)學(xué)問題所必需的材料是我們早已獲得的數(shù)學(xué)知識的某
些有關(guān)內(nèi)容，如以前解決的問題，以前證明過的定理。因此，以下列問題開始
工作常常是合適的：你知道一個與此有關(guān)的問題嗎
困難就在于：通常有相當(dāng)多的問題與我們現(xiàn)在手上的問題有關(guān)，即，與它
有某種共同之處。我們怎樣挑出其中一個或幾個確實有用的問題呢 我們建議把
力量放在主要的共同之處上：看著未知數(shù)!試想起一個具有相同或相似未知數(shù)的
熟悉的問題來。
如果我們成功地回想起一個與當(dāng)前問題密切相關(guān)的早已解決的問題，那是
很幸運的。我們應(yīng)當(dāng)爭取這樣的運氣；通過探索我們是可以得到它的。 這里
有個問題與你的問題有關(guān)，且早已解決，你能利用它嗎
上述問題，如能很好地理解和認(rèn)真地加以考慮，常常有助于激發(fā)起一連串
正確的想法；但它們并不總是有用的，它們并非魔法。如果這些問題不行，我
們必須尋找某些其他的適當(dāng)接觸點，并且探索問題的各個方面；我們不得不變
化、變換、修改該問題。你能否重述這個問題 我們表中的某些問題提示了改變
問題的專門方法，例如普遍化、特殊化、應(yīng)用類比、舍去一部分條件等等；具
體細(xì)節(jié)是重要的，但我們現(xiàn)在不能深入討論。改變問題可能導(dǎo)致提出某種適當(dāng)
的輔助問題：如果你不能解決所提出的問題，則應(yīng)首先嘗試去解決某些與此有
關(guān)的問題。
嘗試去應(yīng)用各種已知的問題或定理，考慮各種修改，對各種輔助問題進(jìn)行
試驗，我們可能離開原來的問題太遠(yuǎn)，甚至最后有失掉它的危險。但是還有一
個很好的問題可以把我們帶回原處：你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù) 你是否利用
了整個條件
10．例子
我們回到第8節(jié)中的例子。
“你是否知道一個與此有關(guān)的問題 ”
……
“看著未知數(shù)，你是否知道一個具有相同未知數(shù)的問題 ”
“好，未知數(shù)是什么 ”
“平行六面體的對角線。”
“你是否知道任何具有相同未知數(shù)的問題 ”
“不，我們還沒有任何關(guān)于平行六面體對角線的問題”
“你是否知道任何具有相似未知數(shù)的問題 ”
……
“你看，對角線是個線段，就是直線的一段。你從來沒有解決過一個未知
數(shù)是直線長度的問題 ”
“當(dāng)然，我們曾經(jīng)解決過這樣的問題，例如找出直角三角形的一個邊。”
“好啊! 這里有一個知你的問題有關(guān)的問題，且早已解決，你能利用它
嗎？”
“你真走運，你想起了一個與你當(dāng)前問題有關(guān)的問題，而且這個問題你以
前已經(jīng)解決了。你愿意利用它嗎 為了能利用它，你能否引進(jìn)某個輔助元素 ”
圖1
“看這里，你所想起的是一個關(guān)于三角形的問題。圖中有三角形嗎 ”
我們希望這最后的提示已明白得足以誘發(fā)出解題的思路(即引入一個在圖
1中用陰影畫出的直角三角形)。這個引入的直角三角形的斜邊就是我們所要求
的對角線。但是教師應(yīng)當(dāng)對下述情況有所準(zhǔn)備：即使這樣明白的提示也不能使
學(xué)生開竅，那么他應(yīng)當(dāng)動用所有越來越明顯的提示。
“你是否想在圖1中有個三角形 ”
“在圖中，你想有哪種三角形 ”
“你現(xiàn)在還不能求出這對角線；但你說過你能求出三角形的一個邊。那么
現(xiàn)在你該怎么辦呢 ”
“如果對角線是三角形的一個邊，你能找出它嗎 ”
經(jīng)過或多或少的幫助后，學(xué)生終于成功地引進(jìn)了決定性的輔助元素，即圖
中陰影三角形，在鼓勵學(xué)生進(jìn)入實際計算之前，教師應(yīng)確信其學(xué)生對問題的理
解已有足夠的深度。
“我想，畫出那個三角形是個好主意，你現(xiàn)在有了個三角形，但是你是否
有未知數(shù) ”
“未知數(shù)是三角形的斜邊，我們可用畢達(dá)哥拉斯定理去計算它”
“如果兩邊為已知，你會計算。但它們是已知的嗎 ”
“一個邊已給定，是c。另一個邊，我想也不難求出。是的，另一邊是另
一個直角三角形的斜邊。”
“很好!現(xiàn)在我看出你有個計劃了。”
11．實現(xiàn)計劃
想出一個計劃，產(chǎn)生一個求解的念頭是不容易的。要成功需要有許多條件，
如已有的知識、良好的思維習(xí)慣、目標(biāo)集中，還要有好運氣。但實現(xiàn)計劃則容
易得多，我們所需要的主要是耐心。
計劃僅給出一個一般性的大綱，我們必須充實細(xì)節(jié)并耐心地檢查每一個細(xì)
節(jié)，直到每一點都完全清楚了，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。
如果學(xué)生真的擬定出一個計劃，則教師就比較清閑了。現(xiàn)在的主要危險是
學(xué)生可能會忘記他的計劃。因為那些從外界接受計劃的和根據(jù)教師的權(quán)威來采
納某個計劃的學(xué)生，很容易發(fā)生這種現(xiàn)象；但若是學(xué)生自己搞出來的計劃(即便
經(jīng)過某種幫助)并且學(xué)生滿意地看出了最終的思路，則他就不那么容易忘記。教
師必須堅持讓學(xué)生檢查每一步驟。
根據(jù)“直觀”或“形式”上的論證，我們可以使自己相信每一步驟的正確
性。我們可以集中力量在有問題的疑點上，直到完全搞清楚，毫不懷疑每一步
驟都是正確的為止；或者我們可以根據(jù)形式推理的法則推導(dǎo)出有問題的這一點
(在許多重要的場合，直接觀察與形式證明二者間的區(qū)別是足夠明顯的；更進(jìn)一
步的討論讓我們留給哲學(xué)家們?nèi)ミM(jìn)行吧!)
主要之點是：學(xué)生應(yīng)當(dāng)真正地相信每一步驟的正確性。在某些情況老師可
以強調(diào)“看出來”與“證明”二者之間的差別而提出：你能清楚地看出這一步
驟是正確的嗎 同時你也能證明這一步驟是正確的嗎
12．例子
我們繼續(xù)第10節(jié)末尾留下的工作。學(xué)生最后已經(jīng)得到了解題的思路。他看
出未知數(shù)x是直角三角形的斜邊，而給定的高度c是邊長之一，另一邊則是六面
體的一個面的對角線。很可能這剛學(xué)生被催促引入一個適當(dāng)?shù)姆枴Ｋ麘?yīng)當(dāng)選
擇y表示另一邊，即面上的對角線，其兩邊為a和b。學(xué)生現(xiàn)在可能看得更清楚：
解題的思路就是應(yīng)該引進(jìn)一個輔助未知數(shù)y0最后，陸續(xù)對這兩個直角三角形進(jìn)
行考慮之后，他得到
2 2
x2=y +c
2 2 2
y =a +b于是消去輔助未知數(shù)y，從而有
2 2 2
x2=a +b +c
x= a 2 + b2 + c2
如果學(xué)生正確地進(jìn)行上述細(xì)節(jié)運算，老師沒有理由去打斷他，除非必要時
提醒他應(yīng)當(dāng)檢查每一步。這樣，教師可以問：
“你能清楚地看出具有三邊x，y，c的三角形是直角三角形嗎 ”
對于這個問題，學(xué)生可能老老實實回答：“是”。但是如果老師不滿足于
學(xué)生的直觀猜測，他應(yīng)該繼續(xù)提問：
“但是你能證明這個三角形是個直角三角形嗎 ”
除非整個班級對于立體幾何已經(jīng)有了良好的起點，否則教師不應(yīng)當(dāng)提出這
個問題。即使如此，也仍然存在某些危險性，即對這個偶然提出問題的回答可
能成為大多數(shù)學(xué)生的主要困難。
13．回顧
即使是相當(dāng)好的學(xué)生，當(dāng)他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證
后，就會合上書本，找點別的事來干干。這樣做，他們就錯過了解題的一個重
要而有教益的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個結(jié)
果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力。
一個好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學(xué)生下述看法：沒有任何問題是可以解決得
十全十美的。總剩下些工作要做。經(jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進(jìn)這個
解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。
現(xiàn)在學(xué)生已經(jīng)完成了他的計劃。他已經(jīng)寫出了答案，檢查了每一步。這樣，
他似乎有充分理由相信他的解答是正確的了。然而，出現(xiàn)錯誤總還是可能的，
特別當(dāng)論證冗長而復(fù)雜的時候更是如此。所以要驗證。特別是，如果有某種快
速而直觀的辦法來檢驗結(jié)果或者檢驗論證，決不要忽略。你能檢驗這結(jié)果嗎
你能檢驗這個論證嗎
為了確信某個東西的存在或其質(zhì)量的好壞，我們總喜歡去看看它，摸摸它。
我們總是通過兩種不同的感官來感知它。同樣，我們也寧可通過兩種不同的證
明使我們對結(jié)果確信無疑。因此要問：你能用不同方法來導(dǎo)出這結(jié)果嗎 當(dāng)然，
我們寧愿要簡短而直觀的論證，而不要冗長而煩瑣的，所以要問：你能一下子
看出它嗎
教師的首要職責(zé)之一是不要給學(xué)生以下述錯覺：數(shù)學(xué)題目之間很少有聯(lián)
系，和任何其他事物則完全沒有什么聯(lián)系。當(dāng)我們回顧問題解答的時候，我們
自然有機會來考察一個問題與其它事物的聯(lián)系。如果學(xué)生已經(jīng)作出了真誠的努
力并且意識到自己完成得不錯，那末他們將發(fā)現(xiàn)對解答加以回顧確實饒有趣味。
這樣，他們就熱切地想知道用真誠的努力還可干些什么別的，以及下次他如何
能干得同樣好。教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生設(shè)想一些情況，在那些情況下，他能再一次
利用所使用的辦法，或者應(yīng)用所得到的結(jié)果。你能把這結(jié)果或這方法用于某個
其它問題嗎
14．例子
在第12節(jié)，學(xué)生最后得到了解答：如果長方體自同一角引出的三個邊為a，
b，c，那末對角線為
a 2 + b2 + c2
你能檢驗這個結(jié)果嗎 教師不能指望從缺乏經(jīng)驗的學(xué)生那里得到這個問題
的良好回答。但是學(xué)生應(yīng)該很早就獲得下述經(jīng)驗：用字母表達(dá)的問題比純粹數(shù)
字題好。對于用字母表示的題，其結(jié)果很容易進(jìn)行幾次檢驗，而用數(shù)字表示的
題則不然。我們的例子雖然很簡單，也足以證明這點。教師可以對結(jié)果提出好
