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數列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
4、
[例1] 已知，求的前n項和.
解：由
由等比數列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－
[例2] 設Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得 ， （利用常用公式）
∴ ＝
＝＝
∴ 當 ，即n＝8時，
二、錯位相減法求和
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·　bn}的前n項和，其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.
[例3] 求和：………………………①
解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{}的通項之積
設………………………. ② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
∴
[例4] 求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{}的通項之積
設…………………………………①
………………………………② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
∴
練習：
求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1
解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ①
①兩邊同乘以x，得
x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ②
①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ ）-（4n-3）xn
當x=1時，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n
當x≠1時，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ]
三、反序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.
[例5] 求的值
解：設…………. ①
將①式右邊反序得
…………..② （反序）
又因為
①+②得 （反序相加）
＝89
∴ S＝44.5
四、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.
[例6] 求數列的前n項和：，…
解：設
將其每一項拆開再重新組合得
（分組）
當a＝1時，＝ （分組求和）
當時，＝
[例7] 求數列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.
解：設
∴ ＝
將其每一項拆開再重新組合得
Sn＝ （分組）
＝
＝ （分組求和）
＝
練習：求數列的前n項和。
解：
五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
(6)
[例9] 求數列的前n項和.
解：設 （裂項）
則 （裂項求和）
＝
＝
[例10] 在數列{an}中，，又，求數列{bn}的前n項的和.
解： 　 ∵
　 ∴ （裂項）
∴ 數列{bn}的前n項和
（裂項求和）
＝ ＝
[例11] 求證：
解：設
∵ （裂項）
∴ （裂項求和）
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
練習：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。
解：
六、合并法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：設Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ （找特殊性質項）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 數列{an}：，求S2002.
解：設S2002＝
由可得
……
∵ （找特殊性質項）
∴　S2002＝ （合并求和）
＝
＝
＝
＝5
[例14] 在各項均為正數的等比數列中，若的值.
解：設
由等比數列的性質 （找特殊性質項）
和對數的運算性質 得
（合并求和）
＝
＝
＝10
七、利用數列的通項求和
先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是一個重要的方法.
[例15] 求之和.
解：由于 （找通項及特征）
∴
＝ （分組求和）
＝
＝
＝
[例16] 已知數列{an}：的值.
解：∵ （找通項及特征）
＝ （設制分組）
＝ （裂項）
∴ （分組、裂項求和）
＝
＝

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