資源簡介

直線和圓的方程作業題
作業題目難度分為 3檔：三星☆☆☆（基礎題目）
四星☆☆☆☆（中等題目）
五星☆☆☆☆☆（較難題目）
70-90 分同學請選取 1-3,6-11,13-15,17-19
90—120 分同學請選取 2,4-13,16-18,20-22
120+以上同學請選取 2,7,9,11-13,16,18,20-24
本套作業題目 1-6 題為三星，7-22 為四星，23、24 為五星。
1、若直線 的傾斜角為鈍角，則實數 的取值范圍是_____。
☆☆☆
答案與解析： ，傾斜角為鈍角即 ， ，解得 。
故本題正確答案為 。
2、若關于 ， 的二元一次方程組 有無窮多組解，則 的取值為__。
☆☆☆
答案與解析：若關于 ， 的二元一次方程組 有無窮多組解，則直線
與直線 有無數個交點，即這兩條直線重合。
①當 時，兩直線方程分別為 與 ，顯然這兩條直線不重合，故此情況
不成立。
②當 時，若這兩條直線重合，則 ，解得 。
因此有無窮多組解時， 。
3、已知直線 ， ，若 ，則 的值
為（ ）。 ☆☆☆
答案與解析：因為 ，得 ，解得 或 。
4、已知直線 ： ，直線 ： ， ， ，則直線 與
直線 沒有公共點的概率為（ ）。 ☆☆☆
答案與解析：直線 與直線 沒有公共點，即 且不重合。因為常數 ，所以
與 不會重合，所以只要 ，直線 與直線 平行且不重合，即沒有公共點。
因為 所有可能的組合共有 個： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 。
由 得： ，所以滿足該條件的 共有 個： ， 。
所以直線 與直線 沒有公共點的概率 。
5、設 ，則“ ”是“直線 與直線 平
行”的（ ）條件。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查充分必要條件和解析幾何中兩直線平行的基本條件。
和 平行的條件為 且 ，由此可得 或 。則“ ”是“直線
與直線 平行”的充分不必要條件。
6、若圓 ： 與直線 相交于 ， 兩點，則 （ ）
☆☆☆
答案與解析：根據點到直線的距離公式，圓心 到直線 即 的距離
為 ，圓 的半徑為 ，所以 。
7、已知函數 （ ）在區間 上是單調函數，其中 是
直線 的傾斜角，則 的所有可能取值范圍是_____。 ☆☆☆☆
答案與解析： 因為 是直線 的傾斜角，所以 。因為函數 在區間 上
是單調函數，所以 在區間 上恒成立，或
在區間 上恒成立。
①若 在區間 上恒成立，則 ，所以 。
②若 在區間 上恒成立，則 ，所以 。
綜上所述， 的所有可能取值范圍是 。
8、已知三角形 三頂點坐標分別為 ， ， ，直線 將三角
形 分成面積相等的兩部分，若 ，則實數 的取值范圍是 。
☆☆☆☆
答案與解析：直線 過點 ，且 ，當 時，可知 ，當
時， ，隨著 增大，直線的斜率逐漸增大，因此 。
9、在平面直角坐標系 中，若曲線 ( ， 為常數)過點 ，且該曲
線在點 處的切線與直線 垂直，則 的值是_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：直線 的斜率為 ，因為曲線 在點 處的切線與
直線 垂直，所以該曲線在點 處的切線的斜率為 ，所以 。
因為 ，所以 ， 。
又因為曲線過點 ，所以 ，聯立 ，解得 ， ，
所以 。
10、若直線 是曲線 的一條切線，則實數 （ ）。
☆☆☆☆
答案與解析：因為函數 ，其定義域為 ，
設 與函數 的切點為 ，所以 ，則切線的斜率為 。
所以切線方程為 ，即 ，
又有 ，則 ，且 ，所以 ，即 ，則 。
11、設兩條直線的方程分別為 ， ，已知 ， 是方程
的兩個實根，且 ，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值
分別是（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：由已知可得兩條直線的距離是 ，有 ，
因為 ， 是方程 的根，所以 ， ，所以 ，
因為 ，所以 ，即 。
12、在平面直角坐標系 中，設直線 與圓 （ ）交于 A
、B 兩點， 為坐標原點，若圓上一點 滿足 ，則 _____。
☆☆☆☆
答案與解析：設 ， ， ，
由 可得， ， ，
則
，
由于 ， ， 為圓上的點，所以上式化簡為 ，
因為 ， 為直線 上的點，故可進一步化簡為
，
聯立直線 與圓 （ ）的方程，可得 ，
由韋達定理可知， ， ，