幾個問題，對這些問題，學(xué)生可以很容易地回答“是”；但如回答“不是”，
這將表明結(jié)果中存在嚴(yán)重的缺點。
“你是否使用了所有的數(shù)據(jù) 是否所有數(shù)據(jù)a，b，c都在你的對角線公式中
出現(xiàn) ”
“長、寬、高在我們的問題中起的作用是一樣的，我們的問題對a，b，c
來說是對稱的。你所得的公式對a，b，c對稱嗎 當(dāng)a，b，c互換時公式是否保持
不變 ”
“我們的問題是一個立體幾何問題給定尺寸a，b，c，求平行六面體的對
角線。我們的問題與平面幾何的問題類似：給定尺寸a、b，求矩形的對角線，
這里立體幾何問題的結(jié)果是否與平面幾何的結(jié)果類似 ”
“如果高c減小，并且最后等于零，這時平行六面體變成平行四邊形。在
你的公式中，令c=0，是否得到矩形對角線的正確公式 ”
“如果高c增加，則對角線也增加。你的公式是否表明這點 ”
“如果平行六面體的三個量度a，b，c按同一比例增加，則對角線也按同
一比例增加。在你的公式中，如將a，b，c分別代以12a，12b，12c，則對角線
也將乘以12，是否這樣 ”
“如果a，b，c的單位是尺，則你的公式給出的對角線的單位也是尺；如
果將所有單位改為寸，則公式應(yīng)保持正確，是否如此 ”
(后兩個問題基本上是等價的。參見“量綱檢驗”一節(jié))
上述一些問題有幾個好處。首先，公式通過這么多的檢驗，這一事實不能
不使一個聰明的學(xué)生產(chǎn)生深刻的印象。學(xué)生以前就相信公式是正確的，因為公
式是他仔細(xì)推導(dǎo)出來的。但是現(xiàn)在經(jīng)過這么多檢驗，他就更深信無疑了，這種
信心的增加來源于一種“實驗的數(shù)據(jù)”。正是由于上述問題，公式的細(xì)節(jié)獲得
了新的意義，而且和不同的事實聯(lián)系起來了。這樣，公式就更容易記住，學(xué)生
的知識得以鞏固。最后，上述問題很容易轉(zhuǎn)到類似的題目上。對于類似題目獲
得一些經(jīng)驗以后，一個聰明的學(xué)生就能覺察出所包含的普遍概念：即，利用所
有有關(guān)數(shù)據(jù)，改變數(shù)據(jù)，對稱，類比。如果他養(yǎng)成了把注意力集中在這些地方
的習(xí)慣，他解題的能力肯定會提高。
你能檢驗這個論證嗎 在困難而重要的場合，可能需要逐步地重新檢驗論
證。但通常，重新檢查一下令人惱火之點就夠了。在本例，可以建議討論以前
提過的問題：你能證明具有三邊x，y，c的三角形是直角三角形嗎(見第12節(jié)末
尾處)
你能把這結(jié)果或方法用于其它問題嗎 在受到一些鼓勵并且經(jīng)過一兩個示
范例子以后，學(xué)生們很容易找到應(yīng)用，這些應(yīng)用實質(zhì)上就是把問題的抽象數(shù)學(xué)
元素賦予具體的解釋。當(dāng)教師在進(jìn)行討論的教室里，把教室當(dāng)作問題中的長方
體，他自己就使用了這樣一種具體的解釋。一個笨拙的學(xué)生可能會提議計算食
堂的對角線，而不是教室的對角線來作為一種應(yīng)用。如果學(xué)生們自己提不出來
更有想象力的內(nèi)容，那么教師本人可以提出一個稍許不同的問題，例如：“給
定長方體的長、寬、高，求中心到一角的距離”。
學(xué)生可以利用剛才解決的問題的結(jié)果，因為所求距離是對角線的一半。或
者他們也可以利用引入適當(dāng)?shù)闹苯侨切蔚姆椒?后一種辦法對于本例來說，是
不那么顯而易見的，并且多少有點笨拙)。
在這個應(yīng)用例子之后，教師可以討論長方體四個對角線和六個棱錐體的結(jié)
構(gòu)，這六個棱錐體的底是長方體的六個面、公共頂點是長方體的中心、而側(cè)棱
是長方體對角線的一半。當(dāng)學(xué)生的幾何想象力被充分激發(fā)以后，教師應(yīng)當(dāng)回到
他的問題上來：你能把結(jié)果或方法用于某個其他問題嗎 現(xiàn)在學(xué)生有機會找到更
有趣的具體應(yīng)用了，例如，下面就是一個：“在一個長21碼、寬16碼的建筑物
的長方形平屋頂?shù)闹行囊⒁粋€高8碼的旗桿。為了支撐這根旗桿，我們需要四
根等長的拉線。規(guī)定四根拉線要離旗桿頂點為2碼處的同一點開始，而另一端是
建筑物頂部的四個角。問每根拉線有多長 ”
學(xué)生可以采用上面已詳細(xì)求解過的問題中所用方法，即在一個垂直平面上
引入一個直角三角形而在水平平面上引入另一個三角形。或者他們也可以利用
上面的結(jié)果：設(shè)想有一個長方體，其對角線x就是四根纜繩之一而它的邊是
a=10.5, b=8, c=6
直接應(yīng)用公式可求出x=14.5。
更多的例子可見“你能利用這個結(jié)果嗎 ”那一節(jié)。
15．不同的方法
我們對前面8、10、12、14幾節(jié)所考慮的問題繼續(xù)討論一下。主要的工作，
即提出計劃，已在第10節(jié)加以敘述。讓我們觀察教師用不同的方式來進(jìn)行。 從
與第10節(jié)相同之點出發(fā)，以后可以沿著稍許不同的路線提出下列各問題：
“你是否知道任何與此有關(guān)的問題 ”
“你是否知道一個類比的問題 ”
“你看，所提的問題是關(guān)于空間的圖形，它與長方體的對角線有關(guān)。關(guān)于
平面中的類比問題可能是什么 它應(yīng)該與長方形的對角線有關(guān)”。
“平行四邊形”。
即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒有能力推測任何事物的學(xué)生，最后也會
被迫對解題的思路至少作出微小的貢獻(xiàn)。此外，如果學(xué)生確實比較遲鈍，為了
使學(xué)生有所準(zhǔn)備，教師應(yīng)該事先討論平行四邊形的類比問題，否則不能一下子
就端出現(xiàn)在的這個長方體問題。然后，教師可以繼續(xù)提問如下：
“這里有一個與你有關(guān)且已解決了的問題，你能利用它嗎 ”
“為了有可能利用它，你是否應(yīng)當(dāng)引入某個輔助元素 ”
最后教師可以成功地向?qū)W生提出他所希望的概念。這就是把給定長方體的
對角線想象為必須引入圖中的一個合適的平行四邊形的對角線(這個平行四邊
形是通過長方體和兩個對邊的平面的截面)。此概念本質(zhì)上和前面(第10節(jié))相
同，但方法卻不一樣。在第10節(jié)是通過未知數(shù)來觸及到學(xué)生的可用的知識的；
我們回想起一個以前已解決的問題是因為其未知數(shù)和當(dāng)前提出的問題中的未知
數(shù)相同。而在本節(jié)，是用類比的方法使學(xué)生觸及到解題的概念。
16．教師提問的方法
在第8，10，12，14，15各節(jié)所闡述的提問方法主要是先從表中一般化的
問題和建議開始，在需要時，逐步轉(zhuǎn)向更特殊更具體的問題和建議，直到在學(xué)
生的頭腦中能引出一個回答為止。如果你必須幫助學(xué)生開拓某種思路，如果可
能的話，從表中一個一般化的問題或建議重新開始提問，并在必要時再一次回
到某個更特殊的問題，如此等等。
當(dāng)然，這張表僅僅是這種類型的第一張表，看來對大多數(shù)簡單情況是夠用
了。但無疑它還應(yīng)該改進(jìn)。重要的是，我們開始提的問題與建議應(yīng)該簡單、自
然和一般化，同時表應(yīng)當(dāng)短。
建議必須簡單而自然，否則就會太唐突。
如果我們想培養(yǎng)學(xué)生的能力而不是特殊技巧的話，那么建議必須一般化，
不僅可用于目前的問題，而且可用于各類問題。
表必須簡短，使得在不同情況下，能夠不矯揉造作地重復(fù)提問，從而有機
會最終能為學(xué)生所掌握，并對培養(yǎng)思維習(xí)慣作出貢獻(xiàn)。
為了培養(yǎng)學(xué)生的獨立工作能力，必需逐步改為提出特殊的建議。
這種提問的方法不是一成不變的，幸好如此，因為在這類事情中，任何一
成不變的、機械的、陳舊的程序必然很糟糕。我們允許有一定的靈活性，它允
許采用各種辦法(見第15節(jié))，它可以而且應(yīng)該這樣來實施，使得教師所提的問
題可以由學(xué)生自已提出來。
如果有讀者希望在他的班上試一試這里所提出的方法，他當(dāng)然應(yīng)該小心地
進(jìn)行，他應(yīng)該仔細(xì)地研究第8節(jié)的例子和后面笫18、19、20節(jié)中的例子。他應(yīng)當(dāng)
仔細(xì)地準(zhǔn)備他打算討論的例子，同時也考慮到各種不同的方法。他開始時應(yīng)作
少量試驗，并逐漸摸索出他應(yīng)如何掌握這個方法，學(xué)生如何學(xué)習(xí)這個方法并且
需要多少時間。
17．好問題與壞問題
如果能很好地理解上節(jié)所提出的提問方法，則通過比較可以有助于判斷某
些建議的好壞，這些建議是為了幫助學(xué)生而可能提出來的。
回到原來在第10節(jié)開始時的情況，那時提問下列問題：你知道一個與此有
關(guān)的問題嗎 我們從幫助學(xué)生的最好意愿出發(fā)，不問這個問題，而改為提問：你
能應(yīng)用畢達(dá)哥拉斯定理嗎
我們的動機可能是極好的，但是這種提問卻大概是最壞的。我們必須認(rèn)識
是在什么情況下提出這個問題的；然后我們會發(fā)現(xiàn)有一大堆反對意見反對這種
類型的“幫助”。
(1)如果學(xué)生已接近于問題的解決，他可能理解問題的建議；但是如果他不
是這樣，他十分可能完全看不到問題的著眼點，因而在最需要幫助之處卻得不
到幫助。
(2)這建議的針對性太強了，即使學(xué)生能利用它解決當(dāng)前的問題，對于將
來的問題來說并沒有學(xué)到什么。這種提問不是很有啟發(fā)性的。
(3)即使學(xué)生理解這建議，他們也極少能理解教師怎么會想到提出這樣一
個問題，而學(xué)生他自己又怎樣能想出這樣一個問題呢 它看起來很不自然，很令
人詫異，就好象變戲法耍魔術(shù)一樣。它實在沒有什么啟發(fā)性。
對第10、15節(jié)中所描述的過程就提不出上述任何反對意見了。
更多的例子
18．一個作圖題
在給定三角形中作一正方形。正方形的兩個頂點在三角形的底邊上，另二
個頂點分別在三角形的另兩邊上。
“未知的是什么 ”
“一個正方形”
“已如數(shù)據(jù)是什么 ”
“一個給定的三角形，其它沒有。”
“條件是什么 ”
“正方形的四個角在三角形的邊線上，兩個在底上，其余兩邊每邊上有一
個。”
“是否可能滿足條件 ”
“我想如此，但不太有把握。”
“看起來，你解此題并不太容易。如果你不能解決所提問題，首先嘗試去
解決某個與此有關(guān)的問題。你能滿足部分條件嗎 ”
“你說部分條件是什么意思 ”
“你看，條件與正方形的所有頂點有關(guān)，這里有幾個頂點 ”
“四個。”
“所謂部分條件涉及的頂點數(shù)應(yīng)當(dāng)少于四個。請僅僅保持部分條件而舍去
其余部分。什么樣的部分條件容易滿足 ”
“兩頂點在三角形邊線上，甚至三個頂點都在三角形邊線上的正方形，是
容易畫出來的!”
“畫張圖!”
