資源簡介

4、數與代數——數的認識（基礎知識）
一、整數與小數
自然數、0和整數
自然數：數物體的時候,用來表示物體個數的0、1、2、3…叫做自然數；
0：一個物體也沒有用0表示，0也是自然數；
整數：0和自然數都是整數。（注意：不能說整數只包括0和自然數）
十進制計數法
一(個)、十、百、千、萬……都叫做計數單位，其中“一”是計數的基本單位。
10個一是十、10個十是百……10個一百億是一千億……每相鄰兩個計數單位之間的進率都是十，這種計數方法叫做十進制計數法。
整數的讀法和寫法
讀數時從高位起，一級一級地往下讀，屬于億級和萬級的要讀出級名。例如，684528563讀作：六億八千四百五十二萬八千五百六十三。
讀數時每級末尾的“0”都不讀，其他數位有一個0或連續幾個0都只讀一個0。例如，8000406000讀作：八十億零四十萬六千。
寫數時從高位起，一級一級地往下寫,哪一位上一個單位也沒有，就在哪個數位上寫0。
四舍五入法
求一個數的近似數，要看尾數的最高位上的數是幾，如果比5小，就把尾數都舍去；如果尾數最高位上的數是5或大于5，就把尾數舍去后,要向它的前一位進1。
整數大小的比較
比較兩個多位數的大小，首先看它們位數的多少，位數較多的數較大；如果兩個數的位數相同，那么首先看最高位，最高位上的數較大的，這個數就大；如果最高位相同，則左邊第二位上的數較大的，這個數就大……
小數
把整數 “1”平均分成10份、100份……這樣的一份或幾份分別是十分之幾、百分之幾……可以用小數表示。例如，記作0.1、記作0.08。
小數的單位是0.1、0.01、0.001、……它是十進制分數的另一種表現。
小數部分的最大計數單位是十分之一,沒有最小的計數單位。
小數的讀法和寫法
讀小數時，小數的整數部分按整數的讀法來讀，小數點讀作“點”，小數部分按照順序讀出每一個數位上的數字。
寫小數時，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。
小數的大小比較
比較兩個小數的大小，先看它們的整數部分，整數部分大的那個數就大；整數部分相同的，十分位上的數大的那個數就大；十分位上的數相同的，百分位上的數大的那個數就大……。
小數的性質
小數的末尾添上0或者去掉0，小數的大小不變。運用小數的性質，可以在小數末尾添上0，例如，3.5=3.50；也可以把小數化簡，例如，3.500=3.5。
小數點數位移動引起小數大小的變化
小數點向右(左)移動一位、兩位、三位……原來的數就擴大(縮小)10倍、100倍、1000倍……
如果要把一個數擴大或縮小10倍、100倍……只需要移動小數點,數位不夠時用0補足。
小數的分類
按數位分
按小數的整數部分分
循環小數
一個小數的小數部分，從某一位起,有一個或幾個數字依次不斷重復出現，這樣的數叫做循環小數。如 0.5555…… 、 7.23838……
依次不斷重復出現的數字叫做循環節。
循環小數的簡便記法：0.5555…… 記作：
7.23838……記作：
循環節從小數部分第一位開始的叫純循環小數，如
循環節不是從小數部分第一位開始的叫混循環小數，如
數的改寫
一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時還可以根據需要，省略這個數某一位后面的尾數，寫成近似數。例如
把76450000改寫成用“萬”作單位的數是( 7645萬 )
把235800改寫成用“萬”作單位的數是( 23.58萬 )
235800省略萬位后面的尾數約為( 24萬 )
把34562800000改寫成用“億”作單位的數后，保留兩位小數是( 345.63億 )
分數與百分數
分數的意義和分數單位
單位“1”——一個物體，一個計量單位或是許多物體組成的一個整體，都可以用自然數1來表示，通常我們把它叫做單位“1”
分數——把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數，叫做分數
分數單位——把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數
分數各部分的名稱：
分數與除法
分數與除法的關系：，即
分數帶單位與否的區別：表示：把單位“1”平均分成9份，取其中的5份；
米表示：把5米平均分成9份，每份是( )，每份
是( )米。
分數大小的比較
①分母相同的兩個分數，分子大的分數比較大：例如，、；
②分子相同的兩個分數，分母小的分數比較大：例如，；
③分子、分母都不相同的兩個分數，通分化成同分母或同分子分數，再比較大小：例如，。
分數的分類
5、分數的基本性質
分數的分子和分母同時乘以或者除以相同的數(零除外),分數的大小不變。
例如：一個分數的分母不變，分子乘以3，則這個分數( 擴大3倍 )
如果分子不變，分母除以5，則這個分數( 擴大5倍 )
約分和通分