所以 （ ），解得 。
13、已知 ，點 的坐標為 ，則當 時，且滿足
的概率為_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：因為 ，所以 表示區域為正方形 ，面積
為 ，又 表示圓心為 ，半徑為 的圓外的區域，在
中的區域為圖中陰影部分，陰影部分面積為 ，所以當 時，
且滿足 的概率為 。
14、已知圓 過點 ，則圓 的圓心的軌跡是（ ）。
☆☆☆☆
答案與解析：由圓 的方程可知，圓心 坐標為 ，半徑 ，因為 為圓
上的一點，所以 ，即 ，所以圓心 的軌跡
是以點 為圓心，以 為半徑的圓。
15、已知圓 ： 的圓心為拋物線 的焦點，直線
與圓 相切，則該圓的方程為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：拋物線 焦點坐標為 ，則圓 圓心坐標 滿足 ， 。
直線 與圓心距離 滿足 ，則該圓半徑 ，
方程為 。
16、設 是直線 上一點， ， 是圓 ： 上不同的兩點，若
圓心 是 的重心，則 面積的最大值為_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：因為 、 是圓 ： 上兩個不同的點，所以
因為圓心是 的重心，連接 并延長交 PQ 于 ，所以 ，設 ，
則 ，且 為 的中點，又 ，則可得 ， ，
所以 的面積為 ，
當且僅當 ，即 時等式成立。所以 面積的最大值為 。
17、已知點 關于直線 的對稱點為 ，則圓
關于直線 對稱的圓 的方程為_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：由題意得圓 的標準方程為 ，圓 的圓心坐標
關于直線對稱后的圓心為 ，所以對稱后的圓方程為 。
18、在平面直角坐標系 中，已知點 在圓 ：
內，動直線 過點 且交圓 于 、 兩點，若 的面積的最大值為 ，則實數
的取值范圍是_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：根據題意，圓心的坐標為 ，半徑 。
因為點 在圓 ： 內，所以
，解得 。
設圓心 到直線的距離為 ，則有 。
又
當且僅當 ，即 ， 時等號成立。
因此， ，即 ，解得 或 。
綜上可知，實數 的取值范圍是 。
19、在平面直角坐標系 中，設點 為圓 ： 上的任意一點，點
，其中 ，則線段 長度的最小值為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：由題意，圓心 ，半徑為 。
，
故點 在圓外，線段 的最小值即轉化為線段 的最小值減去半徑。
因為 ，因此 。
20、已知 是直線 上的動點， 、 是圓 的
切線， ， 是切點， 是圓心，那么四邊形 的面積的最小值是______。
☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查直線與圓方程。
因為 、 是圓的切線，所以 ， ，
設 ，則 ，
當 與直線垂直時， 取最小值 ，所以 。
21、已知圓 ： ，圓 ： ， 、 分別
是圓 ， 上的動點， 為 軸上的動點，則 的最小值為（ ）。
☆☆☆☆
答案與解析：如圖， ，即 ，所以 軸上點 到圓 的最短距離
做圓 圓心關于 軸的對稱點，
。
22、若圓 與
外切，則 的最大值為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：圓 的圓心坐標為 ，半徑為 2，
圓 的圓心坐標為 ，半徑為 1，
因為兩圓外切，所以 ，所以 ，當且僅當 時等
號成立。
23、已知點 和動點 ，以線段 為直徑內切于圓 ： 。
（1）求動點 的軌跡方程。
（2）已知點 ， ，經過點 的直線 與動點 的軌跡交于 ， 兩點，求
證：直線 與直線 的斜率之和為定值。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）設點 。以 為直徑的圓的圓心坐標為 ，
半徑為 ，
因為圓 ： ，所以圓 的圓心坐標為 ，半徑為 。
因為以 為直徑的圓與圓 相切，所以 ，
即 ，
所以點 到兩定點 ， 的距離之和為常數 ，所以點 的軌跡為橢圓， ，
， ，所以 ，
所以橢圓方程為 ，即動點 的軌跡方程為 。
（2）證明：
①直線 垂直于 軸時，直線 ： ，此時直線 與橢圓方程相切，與題意不符。
②直線 斜率存在時，設直線 ： ，聯立方程 ，
消去 整理得 。