學(xué)生畫出圖2。
圖2
“你僅僅保留了部分條件，同時你舍去了其余條件。現(xiàn)在未知的確定到了
什么程度 ”
“如果正方形只有三個頂點在三角形的邊線上，那么它是不確定的。”
“好!畫張圖。”
學(xué)生畫出圖3。
“正象你所說的，保持部分條件不能確定正方形、它會怎樣變化呢 ”
圖3
“你的正方形的三個角在三角形的邊線上，但第四個角還不在它應(yīng)該在的
地方。正象你說的，你的正方形是不確定的，它能變化；第四個角也是這樣，
它怎樣變化 ”
……
“如果你希望的，你可以用實驗的辦法試試看。按照圖中已有的兩個正方
形的相同辦法，去畫出更多的三個角在邊線上的正方形。畫出小的正方形與大
的正方形。第四角的軌跡看起來象是什么 它將怎樣變化
教師已把學(xué)生帶到非常接近于解答的地方。如果學(xué)生能猜到第四個角的軌
跡是一條直線，他就得到這個主意了。
19．一個證明題
在不同平面上的兩個角，其中一個角的每一邊平行于另一角的對應(yīng)邊且方
向相同。證明這兩個角相等。
我們要證的是立體幾何的一個基本定理。這個問題可以提給那些熟悉平面
幾何以及立體幾何中下列少數(shù)事實的學(xué)生，這少數(shù)事實構(gòu)成了歐幾里得原理中
當(dāng)前這個定理的預(yù)備知識。我們不但把直接引自我們表中的問題與建議劃上線，
而且把那些與它們相對應(yīng)的問題與建議也劃上線。例如，“求證題”是和“求
解題”相對應(yīng)的(在“求解題，求證題”標(biāo)題下的第5，6小節(jié)中，我們再系統(tǒng)地
討論這種對應(yīng)關(guān)系)。
“前提是什么 ”
“兩角在不同的平面上，其中一個的每一邊平行于另一角的對應(yīng)邊，且方
向相同。”
“結(jié)論是什么 ”
“兩角相等。”
“畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆枴！?br/>學(xué)生畫出圖4中的線，并在教師的或多或少的幫助下，標(biāo)出圖4中的字母。
“前提是什么 請用你的符號表達(dá)出來。”
“A，B，C和A'，B'，C'不在同一平面上，且AB∥A'B'， AC∥A'C'。AB的
方向與A'B'的方向相同，而AC的方向與 A'C'的方向相同。”
圖4
“結(jié)論是什么 ”
“看著結(jié)論! 嘗試想起一個具有相同或相似結(jié)淪的熟悉的定理。”
“如果兩個三角形全等，則對應(yīng)角相等。”
“很好! 現(xiàn)在有一個與你的問題有關(guān)的定理，且早已證明。你能否利用
它 ”
“我想如此，不過我還不清楚怎么辦。”
“為了可能利用它，你是否應(yīng)該引入某個輔助元素 ”
…… ……
“好，你提得非常好的那個定理是關(guān)于三角形的，是關(guān)于一對全等三角形
的。在你的圖中有沒有三角形 ”
“沒有，但我能引進(jìn)一些。讓我連接B與C，B'與C'，這樣就有了兩個三角
形，ABC和A'B'C'。”
“做得好，但是這些三角形有什么用 ”
“去證明結(jié)論；∠BAC=∠B’A’C’”
“好，如果你希望汪明這點，你需要兩個什么樣的三角形 ”
“全等三角形。噢，對了，我可以選擇B，C，B'，C'，使得
AB=A'B'， AC=A'C'”
“好極了!現(xiàn)在你希望證明什么 ”
“我希望證明兩個三角形全等，
△ABC=△A'B'C'
如果我能證明這點，則立即可得結(jié)論∠BAC=∠B'A'C'。”
“妙!你有了一個新目標(biāo)，這目標(biāo)是一個新結(jié)論。看著這結(jié)論! 并且嘗試
想起一個具有相同或相似結(jié)論的熟悉的定理。”
“當(dāng)且僅當(dāng)一個三角形的三條邊分別等于另一個三角形的三條邊時，這兩
個三角形全等。”
圖5
“做得好。本來你有可能會選出一條較差的定理的。現(xiàn)在這里有了一條與
你的問題有關(guān)的定理，且早已證明，你能否利用它 ”
“如果我知道BC=B'C'，我能利用它。”
“對!那么你的目標(biāo)是什么 ”
“證明BC=B'C'。”
“試回憶起一個具有相同或相似結(jié)論的熟悉的定理。”
“是的，我知道一個定理，它最后結(jié)束的句子是：‘……則兩線相等’，
但它并不合適。”
“為了能夠利用它，你是否應(yīng)該引入某個輔助元素 ”
“你看，在圖中BC與B'C'間并無聯(lián)系，你怎么能證明 BC=B'C' ”
…… ……
“你利用了前提嗎 前提是什么 ”
“我們假定AB∥A'B'，AC∥A'C'。是的，當(dāng)然我們必須利用這點。”
“你是否利用了整個前提 你說AB∥A'B'，這是你所知道的關(guān)于這些線段的
全部情況嗎 ”
“不，根據(jù)作圖，AB還等于A'B'。它們彼此平行并且相等。AC和A'C'也是
這樣。”
“兩個等長的平行線——這是很有趣的圖形。你以前見過嗎 ”
“當(dāng)然見過!對!平行四邊形!讓我聯(lián)結(jié)A與A'，B與 B'，C與C'。”
“這主意不太壞。現(xiàn)在你的圖中有幾個平行四邊形 ”
“兩個。不，三個。不，兩個。我意思是說，其中有兩個，你可以立刻證
明它們是平行四邊形。還有第三個看來是個平行四邊形。我希望我能證明它是。
這樣證明就結(jié)束了!”
我們可能從這個學(xué)生前面的回答已經(jīng)推測到他很聰明。但是等他作出上述
最后一個回答以后，我們對此就深信不疑了。
這個學(xué)生能夠猜出數(shù)學(xué)結(jié)果并且能夠清楚地區(qū)分證明與猜測。他也知道猜
測可以多多少少似乎是可信的。確實，他真的從數(shù)學(xué)課上得到了教益；他在解
題方面有了某種實際經(jīng)驗，他可以看出并且摸索出一個好的解題思路。
20．一個速率問題
水以速率r流進(jìn)錐形容器。容器具有正圓錐形狀，底是水平的，頂點在下
方，底的半徑是a，高為b。當(dāng)水深為y時，求水表面上升的速率。最后，假定a=4
尺，b=3尺，r=2立方尺/分，y=1尺，求未知數(shù)的數(shù)值。
圖6
我們假定學(xué)生知道最簡單的微分法和變化率的概念。
“已知數(shù)是什么 ”
“圓錐底的半徑a=4尺，圓錐的高b=3尺，水流入容器的速率r=2立方尺/分，
在某一時刻的水深y=1尺。”
“對，從問題的敘述方式看來，是建議你先忽略具體數(shù)值而用字母求解，
把未知數(shù)用a，b，r，y表示出來，而僅在最終得到未知數(shù)的字母表達(dá)式以后再
代入具體數(shù)值。我愿意按照這條建議做。現(xiàn)在未知數(shù)是什么？”
“當(dāng)水深為y時，水面升起的速率。”
“它是什么 你能用其他術(shù)語來說嗎 ”
“水深增加的速率。”
“它是什么 你能否再重新敘述得更不同些 ”
“水深的變化率。”
“對，y的變化率。但什么是變化率 回到定義去。”
“函數(shù)的變化率是導(dǎo)數(shù)。”
“正確。現(xiàn)在y是函數(shù)嗎 如前所述，我們不管y的具體數(shù)值。你能否想象y
是變化的 ”
“是的，水深y隨著時間而增加。”
“這樣，y是什么的函數(shù) ”
“時間t的。”
“好，引入適當(dāng)?shù)挠浱枴Ｓ脭?shù)學(xué)符號，你將怎樣寫‘y的變化率’ ”
“dy/dt”
“好，這就是你的未知數(shù)。你必須用a，b，r，y來表示它。順便說一下，
數(shù)據(jù)中有一個是‘速率’，哪一個 ”
“r是水流進(jìn)容器的速率。”
“它是什么 你能用別的術(shù)語來說它嗎 ”
“r是容器中水的體積的變化率。”
“它是什么 你能否再重新敘述得更不同些 你將怎樣用適當(dāng)?shù)挠浱杹韺?br/>它 ”
“r=dV/dt”
“V是什么 ”
“在時間t，容器中水的體積”
“好，這樣你必須用a，b，dV/dt，y，來表示dy/dt，你將怎樣做 ”
…… ……
“如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關(guān)的問題。如果
你到現(xiàn)在還看不出dy/dt與數(shù)據(jù)間的聯(lián)系；嘗試去引入某種能作為中間過渡踏腳
石的更簡單的聯(lián)系。”
“你看不出還有別的聯(lián)系嗎 例如y與V是否彼此獨立 ”
“不，當(dāng)y增加，V一定也增加。”
“那么說，是有聯(lián)系了，這聯(lián)系是什么 ”
“好，V是錐體的體積，y是錐體的高。但我現(xiàn)在還不知道底的半徑。”
“不過，你可以考慮它。叫它什么，譬如設(shè)它為x吧!”
πx 2 y
“V= 。”
3
“正確，關(guān)于x又知道些什么 它是否與y獨立 ”
“不，當(dāng)水深y增加，自由表面的半徑x也增加。”
“這么說，它們之間是有聯(lián)系的。但這聯(lián)系是什么 ”
“當(dāng)然是相似三角形。x：y=a：b”
“你看，又多了個聯(lián)系，我不愿錯過從它那兒得到的好處。別忘了，你希
望知道的是y與V之間的聯(lián)系。”
“現(xiàn)在我有x=ay/b
πa 2 y 3
V= ”
3b 2
“很好，這看來像個踏腳點。難道不是嗎 但你別忠了你的目標(biāo)。未知數(shù)是
什么 ”
“噢，是dy/dt”。
“你必須找出dy/dt，dV/dt與其他數(shù)量間的聯(lián)系。但這里有的卻是y，V和其
他數(shù)量間的聯(lián)系。你該怎么辦 ”
“當(dāng)然是微分!