約分——把一個分數化成和它相等,但分子和分母都比較小的分數。
約分的方法:
①用分子分母的公約數(1除外)逐次去除分子和分母，直到得到最簡分數為止；
②用分子和分母的最大公約數去除分子和分母。
通分——先求出原來幾個分母的最小公倍數，然后把各個分數分別化成用這個最
小公倍數作分母的分數。
最簡分數
分子、分母只有公因數1的分數叫做最簡分數或者分子、分母互質的分數，叫做最簡分數。如：、、等等。
做題時計算的結果，能約分的要約成最簡分數；假分數的，一般要化成帶分數或整數。
判斷一個最簡分數能不能化成有限小數:分母中除了2和5以外，不含有其他的質因數，就能化成有限小數。
百分數的意義
表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫百分數，百分數又叫百分率或百分比。（注意：百分數后面不能帶單位名稱）
分數、小數、百分數的互化
數的整除
整除與除盡
整除：整數a除以整數b(b≠0)，除得的商是整數而沒有余數，我們就說數a能
被數b整除，或數b能整除a。
除盡：數a除以數b(b≠0)，除得的商是整數或是有限小數，這就叫做除盡。
整除與除盡的區別：整除是除盡的一種特殊情況，整除也可以說是除盡，但除盡
不一定是整除。
約數與倍數
如果數a能被數b整除(b≠0)，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
約數 一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的約數是它本身。 約數和倍數是相互依存的。
倍數 一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身，沒有最大的倍數。
能被2、3、5整除的數的特征
能被2整除的數的特征：個位上是0、2、4、6、8；
能被5整除的數的特征：個位上是0或5；
能被3整除的數的特征：各位上的數字之和能被3整除；
能同時被2、5整除的數的特征：個位是0；
能同時被2、3、5整除的數的特征：個位是0，且各位上的數字之和能被3整除。
偶數和奇數
一個自然數,不是奇數就是偶數。
偶數：能被2整除的數叫做偶數（包括0）；
奇數：不能被2整除的數叫做奇數
最小的偶數是：0；
最小的奇數是：1。
奇偶性質：
偶數±偶數=( 偶數 ) 奇數±奇數=( 偶數 ) 偶數±奇數=( 奇數 )
偶數×偶數=( 偶數 ) 奇數×奇數=( 奇數 ) 偶數×奇數=( 偶數 )
質數和合數
質數（素數）：只有1和它本身兩個約數；
合數：除了1和它本身還有別的約數；
1：既不是質數也不是合數；
最小的質數是：2；
最小的合數是：4。
質因數和分解質因數
質因數：每一個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這幾個質數叫做這個合數
的質因數；
分解質因數：把一個合數用幾個質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。
分解質因數的方法：短除法，例如
把30分解質因數
把30分解質因數正確的做法是( C )
A、30=1×2 ×3 ×5——1不是質數
B、2 ×3 ×5=30——書寫格式不符
C、30=2×3×5
7、最大公約數和最小公倍數
公約數、最大公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的
一個叫做這幾個數的最大公約數。
例如：( 1、2、4 )是8和12的公約數，( 4 )是8和12的最大公約數。
公倍數、最小公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的
一個叫做這幾個數的最小公倍數。
例如：( 12、24、36 … )都是4和6的公倍數，( 12 )是4和6的最小公倍數。
互質數：公約數只有1的兩個數叫做互質數。
互質數的幾種特殊情況：
⑴、兩個數都是質數，這兩個數一定互質；
⑵、相鄰的兩個數互質；
⑶、1和任何數都互質。
求最大公約數和最小公倍數：
4和28——最大公約數是( 4 ) 、最小公倍數是( 28 )
如果較小數是較大數的約數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數，較
大數就是這兩個數的最小公倍數。
4和15——最大公約數是( 1 ) 、最小公倍數是( 60 )
如果兩個數互質，它們的最大公約數就是1，最小公倍數就是它們的積。
短除法
例如：求24和36的最大公約數和最小公倍數、
商互質
24和36的最大公約數是:2×2×3=12 除數相乘
24和36的最小公倍數是: 2×2×3×2×3=72 所有的除數和商相乘

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