因為直線 與橢圓相交于 ， 兩點，所以
，解得 。設 ， ，
則 ， 。
因為 ，所以
。
所以直線 與直線 的斜率之和為定值 。
24、已知橢圓 ： （ ）經過 ， 兩點， 為坐
標原點。
（1）求橢圓 的標準方程。
（2）設動直線 與橢圓 有且僅有一個公共點，且與圓 ： 相交于 ， 兩
點，試問直線 與 的斜率之積 與 是否為定值？若是，求出該定值；若
不是，說明理由。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）根據題意，橢圓 ： 經過 ， ，
所以，解得 ，所以橢圓 的標準方程為 。
（2）①當直線 的斜率不存在時，若直線 與橢圓 有且僅有一個公共點，
則直線 的方程為 。
當直線 的方程為 ，則 ，則 ，可設 ， ，
則 。
當直線 的方程為 ，則 ，則 ，可設 ， ，
則 。
②當直線 的斜率存在時，設直線 ： 。聯立 ，消去 并整理得，
，
由直線 與橢圓 有且僅有一個公共點，則
，所以 ，聯立
，消去 并整理得： ，
設 ， ，
則 ，
則 ，所以
所以 ，將 代入得， 。
綜上所述，直線 與 的斜率之積 與 為定值，且定值為 。(共21張PPT)
學霸推薦
Branch
直線和圓的方程
優秀同齡人的陪伴 讓你的青春少走彎路
直線和圓的方程
知識點特點
一、【界限清晰】
直線和圓的各自知識點的界限非常清晰，
互相不太影響。
二、【注意構建關系】
雖然界限清晰，但是重點卻在聯合。直
線與圓的關系是學習的關鍵。
直線和圓的方程
題目到底在求什么
1、直線或者圓的方程的
單獨知識點考察
2、點、線、圓之間的關系
學會翻譯
1
2
構建知識體系樹
利用知識樹解決經典例題
PA RT 1
構建直線和圓的方程知識樹
DREAM OF THE FUTURE
直線和圓的方程知識樹總圖：
PA RT 2
利用知識樹來解題
DREAM OF THE FUTURE
例題1
答案1
例題2
答案2
例題3
答案3
PA RT 3
回顧落實
DREAM OF THE FUTURE
要點總結
知識并不難，重點要為圓錐曲線大題打基礎
直線與方程
要素
兩條直線的關系：平行、垂直
距離公式
圓與方程
一般方程
點線圓的位置關系
直線與圓位置關系
圓與圓的位置關系
作業布置
根據本節課所學
完成學霸給你的對應習題~
加油~
學霸推薦
THANKS
青春的道路不長不短 學霸的陪伴 讓你一路不慌不忙直線和圓的方程講義（教師逐字稿）
課程簡介：即 PPT(第 1 頁)：直線和圓的方程算是平面幾何中相對簡
單的模塊，因為直線我們學過很多年了，圓也比較熟悉。直線和圓可
以作為平面幾何的入門，我們可以從直線與直線的關系、直線與圓的
關系、圓與圓的關系一點一點深入研究，先了解一下解決平面幾何問
題需要注意的點，需要注意的“詞語”，然后后面的 A-圓錐曲線才會
學得輕松一點。
這節課我們學習：1、直線和圓的方程的知識樹構建；2、如何運
用知識樹解題。
直線和圓的方程屬于 CBA 方法中的 B——branch 類，在高考題目
中一般都會出小題，題目難度適中，基本屬于必拿分的題目。雖然高
考不考大題，但是我們還是要多多練習直線和圓的方程的大題，學面幾何類問題的大題的思考方式，這樣才能為圓錐曲線打好基礎。
所以從打基礎的角度來講，這個模塊其實非常重要，不應該被忽略。
讓我們開始今天的學習吧。
PPT(第 2 頁)：先來了解一下直線和圓的方程模塊知識的總體特點。
1、直線和圓的各自知識點界限清晰；2、構建關系是關鍵。
1、直線的知識點和圓的知識點其實是相對比較獨立的，比如直
線需要學習傾斜角、斜率、平行、垂直等等，這些都有特定的公式。
圓需要標準方程、一般方程等等。這些知識之間并沒有太大聯系，也
沒有什么太大難度。如果出單一考點的小題，也比較容易解決。
2、但是，直線和圓的問題真的就這么簡單么？它的知識僅僅為
了解決一些小題嗎？不是的，我們應該以直線和圓為基礎學習解決一
些大題。大題絕不會單獨考察直線或者單獨考察圓，最容易考的就是
直線和圓的關系。這之中考頻最大的就是直線和圓相切和相交。從這
個點深入考下去，就不單單是說明圓心到直線距離那么簡單了。如果
相交就會有聯立，就會用韋達定理……所以從這里下去可以有很多考
點出現，這才是為圓錐曲線打基礎的地方。
PPT(第 3 頁)：直線和圓的方程的題目到底怎么考？這頁非常重要，
認真聽。這里就跟剛才的知識點特點對應上了。1、有些小題就是單
獨考察直線或者圓的某一個性質或者方程的應用，比如點到直線距離
公式應用等等。2、有些大題主要就是考察點、直線、圓之間的關系，