V πa 2 y 2 y
=
t b2
就是它。”
t
“妙!那么從已經(jīng)給出的數(shù)值能得出什么結(jié)果呢 ”
“若a=4，b=3，dV/dt=r=2，y=l，則
2 π ×16 ×1 y = 。”也即
9 t
dy/dt=0.358尺/分。
第二部分怎樣解題——一段對話
1．熟悉問題
我應(yīng)該從哪兒開始 從問題的敘述開始。
我能做什么 觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細(xì)節(jié)。
這樣做，我能得到什么好處 你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題
的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調(diào)動起你的記憶力，做好
準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點。
2．深入理解問題
我應(yīng)該從哪兒開始 還是從問題的敘述開始。當(dāng)你對問題的敘述已如此清楚
并已深深地印入腦海，以致你即使暫時不去看它，你也不怕把它完全忘掉時，
你就可以開始下面的工作了。
我能做什么 先把問題的主要部分剖析出來。因為前提與結(jié)論是“求證題”
的主要部分。未知、已知與條件是“求解題”的主要部分。再把問題中的主要
部分都弄一遍，并且要逐個地考慮，輪流地考慮，而且在各種組合中來考慮，
同時把每個細(xì)節(jié)與其它細(xì)節(jié)聯(lián)系起來，把每個細(xì)節(jié)與整個問題聯(lián)系起來。
這么做，我能得到什么好處 你會準(zhǔn)備好并弄清楚以后可能起作用的細(xì)節(jié)。
3．探索有益的念頭
應(yīng)該從哪兒開始 從考慮問題的主要部分開始。當(dāng)主要部分能很清楚地排
列出來，想得明明白白(這應(yīng)歸功于你前面的工作)并且也記得住時，這時開始
做下一步。
怎樣進(jìn)行 從各個方面來考慮你的問題，找出與你現(xiàn)有知識有關(guān)之處。
從各個方面考慮你的問題。分別突出各個部分，考察各個細(xì)節(jié)，用不同方
法反復(fù)審查同一細(xì)節(jié)。把細(xì)節(jié)用不同方式組合起來，從不同角度考慮它。試著
在每一細(xì)節(jié)中發(fā)現(xiàn)某些新意義，嘗試在整個問題中得出某些新解釋。
從你現(xiàn)有知識中找出與問題有關(guān)之處。試想過去在類似的情況下有什么曾
幫過你的忙。在你所考察的內(nèi)容中，設(shè)法找出熟悉的東西來，在你所熟悉的東
西中，努力找出有用的東西來。
能找出什么 一個有用的念頭，也許是個決定性的念頭，它能使你一限看
出解決問題的途徑。
念頭有什么用 它會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地清楚地
向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。如果你有一個念頭，你就夠幸
運的了。
碰上一個不完整的念頭怎么辦 應(yīng)該加以考慮。如果它看來有好處，就應(yīng)
該多考慮一會兒。如果它看來是可靠的，你應(yīng)當(dāng)確定它能引導(dǎo)你走多遠(yuǎn)，并重
新考慮一下形勢。由于這個有益的念頭，情況已經(jīng)變化了。你要從各個方面來
考慮新形勢并找出它與你現(xiàn)有知識之間的聯(lián)系。
再次這樣做，還能得到什么好處 如果你走運的話，你或許能找到另一個
念頭。也許下一個念頭會引導(dǎo)你去解決問題。也許在下一個念頭以后，你還需
要幾個有益的念頭。也許有些念頭會把你引入歧途。無論如何，你應(yīng)當(dāng)感謝所
有的新念頭，感謝那些次要的念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊
念頭得以糾正的補充性念頭。即使你暫時還沒有發(fā)現(xiàn)什么有價值的新念頭，但
如果你對問題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應(yīng)
當(dāng)表示感謝。
4．實現(xiàn)計劃
應(yīng)該從哪兒開始 從引導(dǎo)到解決問題的思路開始。當(dāng)你感到你已抓住主要
的聯(lián)系，并且自信能提供可能需要的次要細(xì)節(jié)時，就開始。
怎幺做 你對問題應(yīng)抓得很有把握。詳細(xì)地進(jìn)行你以前認(rèn)為可行的全部代
數(shù)或幾何運算。用形式推理或直接觀察檢查每一步驟的正確性，或者，如果你
能夠的話，兩種方法都用。如果你的問題很復(fù)雜，你可以分成“大”步驟和“小”
步驟，每一大步驟又由幾個小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗小步驟。
這樣做，我能有什么好處 這樣提出的解，每個步驟無疑都是正確的。
5．回顧
應(yīng)該從哪兒開始 從解答開始，它的每一個細(xì)節(jié)都應(yīng)該是完整而正確的，
怎么做 從各個方面考慮這個解，找出與你已有知識之間的聯(lián)系。
考慮解的細(xì)節(jié)，并嘗試使它們盡可能地簡單；研究解答中較冗長的部分，
使它們更短些；試著一眼就看出整個解。試著去改進(jìn)解的各部分，嘗試去改進(jìn)
整個解，使它直觀，使它盡量自然地適合于你已有的知識。總結(jié)你解題的方法，
嘗試看出它的要點，并且嘗試把它用于其他問題。總結(jié)所得結(jié)果并試著把它用
于其他的問題。
這樣做，我能有什么好處 你可能找出一個新的更好的解，你可能發(fā)現(xiàn)新
的有趣的事實。無論如何，如果你用這方式養(yǎng)成研究與總結(jié)你的解的習(xí)慣，你
將獲得某些井然有序的，便于應(yīng)用的知識，并且你將會提高你解題的能力。
第三部分 探索法小詞典
1．類比
類比就是一種相似。相似的對象在某個方面彼此一致，類比的對象則其相
應(yīng)部分在臬些關(guān)系上相似：
(1)長方形可與長方體類比。事實上，長方形各邊之間的關(guān)系與長方體各面
之間的關(guān)系相似：
長方形的每一邊恰與另一邊平行，而與其余的邊垂直。
長方體的每一面恰與另一面平行，而與其余的面垂直。
讓我們把邊稱為長方形的邊界元素，而面稱為長方體的邊界元素，則前述
兩個命題可合而為一并可同等地應(yīng)用于這兩個圖形：
每一邊界元素恰與另一邊界元素平行，而與其余的邊界元素垂直。
這樣，我們就將所比較的兩個系統(tǒng)的對象(即長方形的邊與長方體的面)的
某些共同關(guān)系表達(dá)出來了。這兩個系統(tǒng)的類比存在于關(guān)系的共性之中。
(2)在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成
就中無不充滿了類比。類比可在不同的水平使用。人們常常使用含糊不清的，
夸大的，不完全的或沒有完全弄清楚的類比，但類比也可以達(dá)到數(shù)學(xué)精確性的
水平。所有各種類比在發(fā)現(xiàn)解答方面都可能起作用，所以我們不應(yīng)當(dāng)忽略任何
一種。
(3)在求解一個問題時，如果能成功地發(fā)現(xiàn)一個此較簡單的類比問題，我們
會認(rèn)為自己運氣不錯。在第十五節(jié)，我們原來的問題是長方體的對角線，它的
較簡單的類比問題就是長方形的對角線，這個類比問題引導(dǎo)我們到達(dá)原問題的
解答。我們將討論這種類型的另一個例子。我們需要求解下列問題：
求均勻四面體的重心。
若不具備積分與物理知識，這問題是很困難的。在阿基米德與伽里略的時
代，它是一個嚴(yán)肅的科學(xué)問題。因此，如果我們希望用盡可能少的預(yù)備知識來
解決它，我們就應(yīng)該尋求一個較為簡單的類比問題。在平面上的對應(yīng)問題很自
然地就是下面的問題：
求一均勻三角形的重心。
現(xiàn)在，我們有了兩個問題而不是一個問題。但兩個問題比起一個問題來可
能還更容易回答——假定這兩個問題能巧妙地聯(lián)系起來的話。
(4)現(xiàn)在我們暫時把原來四面體的問題放在一邊，而把注意力集中在有關(guān)
三角形這一比較簡單的類比問題上。為了求解這個問題，我們必須了解一些關(guān)
于重心的知識。下列原理似乎是可信的而且提出它來也很自然：
若一物質(zhì)系統(tǒng)S由幾部分組成，每一部分的重心都位于同一平面上，則該
平面也必包含此整個系統(tǒng)S的重心。
對于三角形情況來說，這一原理給出我們所需要的一切。首先，它指出三
角形的重心位于三角形的平面上。于是，我們可以把三角形看成由平行于三角
形某邊(圖7中邊AB)的許多個小條條(薄條條無限窄的平行四邊形)所組成。每一
個小條條(平行四邊形)的重心顯然是它的中心，而所有這些中心位于連線CM上，
C為與AB邊相對的頂點，M為AB的中點(見圖7)。
圖7
通過三角形中線CM的任何平面包含有三角形中所有平行小條條的重心。由
此得出結(jié)論：整個三角形的重心就在這一中線上。但是，根據(jù)同一理由它也必
須在其他二條中線上，所以它必須是所有三根中線的公共交點。
我們現(xiàn)在希望用純幾何方法(與任何力學(xué)上的假設(shè)無關(guān))來證明三根中線
交于同一點。
(5)在弄懂了三角形的例子之后，四面體的情況就相當(dāng)容易了。因為我們
現(xiàn)在已經(jīng)解決了一個和我們所提問題有類比關(guān)系的問題，所以一旦解決這個類
比問題，我們就有了一個可以照著辦的模型。
在解決我們現(xiàn)在用作模型的類比問題中，我們設(shè)想三角形是由平行于其一
邊AB的平行小條條所組成的。現(xiàn)在我們設(shè)想四面體ABCD也由平行于其一棱AB的
小條條所組成。
組成三角形的小條條之中點全部位于同一直線上，即位于連接邊AB的中點
M與相對頂點C的那根三角形中線上。組成四面體的小條條的中點全部位于連接
棱AB的中點M與對棱CD(見圖8)的同一平面上；我們不妨將此平面MCD稱為四面體
的中面。
圖8
在三角形情況下，我們有象MC那樣的三根中線，其中每一根都必須包含三
角形的重心。因此，這三根中線必須交于一點，這一點就是重心。在四面體情
況下，我們有象MCD那樣的六個中面(連接一條棱中點與其對棱的平面)，其中每
個中面都必定包含四面體的重心。因此，這六個中面必交于一點，這一點就是
重心。
(6)這樣，我們就解決了均勻四面體的重心問題。為了完成這個求解過程，
現(xiàn)在我們需要用純幾何(與力學(xué)上的考慮無關(guān))來證明六個中面通過同一點。
當(dāng)我們解決了均勻三角形的重心問題以后，我們發(fā)現(xiàn)，為了完成求解過程，
需要證明三角形的三條中線通過同一點。這個問題可類比于上述問題，但顯然
較為簡單。
在解決四面體這一問題時，我們又可利用較簡單的三角形類比問題(這里，
我們假定它已經(jīng)解決了)。事實上，我們考慮通過從D點出發(fā)的三條棱DA，DB，
DC的三個中面；每一中面同時也通過對棱的中點(通過DC邊的中面經(jīng)過中點M，
見圖8)。現(xiàn)在，這三個中面和△ABC所在平面交于該三角形的三個中線。這三條
中線交于一點(這是前面較簡單的類比問題的結(jié)果)，而這點和D點一樣，也是三
中面的公共點。連結(jié)這二個公共點的直線是所有三個中面的公共線。
我們證明了六個中面中通過頂點D的三個中面有一條公共直線。對于通過
頂點A的三個中面，同樣也成立；對于經(jīng)過頂點B的三中面以及經(jīng)過頂點C的三中
面也是如此。把這些事實適當(dāng)?shù)芈?lián)系起來，我們就可證明這六個中面有一個公
共點(通過△ABC三邊的三中面確定一公共點和交于此點的三交線。于是，根據(jù)
我們剛才證明的，通過每一交線，一定還有一個中面)。
(7)在上述(5)和(6)中，我們都利用了一個三角形的較為簡單的類比問題
去解決四面體問題。但從一個重要方面來看，(5)和(6)兩種情況是不相同的。
在(5)中，我們是利用較簡單的類比問題這一方法，逐點模仿它來求解。但在(6)
中，我們則是利用了較簡單的類比問題所得的結(jié)果，我們并不關(guān)心這結(jié)果是怎
樣得到的。有時，我們可能同時利用較簡單的類比問題的方法及其結(jié)果。如果
我們把上述(5)和(6)看成是同一個問題求解的兩個不同部分，則上述例子就是
同時利用類比問題的方法及結(jié)果的。
我們這個例子是典型的。在求解所提出的問題的過程中，我們經(jīng)常可以利
用一個較簡單的類比問題的解答；我們可能利用它的方法或者可能利用它的結(jié)
果，或者可能三者同時利用。當(dāng)然，在更困難的問題中，可能會出現(xiàn)我們這個
例子中尚未出現(xiàn)過的復(fù)雜情況。特別是，可能發(fā)生下述情況：類比問題的解不
能直接用于我們原來的問題上。那時，可能需要我們?nèi)ブ匦驴紤]解答，去改變
它，修改它，直到我們在試過解答的各種形式以后，終于找到一個可拓廣到我
們原來的問題為止。
(8)我們希望能預(yù)測結(jié)果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預(yù)測到結(jié)
果的某些特征。這種似乎可信的預(yù)測通常是以類比為基礎(chǔ)的。
這樣，我們可能知道，均勻三角形的重心及其三個頂點的重心重合(即，
三個質(zhì)量相同的質(zhì)點放在三角形的三個頂點上)。了解這點以后，我們可以猜測
均勻四面體的重心與其四個頂點的重心相重合。
這種猜測是一種“類比推論”。已知三角形和四面體在許多方面相似，我
們就猜測它們在其他某一個方面也是相似的。如果把這種猜測的似真性當(dāng)作肯
定性，那將是愚蠢的。但是忽視這種似真的猜測將是同樣愚蠢甚至更為愚蠢的。
類比推論看來是最普通的一種推論，并且可能是最主要的一種。它產(chǎn)生了
多少似乎可信的推測，這種推測可能被經(jīng)驗和更嚴(yán)格的論證加以證實或推翻。
為了預(yù)測藥物對人類的影響，化學(xué)家在動物身上進(jìn)行試驗，再由類比得出結(jié)論。
甚至我認(rèn)識的一個小男孩也這么做。他的小狗需要到獸醫(yī)那兒去醫(yī)療，于是他
問：
“誰是獸醫(yī)”
“動物的醫(yī)生。”
“哪種動物是動物的醫(yī)生 ”
(9)得自許多類似情況的類比結(jié)論比得自較少情況的類比結(jié)論要強。但是
這里質(zhì)量仍然比數(shù)量更為重要。清晰的類比較模糊的相似更有價值，安排有序
的例子比隨意收集的情況更能說明問題。
前面【上述(8)】我們提出了一個關(guān)于四面體重心的猜測。這猜測就是根
據(jù)類比而提出的；四面體的情況類比于三角形的情況。通過考察另一個類比的
例子，均勻棒(即均勻密度的直線段)的例子，我們可以增加對猜測的認(rèn)識。
存在于
線段 三角形 四面體
之間的類比有許多方面。線段包含在直線上，三角形在平面上，四面體在空間
中。直線段是最簡單的一維有界圖形，三角形是最簡單的多邊形，四面體是最
簡單的多面體。
線段有兩個零維邊界元素(2端點)而其內(nèi)部是一維的。
三角形有三個零維及三個一維邊界元素(三頂點，三邊)，而其內(nèi)部是二維
的。
四面體有四個零維，六個一維，四個二維邊界元素(四頂點，六邊，四面)，
而其內(nèi)部是三維的。
這些數(shù)字可以列成一個表如下，其中各列分別表示零維，一維，二維與三
維元素的數(shù)目，各行分別表示線段，三角形與四面體的數(shù)目：
零維 一維 二維 三維
線段 2 1
三角形 3 3 1
四面體 4 6 4 1
只須對二項式展開有稍許的了解，便可認(rèn)出這些數(shù)字是巴斯卡三角形中的
一部分。我們在線段、三角形和四面體中找出了一個值得注意的規(guī)則性。
(10)如果我們已經(jīng)體會到我們所比較的對象是有密切聯(lián)系的，則下列“類
比推論”對于我們可能有某些價值。
均勻捧的重心與其兩端點的重心相重合。均勻三角形的重心與其三頂點的
重心相重合。為什么我們不應(yīng)該設(shè)想均勻四面體的重心與其四頂點的重心相重
合呢
還有，均勻捧的重心按比例1：1來劃分其端點間的距離。均勻三角形的重
心按比例2：1來劃分任何頂點與其對邊中點間的距離。為什么我們不應(yīng)該猜測
均勻四面體的重心是按比例3：1來劃分任何頂點與其對面的重心間的距離呢
說上述問題所提出的猜測是錯誤的，說這樣美妙的一種規(guī)律性竟遭破壞，
這點總叫人覺得極不可能。認(rèn)為和諧的簡單秩序不會騙人這樣一種感覺，在數(shù)
學(xué)及其他科學(xué)領(lǐng)域中指引著作出發(fā)現(xiàn)的人們，并表達(dá)為拉丁格言：
簡單是真理的標(biāo)志
[從上面講的會想到，所討論的結(jié)果可推廣到n維。如果對前三維(n=1、2、
3)成立而對維數(shù)高的n就不再成立，這看來不大可能。這種猜測是一種“歸納推
論”；它表明歸納很自然地以類比為基礎(chǔ)。參見“歸納與數(shù)學(xué)歸納法”一節(jié)。
[(11)在結(jié)束本節(jié)以前，我們簡單地考慮一類最重要的情況：在這類情況
下，類比這一數(shù)學(xué)概念變得更精確了]。
(I)兩個數(shù)學(xué)對象系統(tǒng)設(shè)為S和S'，是這樣相互聯(lián)系的： S的對象之間的某
些關(guān)系和S'的對象之間的某些關(guān)系遵循同一法則。
在S和S'間的這種類比可以用上述(1)中所討論的內(nèi)容為例說明之；把長方
形的邊作為S，把長方體的面作為S'。
(II)在兩個系統(tǒng)S與S'的對象之間存在一一對應(yīng)，即保持某種關(guān)系。也就
是說，如果一個系統(tǒng)的對象之間保持這樣一種關(guān)系，則在另一系統(tǒng)的對應(yīng)對象
之間也保持同一關(guān)系。在兩個系統(tǒng)中的這種聯(lián)系是一種非常精確的類比；它稱
為同構(gòu)。
(III)在兩個系統(tǒng)S與S’的對象之間存在一對多的對應(yīng)而保持某種關(guān)系(這
在高等數(shù)學(xué)研究的各分支中，特別在群論中很重要，這里不多贅言)。這種情況
稱為同態(tài)。同態(tài)也可看成另一種非常精確的類比。
2．輔助元素
我們對問題的概念在我們工作結(jié)束時遠(yuǎn)比我們開始工作時豐富得多(見
“進(jìn)展與成就”一節(jié))。隨著工作的進(jìn)展，我們在原有考慮之外，增加一些新元
素。旨在促進(jìn)求解而引入的這種元素稱為輔助元素。
(1)有各種輔助元素。解決幾何問題，我們可能在圖中引入新的線，即輔助
線。解決代數(shù)問題，我們可能引人輔助未知數(shù)【見“輔助問題”，(1)】。輔助
定理是這樣一種定理，我們證明它是希望促進(jìn)我們對原來問題的求解。
(2)引入輔助元素有各種理由。當(dāng)我們想到一個與我們現(xiàn)在的問題有關(guān)、
且早已解決的問題時，我們很高興。很可能我們能利用這樣一個問題，但目前
還不知道怎么利用它。例如，我們試圖求解的是一個幾何問題，而我們想到的
早已解決的有關(guān)問題是三角形問題。但在我們的圖中并沒有三角形；為了有可
能利用所想的問題，我們必須找到一個三角形；所以我們不得不在我們圖中用
添加適當(dāng)?shù)妮o助線的辦法引入一個三角形。一般說來，當(dāng)我們想到一個早已解
決的有關(guān)問題后，我們必須經(jīng)常問：為了可能利用它，我們是否應(yīng)該引入某個
輔助元素 (第10節(jié)中的例子是典型的)。
回到定義去，我們將有另一個引進(jìn)輔助元素的機會。例如，說明圓的定義
時，我們不僅應(yīng)該提到其圓心和半徑，而且還應(yīng)該把這些幾何元素在圖中表示
出來。如果不把它們表示出來，我們就不能對定義有任何具體的應(yīng)用；敘述定
義而不作圖只不過是空口說白話罷了。
力圖利用已知結(jié)果和回到定義去，是引入輔助元素的一些最好的理由；但
它們不是僅有的理由。為了使問題的概念更完整，更富于啟發(fā)性，更為人所熟
悉，我們可以引入輔助元素，雖然目前我們幾乎不知道我們怎樣才能利用這些
所添加的元素。我們可能僅僅感覺到加上這樣那樣的元素用那種方式看問題是
個“好念頭”。
引入輔助元素可以出自這種理由，也可以來自別的理由，但總得有些理由。
我們不能隨隨便便地引入輔助元素。
(3)例子。已知三角形一角和由此角頂點向?qū)吽鞯母吆腿切蔚闹荛L，
作這個三角形。
我們引入適當(dāng)?shù)挠浱枴Ａ钜阎菫閍，從角a的頂點A向?qū)吽鞯母邽閔，
已知周長為P。我們畫張圖，在上面很容易標(biāo)上a與h。我們是否已利用了所有的
數(shù)據(jù) 沒有!我們的圖并未包括等于三角形周長的已知長度P。因此，我們必須引
入P。但是怎樣做呢
我們可以用各種方式來試圖引入P。圖9，10所表示的方式看起來很笨拙。
如果我們自己琢磨一下為什么這兩張圖看來如此令人不稱心，我們就可能看出
是由于缺乏對稱性的緣故。
事實上，這個三角形有三條未知邊：a，b，c。我們象通常所做的那樣，
把A的對邊叫做a，其余兩邊則相應(yīng)地稱為b與c。我們知道
a+b+c=P
這里，邊b與邊c的作用相同；它們是可交換的；我們的問題對于b和c是對稱的。
但在圖9和圖10中，b和c的作用卻不相同；放上長度P，我們對待b和c就不同了；
圖9和圖10破壞了問題對b和c的自然對稱性。我們應(yīng)該這樣來放置P，使得它和b
和c的關(guān)系是對稱的。
圖9
圖10
上述考慮可能有助于建議象圖11那樣放置長度P。我們在三角形的邊a的一
側(cè)，加上線段CE，其長為b，在三角形的另一側(cè)加上線段BD，其長為C，使得在
圖11中線段 ED的長度恰好是P，即：
b+a+c=P
如果我們對怍圖題有些經(jīng)驗，我們就不會忘記和ED一起引入輔助線AD與AE。它
們都是等腰三角形的底邊。事實上，在問題中引入象等腰三角形這樣簡單而又
為人熟悉的元素是合理的。
圖11
迄今，我們在引入輔助線方面一直是十分幸運的。我們觀察新圖，就可以
發(fā)現(xiàn)∠EAD和已知角a有一簡單關(guān)系。事實上，利用等腰三角形△ABD與△ACE，
可知∠DAE=α/2+90°知道這個特點以后，我們很自然地會去作出△DAE。作此
三角形時，我們就要引入一個輔助問題，它遠(yuǎn)比原來的問題簡單。
(4)教師與教科書的作者不應(yīng)當(dāng)忘記：聰明的學(xué)生和聰明的讀者不會滿足
于驗證推理過程的每一步是正確的，他們還要求知道進(jìn)行各一步的動機和目的。
引入輔助元素是引入注目的一步。如果一條微妙的輔助線在圖中出現(xiàn)得很突然，
看不出任何動機，并且令人驚訝地解決了問題，那末聰明的讀者和學(xué)生將會失
望，他們感到上當(dāng)受騙。因為只有在我們的論證及發(fā)明會創(chuàng)造的能力中充分發(fā)
揮了數(shù)學(xué)的作用后，數(shù)學(xué)才是有趣味的。如果最引人注目的步驟的動機和目的
不可理解，那么我們在論證和發(fā)明創(chuàng)造方面就學(xué)不到什么東西。為使這樣的步
驟可以理解，需要加以適當(dāng)?shù)恼f明(如前面(3)中所做的那樣)，或者精選問題和
建議(象第lO、18、19、20節(jié)中所做的那樣)，這需要大量的時間和精力，但卻
是值得一做的。
3．輔助問題
輔助問題是這樣一個問題，我們考慮它并非為了它本身，而是因為我們希
望通過它幫助我們?nèi)ソ鉀Q另一個問題，即我們原來的問題。原來的問題是我們
要達(dá)到的目的，而輔助問題只是我們試圖達(dá)到目的的手段。
一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去
試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進(jìn)來的那扇。人能夠或者至少能夠行
動得更聰明些。人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個不能直接克服的障礙時，他
會繞過去；當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時，就想出一個合適的輔助問題。
構(gòu)想一個輔助問題是一項重要的思維活動。舉出一個有助于另一問題的清晰的
新問題，能夠清楚地把達(dá)到另一目標(biāo)的手段設(shè)想成一個新目標(biāo)，這都是運用智
慧的卓越成就。學(xué)會(或教會)怎樣聰明地處理輔助問題是一項重大任務(wù)。
(1)例子。求滿足方程的x值：
4 2
x -13x +36=0
4 2 2
如果我們看到x =(x )。我們就會發(fā)現(xiàn)引入
2
y=x
的好處。我們現(xiàn)在得到一個新問題：求滿足方程的y值：
2
y -13*y+36=O。
這個新問題是一個輔助問題；我們打算把它用作解決原問題的手段。輔助問題
的未知數(shù)y可恰如其份地稱為輔助未知數(shù)。
(2)例子。在一長方體中已知由一頂點引出的三個棱的長度，求該長方體
的對角線。
在試圖求解這一問題(第8節(jié))時，我們可由類比(第15節(jié))引導(dǎo)到另一問題：
在一長方形中，已知由同一頂點引出的兩個邊的長度，求長方形的對角線。
這個新問題是個輔助問題：我們之所以考慮它是因為我們希望從對它的考
慮中引出對原問題有用的東西。
(3)好處。考慮輔助問題的好處可以是多種多樣的。我們可以利用輔助問
題的結(jié)果。譬如在例1中，通過求解y的二次方程，我們已經(jīng)求得y等于4或等于9，
2 2
然后我們推得 x =4或x =9，從而求出x的所有可取的值。在其它情況下，我們
可以利用輔助問題的方法。如例2中，輔助問題是平面幾何問題；它類比于原來
的立體幾何問題，但更為簡單。引入這一類輔助問題是合理的，因為我們希望
它是有啟發(fā)性的，它能給我們機會去熟悉以后可用于原問題的某些方法、操作
或工具。在例2中，輔助問題的選擇更為幸運，因為仔細(xì)地考察它一番之后，我
們發(fā)現(xiàn)其方法與結(jié)果均可加以利用(見第15節(jié)和“你是否利用了所有的數(shù)據(jù) ”
那一節(jié))。
(4)風(fēng)險。我們不去考慮原問題，而花費時間與精力去注意輔助問題。如
果我們對輔助問題的研究失敗了，那末我們在它上面所花的時間與精力就白白
損失了。所以在選擇輔助問題時，我們應(yīng)當(dāng)加以判斷。對于我們的選擇，我們
可能有各種正當(dāng)理由。輔助問題可以比原來的問題更容易理解；或者它看來更
富啟發(fā)性；或者它有某種美的號召力。有時，輔助問題的唯一優(yōu)點是它很新穎，
提供了尚未被探索過的可能性；我們選擇它是因為我們對原問題厭倦了，并且
看來似乎所有的方法部已用盡了。
(5)怎樣找出它。發(fā)現(xiàn)所提問題的解，常常有賴于發(fā)現(xiàn)一個合適的輔助問
題。令人不愉快的是，沒有萬靈的方法來發(fā)現(xiàn)合適的輔助問題，正如沒有萬靈
的方法求解一樣。但無論如何，確實有一些問題和建議，它們常常是有所裨益
的。例如，看著未知數(shù)。通過問題的變化常常會使我們想到有用的輔助問題。
(6)等價問題。如果兩個問題中每一問題的解都蘊含另一問題的解，就說
這兩個問題是等價的。因此，在例1中，原問題與輔助問題等價。
考慮下列定理：
A．在任何等邊三角形中，每一角均等于60°。
B．在任何等角三角形中，每一角均等于60°。
此二定理不能看作是同一條定理。它們包含不同的概念：一個與邊的相等
有關(guān)，另一個與三角形的角相等有關(guān)。但每一定理都可由另一定理得出。因此
求證題A與求證題B等價。
如果我們需要求證A，則引入求證題B作為一個輔助問題是有某些好處的。
定理B的證明要比證明A容易些，而且更重要的是，我們可以預(yù)見到B比A容易；
我們可以這樣判斷，我們可能從一開始就發(fā)現(xiàn)B很可能比A容易。事實上，定理B
僅與角有關(guān)，它比定理A更“單一”，定理A與角和邊都有關(guān)。
如果原問題和輔助問題是等價的，則從原問題過渡到輔助問題稱為可逆化
歸，或雙向化歸，或等價化歸。例如，A化歸為B(見上文)是可逆的，例1中的化
歸也如此。從某個方面說來，可逆化歸比其它引入輔助問題的方法更重要，更
令人想往，但是那些和原問題不等價的輔助問題可能也很有用；見例2。
(7)等價輔助問題鏈。等價輔助問題鏈在數(shù)學(xué)論證中是屢見不鮮的。我們
需要解決問題A；我們看不出解答，但我們可能發(fā)現(xiàn)A與另一問題等價。考慮B
時，我們又可能涉及與B等價的第三個問題C。照這樣下去，我們又可將C化為 D，
如此等等，直到最后得到問題L，其解答為已知或明顯可知。既然每一個問題都
和前一個問題等價，則最后一個問題也必定和原問題A等價。于是我們能夠從問
題L推出原問題 A的解答，而L是輔助問題鏈的最后一個環(huán)節(jié)。
這種問題鏈，正如我們從帕撲斯的重要章節(jié)中所見，早已為希臘數(shù)學(xué)家們
所注意。我們重新考慮例1作為說明。讓我們稱(A)為未知數(shù)x的條件：
4 2
(A) x -13x +36=O
解決這個問題的一種方法是將所提出條件變換成另一個條件，稱為(B)：
2 2 2
(B) (2x ) -2(2x )·13+144=O
我們觀察到條件(A)與條件(B)不同。如果你愿意，你可以說它們僅僅稍許有些
不同。你會很容易相信它們一定等價，但它們肯定不是同一個方程。從(A)過渡
到(B)不僅正確，而且有清楚的目的，這對任何熟悉求解二次方程的人來說都是
顯而易見的。沿此一方向繼續(xù)做下去，我們可將條件(B)再變換成另一條件(C)：
2 2 2
(C) (2x ) -2(2x )·13+169=25
照此方法繼續(xù)下去，我們有
2 2
(D) (2x -13) =25
2
(E) 2x -13=±5
2
(F) x =(13±5)/2
13 ± 5
(G) x = ±
2
(H) x=3或-3，或2，或-2我們所做的每次化歸都是可逆的。于是最后一
個條件(H)與第一個條件(A)等價，所以，3、-3、2、-2是我們原問題所有可能
的解。
上面我們從原條件(A)導(dǎo)出一系列條件(B)，(C)，(D)，……，每一個都等
價于前一個。這一點值得我們給予最大的注意。等價條件是由同一對象滿足的。
因此，如果我們從所提條件過渡到等價于它的新條件，我們就有相同的解。但
是如果我們從所提條件過渡到較窄的條件，我們就失去解；如果我們從所提條
件過渡到較寬的條件，我們則得到非正常的外來解，它與所提問題無關(guān)。如果
在一串連續(xù)的化歸中，我們過渡到較窄的，接著又過渡到較寬的條件，我們可
能完全偏離原來的問題。為了避免這種危險，我們必須小心地檢查每次新引入
的條件的性質(zhì)：它與原條件等價嗎 當(dāng)我們所處理的對象不是像這里的單個方程
而是一組方程時，或者當(dāng)條件不是用方程來表達(dá)(例如，象幾何作圖問題)時，
上述問題尤為重要。
[請與“帕撲斯”一節(jié)，特別是評注(2)，(3)，(4)，(8)相比較。那里的
描述受到了不必要的限制。它描述一個求解問題的鏈，其中每個問題都有一個
不同的未知數(shù)。這里所講的例子則相反，鏈中所有各個未知數(shù)相同，僅僅是條
件的形式不同。當(dāng)然，并不需要這種限制。]
(8)單向化歸。我們有兩個都未曾求解的問題A與B。如果我們能解A，則我
們能導(dǎo)出B的完全解。反之則不然；即，如果我們能解B，我們可能會得到A的某
些信息，但我們卻不知道怎樣從B導(dǎo)出A的完全解。在這樣一種情況下，解 A要
比解B收獲大。讓我們稱A為這兩個問題中的期望大的而B為期望小的。
如果從所提問題過渡到期望大的或期望小的輔助問題，我們稱這一步驟為
單向化歸。有兩類單向化歸，二者在某些方面都比雙向或可逆化歸更冒風(fēng)險。
例2說明的是化歸為期望小的問題的一個單向化歸。事實上，如果我們能
夠解決屬于長、寬、高分別為a，b，c的長方體的原問題，令c=O，得到長為a，
寬為b的長方形，則我們就轉(zhuǎn)到輔助問題。化溝期望小的問題的單向化歸的另一
例子是“特殊化”這一節(jié)的(3)，(4)，(5)。這些例子表明，有時湊巧，我們可
能利用期望小的問題作為踏腳石，將輔助問題的解加上適當(dāng)?shù)难a充說明，可以
得到原問題的解。
化為期望大的問題的單向化歸也可能會成功(見“普遍化”這一節(jié)(2)及“歸
納與數(shù)學(xué)歸納法”這一節(jié)(1)，(2)中所述第一問題化為第二問題的例子)。事實
上，期望人的問題可能更容易著手；這就是“發(fā)明者的矛盾”。
4．波爾查諾(Bolzano)
他是邏輯學(xué)家與數(shù)學(xué)家。在他邏輯學(xué)的綜合性著作：《科學(xué)淪》中，有相
當(dāng)大一部分是關(guān)于探索法這一題目的(第三卷，293—575頁)。在他著作的這一
部分，他寫道：“我根本不認(rèn)為我在這里能夠提出任何早先未曾為所有具有才
華的人所察看出的研究過程；并且我也根本不想允諾你們可以從我這里發(fā)現(xiàn)這
方面的很新穎的任何內(nèi)容。但是，我將煞費苦心地用清晰的詞句來說明所有有
才能的人所遵循的研究規(guī)則與方法，這些有才華的人在大多數(shù)情況下，甚至不
知道他們自己是遵循這些規(guī)則與方法的。雖然，即使正在做這件事的時候，我
也不敢幻想我將會完全成功，但我仍然希望這里所提出的一孔之見會博得某些
知音并在以后有所應(yīng)用。”
5．好念頭
這是對解答突然有進(jìn)展的一種口語描述[參見“進(jìn)展與成就”(6)]。好念
頭的出現(xiàn)，每個人都體驗過，但只能心領(lǐng)神會而難于言傳，所以提一提像亞里
士多德這樣古老的權(quán)威曾經(jīng)偶然給過一個很有啟發(fā)性的描述，可能會使人感到
興趣。
大多數(shù)人會同意：想出一個好念頭是一種“靈感活動”。亞里士多德對“靈
感”所作的定義如下：“靈感就是在微不足道的時間里，通過猜測而抓住事物
本質(zhì)的聯(lián)系。”例如說：“如果你看見一個人以某種方式和一個富翁談話，你
可能立刻猜想此人正在設(shè)法借錢。又如，觀察到月亮發(fā)光的一邊總是朝著太陽，
你可能會突然想到為什么會這樣：這是因為月亮是由太陽光照亮的。”
第一個例子并不壞，但太庸俗了；關(guān)于富翁和錢這類事情不需要多少靈感
來加以推測，并且那個念頭也并不怎么高明。但第二個例子卻給人以深刻的印
象，如果我們發(fā)揮一點想象力把它聯(lián)系其適當(dāng)?shù)谋尘皝砜吹脑挕?br/>我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到，在亞里士多德的時代，因為沒有鐘表，如果他想知道時
間，他必須觀察太陽和星星；因為沒有路燈，如果他計劃在夜間旅行，他必須
觀察月亮的月相。他比現(xiàn)代的城市居民對天空熟悉得多，并且他的天生的智慧
未被天文學(xué)理論的報刊出版物的生搬硬套的片言只語所蒙蔽。他把整個月亮看
成是一只平盤，和太陽這只平盤相類似，但光輝暗淡多了。他一定曾經(jīng)奇怪過
月亮的形狀和位置為什么老是在變化。他偶然也在白天觀察過太陽，大約是在
日落或日出的時候，并且終于發(fā)現(xiàn)“月亮發(fā)亮的一邊總是朝著太陽”，這本身
就是一個令人可敬可佩的成就。于是，現(xiàn)在他看出月亮變化著的外表好象一個
從一側(cè)照亮的球，所以它一半亮，另一半黑。他不再想象太陽和月亮是平盤了，
而把它們想象或球狀，一個發(fā)光，另一個受光。他理解本質(zhì)的聯(lián)系，他“在微
不足道的時間里”突然改變了他以前的概念：想象力有了一個突然的跳躍，產(chǎn)
生了一個好念頭，這是天才的一次閃爍。
6．你能檢驗這結(jié)果嗎
你能檢驗這結(jié)果嗎 你能檢驗這論證嗎 對這些問題若能給出很好的回答，
將加強我們對答案的信任并鞏固我們的知識。
(1)數(shù)學(xué)問題的數(shù)字結(jié)果可以這樣來檢驗，把它們與觀測值或可觀測數(shù)字在
常識上的估計值相比較。由于產(chǎn)生于實際需要或天生好奇心的問題幾乎總是以
事實為基礎(chǔ)的，所以可以預(yù)期這種與可觀測事實作比較的步驟一般不能省略。
但是每一個教師都知道學(xué)生在這方面能做出不可思議的事來。有些學(xué)生求出船
的長度為16,130英尺，船長的年齡為8歲零二個月，順便說一下，這位船長已經(jīng)
是一位祖父，對于這樣一件事，他們也會堅信不疑，泰然自若。如此不顧明顯
的謬誤并不一定說明他們愚蠢，而只不過對人為編造的問題漠不關(guān)心罷了。
(2)“字母題”比“數(shù)字題”更容易接受有趣的檢驗(見第14節(jié))。作為另
外一個例子，我們考慮底為正方形的棱臺。設(shè)下底邊長為a，上底邊長為b，高
為h，則其體積為
2 2
(a +ab+b )h/3
我們可用“特殊化”一節(jié)所講的方法檢驗這結(jié)果。事實上，若a=b，則棱
2 2
臺成為棱柱，公式成為a h；若b=O，則棱臺成為角錐體，公式成為a h/3。我們
還可用“量綱檢驗法”。事實上，公式的量綱是長度的立方。還有，我們可用
數(shù)據(jù)的變化來檢驗公式；事實上，若正數(shù)值a，b或h中的任一個增大，則公式的
數(shù)值也增大。
這類檢驗不僅可用于最后結(jié)果，也可用于中間結(jié)果。它們是如此有用，值
得討論，參見“問題的變化”這一節(jié)第(4)點。為了能利用這種檢驗，我們可能
發(fā)現(xiàn)把“數(shù)字題”加以普遍化并變?yōu)椤白帜割}”是有好處的，參見“普遍化”
這一節(jié)第(3)點。
(3)你能檢驗這論證嗎 在逐步檢驗論證時，我們應(yīng)當(dāng)避免單純的重復(fù)。首
先，單純的重復(fù)容易令人厭煩，缺乏啟發(fā)性，使人注意力渙散。其次，在我們
曾經(jīng)跌過一次跤的地方，如果環(huán)境與從前一樣，我們可能再次跌跤。如果我們
感到需要把整個論證重新逐步檢查一遍，我們至少應(yīng)當(dāng)改變各步的次序，或者
改變它們的分組，以引入某些變化。
(4)排出論證中最薄弱的環(huán)節(jié)并首先加以審查，這只需要較少的勞力，而
且更有興趣。在挑出論證中值得審查之點時，一個很有用的問題是：你曾否利
用了所有的數(shù)據(jù)
(5)很清楚，我們非數(shù)學(xué)方面的知識不能完全奠基在形式邏輯的證明上。
我們?nèi)粘ＶR的較可靠的部分是不斷被我們每天的經(jīng)驗所檢驗，所加強的。在
自然科學(xué)中，這種檢驗采取了細(xì)心試驗與測量的形式，并與數(shù)學(xué)論證結(jié)合在一
起。我們的數(shù)學(xué)知識能否只以形式邏輯的證明為基礎(chǔ)呢
這是個哲學(xué)問題。我們不能在這里辯論。但肯定的是，你的數(shù)學(xué)知識，我
的數(shù)學(xué)知識，或者你的學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，都不是僅僅以形式邏輯證明為基礎(chǔ)的。
任何可靠的知識，必有深厚的實驗基礎(chǔ)，而且通過每個已成功地檢驗其結(jié)果的
問題使這種基礎(chǔ)更加堅實。
7．你能用不同方式導(dǎo)出這一結(jié)果嗎
當(dāng)最終所得結(jié)果冗長而復(fù)雜時，我們自然揣測存在著某個更清楚而且少迂
迥的解：你能用不同方式導(dǎo)出這一結(jié)果嗎 你能一下子看出它嗎 即使我們成功
地找出一個令人滿意的解，我們可能仍然對找出另一個解感興趣。就象我們期
望通過兩種不同的知覺去感覺到一個物體一樣，我們也期望用不同的推導(dǎo)方法
去取得對理論結(jié)果的有效性的信心。就象我們看到一個物體后還想摸摸它一樣，
在有了一個證明后，我們希望找到另一個證明。
兩個證明比一個好。“拋兩個錨更安全”。
(1)例子。求正圓臺的側(cè)面積S，已知它的下底的半徑 R，上底半徑r和高h(yuǎn)。
這個問題可用各種方法求解。例如，我們可能知道整個圓錐的側(cè)面積的公式。
由于圓臺是從圓錐切去一個較小的圓錐而得到的，所以它的側(cè)面積是兩個圓錐
側(cè)面積之差；于是剩下要做就是把它用R，r，h來表示。把這個思路付諸實現(xiàn)，
我們最后就得到公式
S=π(R+r) (R r)2 + h 2
在用這種或那種方法求得這結(jié)果以后，經(jīng)過較長的演算后，我們可能希望有一
個更為清楚并且較少迂迥的論證。你能用不同方式導(dǎo)出這結(jié)果嗎 你能一下子看
出它嗎
為了能直觀地看出整個結(jié)果，我們可以從嘗試看出其各個部分的幾何意義
開始。這樣，我們可能看出
(R r)2 + h 2
是斜高的長度(圓錐可看作是由一個等腰梯形繞平行兩邊中點連線旋轉(zhuǎn)而成的，
斜高是該等腰梯形的腰；見圖12)。此外，我們還可能發(fā)現(xiàn)
π(R+r)=(2πR+2πr)/2
是圓臺兩底周長的算術(shù)平均值。注意公式的這同一部分也可改寫為
π(R+r)=2π(R+r)/2
這就是圓臺的中截面之周長(這里，我們稱平行于圓臺上底和下底并等分其高的
平面與圓臺的交為中截面)。
在找到各部分的新解釋以后，我們現(xiàn)在可以從不同角度來看整個公式。于
是，我們可以這樣讀它：
側(cè)面積=中截面周長×斜高
這里，我們可能回憶坦梯形面積的公式
面積=中線×高
圖12
(此中線平行于梯形的兩個平行邊并等分其高)。只要直觀地看到圓臺側(cè)面
積和梯形面積這兩種陳述間的類比關(guān)系，我們就可以“幾乎一下子”看出圓臺
的整個結(jié)果。這就是說，對于以上經(jīng)過冗長計算所得到的結(jié)果，我們現(xiàn)在感到
非常接近于它的一個簡短而直接的證明了。
(2)上面的例子是典型的。我們不完全滿足于我們所導(dǎo)出的結(jié)果，而希望
去改進(jìn)它，改變它。因此，我們研究這個結(jié)果，嘗試去更好地理解它，嘗試看
出它的某個新側(cè)面。我們可能對于結(jié)果的某一小部分首先成功地觀察出一個新
的解釋。然后，我們可能相當(dāng)幸運地發(fā)現(xiàn)觀察其他部分的新方式。
一個接一個地，審查各個部分，嘗試用各種方式去考慮它們，我們可能終
于能從不同角度看出整個結(jié)果，而我們關(guān)于結(jié)果的新概念可能給出一個新證明。
人們可能認(rèn)為，這種現(xiàn)象對于處理某個高級問題的有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)家要比那
些解決某個初等問題的初學(xué)者更有可能發(fā)生。可是，具有大量數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)
家比初學(xué)者更容易冒濫用知識而使論證不必要地復(fù)雜起來的危險。但作為補償
的是，有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)家比初學(xué)者更能重視結(jié)果中細(xì)微部分的重新解釋，并且能
把它們積聚起來，最終重新寫出整個結(jié)果。
不過，即使在低年級，學(xué)生也可能提出一個不必要那么復(fù)雜的解。于是，
教師至少一次或者兩次指出下列各點，他不但應(yīng)該指出如何更簡捷地解題，而
且也應(yīng)該指出如何找出存在于結(jié)果本身的更簡短解答的線索。
參見“歸謬法與間接證明“一節(jié)。
8．你能利用這個結(jié)果嗎
借助于自己的方法來找出問題的解是發(fā)明創(chuàng)造。如果問題不太難，這發(fā)明
創(chuàng)造也不大，但無論如何它畢竟還是發(fā)明創(chuàng)造。有了某個發(fā)明創(chuàng)造，盡管不大，
我們也應(yīng)該探索它后面是否有更多的東西。我們不應(yīng)該錯過由這新結(jié)果所開創(chuàng)
的可能性，我們應(yīng)該再嘗試使用一次我們已經(jīng)使用過的方法。要利用你的成功!
對某個別的問題，你能利用這個結(jié)果或方法嗎
(1)如果我們對變化一個問題的主要方法，如“普遍化”，“特殊化”，“類
比”，“分解和再組合”比較熟悉的話，我們就很容易想出一個新問題。我們
從所提出的問題出發(fā)，用剛才提到的那些方法由它導(dǎo)出其他問題，從這些問題
再導(dǎo)出別的問題，如此等等。從理論上說，這一過程是無限的，但在實際中，
我們很少進(jìn)行得很長，因為這樣所得到的問題容易成為棘手的問題。
另一方面，我們可以構(gòu)造出新問題，這些新問題我們很容易利用以前所解
決的問題加以解決，但這些易解的新問題又容易顯得索然無味。
找出一個既有趣又好下手的新問題并不那么容易，這需要經(jīng)驗、鑒別能力
和好運氣。但是，當(dāng)我們成功地解決了一個好問題以后，我們應(yīng)當(dāng)去尋拔更多
的好問題。好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長。找到一個以后，
你應(yīng)當(dāng)在周圍找找；很可能在附近就有幾個。
(2)我們打算用第8，1O，12，14，15節(jié)中討論過的同一個例子來闡明上述
論點。所以，我們從下列問題開始：
已知長方體的長、寬、高，求外接圓的直徑。
棱錐體的底面是一長方形，其中心為棱錐體的高的足。已知棱錐體的高及
其底面的各邊，求各側(cè)棱。
已知空間中兩點的直角坐標(biāo)(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，求此兩點的距離。
我們?nèi)菀捉鉀Q這些問題，因為它們和已知其解的原問題相差不多。在每一
情況中，我們都對原問題加些新概念，如外接圓，棱錐體，直角坐標(biāo)。這些概
念容易加進(jìn)去，也容易去掉，并且當(dāng)去掉它們之后，我們又回到了我們原來的
問題。
由于我們引入原問題的概念是有趣的，所以上述問題也有一定的趣味。最
后一個問題，即由兩點的坐標(biāo)確定其距離尤其重要，這是由于直角坐標(biāo)很重要
的緣故。
(3)如果我們已知原問題的解，這里還有另外一個我們很容易解決的問題：
已知長方體的長、寬和對角線，求其高。
事實上，我們原問題的解主要在于：為四個量(即長方體的長、寬，高和
對角線)建立一個關(guān)系式。如果這四個量中的任意三個為已知，則我們可以由這
關(guān)系式求出第四個。于是新問題可解。
對于從已有解的問題導(dǎo)出易解的新問題，這里有個模式；我們設(shè)原來未知
數(shù)為已知，并將原來的已知數(shù)之一作為未知數(shù)。在這新、老兩個問題中，聯(lián)系
已知數(shù)與未知數(shù)的關(guān)系式相同。在一個問題中找出關(guān)系式，我們即可把它用于
求解另一個問題。
這個通過變換數(shù)據(jù)的地位以導(dǎo)出新問題的模式和第(2)點中的模式迥然不
同。
(4)我們現(xiàn)在用其他的辦法導(dǎo)出某些新問題。
對我們的原問題很自然地使之普遍化，就得到下列新問題：已知一個平行
六面體從對角線一個端點出發(fā)的三條棱以及三棱間的三個夾角，求平行六面體
的對角線。
用特殊化的辦法，我們得到下列問題：已知正方體的棱長，求它的對角線。
用“類比”的辦法，我們可得無數(shù)多的各種各樣變型的問題。下面幾個是
從第(2)點中所考慮的問題導(dǎo)出來的：
已知正八面體的棱，求它的對角線。
已知正四面體的棱，求外接球的半徑。
已知地球(假定為球體)表面上兩點的幾何坐標(biāo)(經(jīng)度和緯度)，求兩點間的
球面距離。
所有上述問題都很有趣，但是只有用“特殊化”辦法所得到的那個問題，
才能直接在原問題的解的基礎(chǔ)上求出它的解。
(5)我們可以把原問題的某些元素看成變量，用這個辦法從原問題導(dǎo)出新
問題。
第(2)點所述問題的一個特例是：已知正方體的棱，求它的外接球的半徑。
讓我們把正方體和正方體與球的公共中心看成是固定不變的，但是可以改變球
的半徑。如果球的半徑很小，則球在正方體內(nèi)，隨著半徑的增大，此球脹大(就
像一個橡皮的氣球在充氣的過程中)。在某一時刻，此球碰到這正方體的表面；
再過些時候，碰到它的棱；再晚些，此球通過其頂點。在這三個關(guān)鍵時刻，球
的半徑應(yīng)取何值
(6)如果一個學(xué)生從來就沒有機會去解決一個他自己所發(fā)明創(chuàng)造的問題，
那么他的經(jīng)驗是不完整的。教師可以向?qū)W生示范如何從一個剛剛解決的問題引
出新問題，這樣做可以引起學(xué)生的好奇心。教師也可以留一部分創(chuàng)造發(fā)明給學(xué)
生。例如，他可以談到剛才所討論的那個膨脹的球，他可以問學(xué)生：“你打算
計算什么 半徑的哪些值特別有趣 ”
9．實現(xiàn)
想出一個計劃與貫徹一個計劃是兩碼事。在某種意義上，這點對數(shù)學(xué)問題
也成立；因為在實現(xiàn)求解的計劃和想出這個計劃二者之間，其工作特點是不同
的。
(1)就像建橋時搭架來支持橋身一樣，當(dāng)我們考慮數(shù)學(xué)上最后的和嚴(yán)格的論
證時，我們也可以利用臨時的與僅僅似乎有理的論證。不過，當(dāng)工作充分進(jìn)展
之后，我們拆去棚架，橋自己應(yīng)能站得住。同理，當(dāng)求解過程充分進(jìn)展之后，
我們將除去所有臨時的和僅僅似乎有理的論證，而結(jié)論只能由嚴(yán)格的論證所支
持。
在制定求解的計劃時，我們不應(yīng)該過于害怕那些僅僅是似乎有理的，探索
性的論證。這時任何能導(dǎo)致正確概念的東西都是對的。但當(dāng)我們開始實現(xiàn)求解
計劃時，我們必須改變這種觀點，這時我們應(yīng)該僅僅承認(rèn)確鑿的、嚴(yán)格的論證。
實現(xiàn)你的求解計劃，同時檢驗每一步。你能清楚地看出這個步驟是正確的嗎
在實現(xiàn)計劃時，我們檢驗每一步花的力氣越多，那么在制定計劃時，我們
就可以更自由地應(yīng)用探索性論證。
(2)我們應(yīng)當(dāng)適當(dāng)考慮實現(xiàn)計劃細(xì)節(jié)的工作程序，特別當(dāng)問題是復(fù)雜的情
況下更應(yīng)如此。我們不應(yīng)該略去任何細(xì)節(jié)，應(yīng)該了解我們面前的細(xì)節(jié)對于整個
問題的關(guān)系。我們不應(yīng)該忽視主要步驟間的相互聯(lián)系。因此我們應(yīng)該按適當(dāng)?shù)?br/>次序進(jìn)行。
特別是，在我們有充分理由相信論證的主要步驟是正確的以前，我們?nèi)z
驗次要的細(xì)節(jié)是不合理的。如果論證的主要思路有破綻，那么檢查這個或那個
次要細(xì)節(jié)將無濟于事。
實現(xiàn)論證細(xì)節(jié)的次序和制定論證細(xì)節(jié)的次序可能是迥然不同的；而當(dāng)我們
把這些論證的細(xì)節(jié)最后寫出來時，其次序可能更不同。歐幾里得幾何原理把論
證的細(xì)節(jié)用一種刻板的、系統(tǒng)的次序提出來，這一點常為人效仿，但也常受人
指責(zé)。
(3)在歐幾里得的著作中，所有論證都按同一方向進(jìn)行：在“求解題”中，
是從已知數(shù)據(jù)走向未知數(shù)，而在“求證題”中，是從前提走向結(jié)論。任何新元
素如點、線等等，都必須正確地由已知數(shù)據(jù)推出或者從以前各步已正確導(dǎo)出的
元素所推出。任何新推斷都必須正確地由前提或者從以前各步已正確證出的推
斷所證明。每一步新元素，每一個新推斷，當(dāng)首次碰到時，都必須加以審查，
因此它只須審查一次；我們可以把全部注意力只集中于當(dāng)前這一步，我們既不
必瞻前，也不必顧后。這最后的新元素(我們必須加以檢驗它的推導(dǎo)過程)就是
未知數(shù)。這最后的新推斷(我們必須審查它的證明過程)就是結(jié)論。如果每步都
正確，則最后一步也正確，從而整個論證是正確的。
如果目的是洋細(xì)審查論證，則歐幾里得的論證展開方式很值得毫無保留地
加以推薦。特別是，當(dāng)論證是我們自己弄出來的，如果它冗長而復(fù)雜，同時我
們不僅已經(jīng)搞出來了，而且也已經(jīng)從大的方面研究過它，所以除了審查其本身
每個細(xì)節(jié)以外，再沒有什么其他的事好做了，這時最好就是用歐幾里得方式把
整個論證寫出來。
如果目的是把論證傳授給讀者或一個從來沒有聽到過它的聽眾，那么就不
能無保留地推薦歐幾里得的論證展開方式。對于說明每一特定點而言，歐幾里
得論證展開方式是優(yōu)越的，但在闡述論證的主要思路方面，則不那么好。“聰
明的讀者”很容易看到每步是正確的，但要看出其來龍去脈、目的以及整個論
汪的聯(lián)系，則具有很大的困難。造成困難的原因是：歐幾里得論證展開方式所
遵循的順序，相當(dāng)經(jīng)常地與創(chuàng)造它時的自然順序剛好相反[歐幾里得論證展開方
式嚴(yán)格地服從“綜合”的程序；參見“帕撲斯”一節(jié)，特別是其中的評論(3)，
(4)(5)]。
(4)現(xiàn)在我們小結(jié)一下。歐幾里得論證展開方式是嚴(yán)格地從已知到未知，
從前提到結(jié)論，這對于詳細(xì)檢驗論證是完美的，但對于了解整個論證的主要線
索卻遠(yuǎn)非完美無缺。
我們非常期望學(xué)生能應(yīng)用歐幾里得方式來檢驗他自己的論證，但是這種工
作也不應(yīng)當(dāng)搞得過分死板。我們并不期望教師用純粹歐幾里得方式給出許多證
明。但是，在進(jìn)行了本書所推薦的討論，即學(xué)生在教師的指點下盡可能獨立地
發(fā)現(xiàn)求解的主要思路以后，再用歐幾里得方式展開論證則是非常有用的。有些
教科書采用的方式是：首先給出主要思路的直觀提示，然后再用歐幾里得的論
證順序說明各個細(xì)節(jié)，這看來也是合理的。
(5)為了想知道自己的命題是否為真，認(rèn)真的數(shù)學(xué)家嘗試去直觀地看出它，
并給以形式邏輯的證明。你能清楚地看出它是正確的嗎 你能證明它是正確的嗎
在這方面，數(shù)學(xué)家很像一個到商店買布的婦女，為了想知道布的質(zhì)量如何，她
總是希望看看它，摸摸它。直觀的洞察和形式邏輯的證明是感知真理的兩種不
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PDF 文件使用 "pdfFactory" 試用版本創(chuàng)建 第二部分通向一般方法(續(xù))
正如陽光普照萬物,戕們的智慈和
學(xué)識在處理各種不同對象時也是
視同仁的。
《笛卡兒全集》,第十卷,P,360;法則I
第七章解題過程的幾何圖示
沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際
了,因此用這種方式來表達(dá)事物是非常有
益的。
《笛卡兒文集》,第十卷,P,413」
思維的法則,法則互
§7,1隱喻
事情發(fā)生在大約五十年前,那時我還是個大學(xué)生;我正
在幫一個男孩子準(zhǔn)備考試,當(dāng)時我必須給他解釋一道初等的
立體幾何題,可是因一時未得要領(lǐng)而卡住了。居然對付不了
這樣一道簡單的題目,我只能責(zé)怪自己。第二天晚上我坐下
來,重新從頭到尾仔細(xì)地去解它,那次我是做得這樣徹底,
以致這輩子再也不會忘記它了。由于試圖直觀地去看清楚整
個解題的自然過程和解題中涉及的一系列基本想法,我終于
得到了一個解題過程的兒何圖示法。這是我對解題的第一個
發(fā)現(xiàn),也是我終生對解題都產(chǎn)生興趣的開端
我所說的幾何的臂喻,它最終是以一組日常的隱啥的辭
來表現(xiàn)的。人們不止一次地注意到語言是充滿著隱喻的(有
的毫無生氣,有的是半死不活,有的則生動活潑)。我不知
道人們是否還注意到了很多隱喻是互相關(guān)聯(lián)的:它們或是聯(lián)
系著的,或是結(jié)合在一起的,它們形成了團,形成了多少有
些松散的及重疊的族。不管怎么說吧,有相當(dāng)廣泛的一族隱
喻河,具有兩個共同特點:它們都關(guān)聯(lián)著基本的人類解決
題的活動,而且都提供了同樣的幾何形象。
發(fā)現(xiàn)解法,就是在原先是隔開的事物或想法(已有的事
物和要求的事物,已知量和未知量,假設(shè)和結(jié)論)之間去找
出聯(lián)樂。被聯(lián)系的事物原來離得越遠(yuǎn),聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)者的功績
也就越大。有時我們發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系就象一座橋:一個偉大的
發(fā)現(xiàn)使我們強烈地覺得象是在兩個離得很遠(yuǎn)的想法的鴻溝之
間架上了橋。我們常常看到這種聯(lián)系是由一條鏈來貫穿的
個證明象是一串論據(jù),象是一條由一系列結(jié)論組成的鏈,
也許是一條長鏈。這條鏈的強度是由它最弱的一環(huán)來代表
的。因為那怕是只少了一環(huán),就不會有連續(xù)推理的鏈,也就
不會有有效的證明。對于思維上的聯(lián)系我們更經(jīng)常使用的詞
是線索,比如說,我們都在聽教授講課,但他失去了證明的
線索,或是被一些推理線索纏亂了,他不得不看一下講,
以拾起失掉的線索,等他把線索整理出來得到最終結(jié)論時,
我們也都已經(jīng)困倦不堪了。將一條細(xì)微的線索當(dāng)成一條幾何
上的線,將被聯(lián)系著的事物當(dāng)成兒何上的點,這樣無可避免
地,一幅隱喻著一系列數(shù)學(xué)結(jié)論的圖式便必然地浮現(xiàn)出來
現(xiàn)在讓我們停止聆聽高談,轉(zhuǎn)過來具體考查一些幾何圖
§7.2問題是什么
我們需要一個例子,我選擇了一個非常簡單的立體幾何
題⑩
①此題與先前考慮過的那個問題非常類似,甚至更簡單些。見
文敝E16,〔18jPDF 文件使用 "pdfFactory" 試用版本創(chuàng)建
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