這里一定要注意題目給出的條件如何翻譯！這里解釋一下，什么叫翻
譯，在圓錐曲線模塊你還會經常聽見這個詞，不是英譯漢，而是把中
文翻譯成數學語言。這個是做題時候非常容易缺失的點，造成的結果
就是一邊讀著題目的條件，一邊大眼漏神，該翻譯的信息完全忽略了，
讀完題一臉懵逼，不停拷問自己：這道題到底想說什么？
我們在這里就介紹一些平面幾何常用的翻譯。一定好好記住。“點
在圓上”的意思就是點坐標可以帶入圓的方程。回想一下，解題的時
候經常解著解著，某個點坐標設完，突然就帶入圓的方程作為一個很
重要的方程來用了。那么從現在開始就要注意這個字眼，“點在圓上”
是非常有用的一個條件，背后就是一個重要的方程。而且是必用的！
同理在圓錐曲線題目中，點在橢圓上，就是指點的坐標可以帶入橢圓
方程。這是一個實實在在的條件，千萬不可以忽略掉。“直線與圓相
切”的意思是“圓心到直線的距離等于 r”、“圓心與切點的連線與直
線垂直”、“直線方程與圓的方程聯立后，△=0”這些才是你看見直線
與圓相切之后應該想到的方程和解題方向。至于走哪條路，再看看題
目其他條件、和最終的問題就差不多可以猜到了。“直線和圓交于XXX”
的意思是，“你要聯立直線和曲線的方程，然后很可能就要使用韋達
定理，弦長公式了。”但現實往往是，你讀完題目之后，無動于衷，
仿佛不曾來過一樣。這里先提及這幾個最容易被忽視的，其他的翻譯
就要看具體題目內容了。
所以這里再一次強調，讀題非常重要，不是原來那種簡單把文字
讀一遍、把條件標一遍，而是要看邏輯、并且及時翻譯的一種讀法。
千萬不能犯懶，因為讀題如果懶了，那么就把壓力都交給解題了。到
時候結果只能是一團亂麻。
PPT(第 4 頁)：好，看一下我們今天的任務。我們這節課就是要構建
出直線和圓的方程的知識體系樹，并且看幾道利用知識樹來解決的經
典例題。
PPT(第 5 頁)：先來把知識樹構建好吧。Let’s go!
PPT(第 6 頁)：這是直線和圓的方程的知識樹總體概圖。這里大致就
可以看到模塊非常清晰，先學直線，再學圓，最后學關系。其中的注
意事項這里也標注了一下。接下來我們從直線與方程開始吧。
PPT(第 7 頁)：直線這里，我們主要學習直線的相關要素，兩直線的
關系，和一些距離公式。其實內容都非常簡單。我們簡單過一下即可。
要素：傾斜角、斜率、直線方程。傾斜角要注意范圍，斜率要
知道公式，注意 k 不存在的情況，而直線方程的五種形式，我們一般
都用斜截式、點斜式和一般式最多。（學霸帶領同學看一下表格即可）
兩條直線的關系：我們這里只提及平行和垂直兩種特殊的即可。
這里注意兩直線重合就算一條直線，不再算兩條直線的關系了。平行
就是兩直線的 k 相等，而垂直呢，就是斜率的乘積等于-1。這里注意
我們的插播廣告，回想一下向量，學垂直的時候是不是特意提到過，
直線的垂直也常用向量的辦法，兩個向量乘積為 0 即可。我們各個模
塊之間的聯系也會多多滲透進來。
距離公式：這個就更簡單了，一共 3 個。兩點間距離公式、點
到直線距離公式、2 個平行直線之間的距離公式。（標紅的反而容易
忘記，學霸可以重點讀一下）
PPT(第 8 頁)：接下來，我們進入圓與方程。這里公式也很簡單。圓
的方程就兩種模式，標準方程和一般方程（學霸可以照讀一下）。這
里涉及到一個常用的解題知識就是求圓上的點到其他曲線上的點的
距離最值，就是求圓心到曲線上的點的距離即可，然后加半徑就是最
大值，減半徑就是最小值。這是圓這里最常用的一個知識，圓上的動
點不好控制，但是我們可以靠圓心把它的最值定住。
PPT(第 9 頁)：好，我們進入重頭戲。關系。這里我們需要把握點與
圓的位置關系、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系。我們一個
一個來。
先是點與圓的位置關系。這個其實非常簡單，我需要你重點掌握
的是點在圓上的情況，意味著點坐標可以帶入方程，那么這個方程就
可以用來解題了。做大題的時候往往就是這種認為自己肯定會的知識
點，卻從來不知道“用”。
接下來比較重要，就是直線與圓的位置關系和一些容易被忽視的
公式。直線與圓一共三種關系，相交、相切、相離。相離這種情況很
少考察，我們重點要學相切和相交。先來相切的情況。圓的切線方程
怎么求？比較傳統的做法是已知切點之后，求切線斜率，因為切線與
圓心和切點的連線是垂直的，最后點斜式求切線方程。但是高中階段
我們學一個簡便的公式，要記住，就像圖片里寫的那樣，圓的方程如
果是（x-a）2+（y-b）2=r2，我們可以把切點直接帶入，只帶入平方
項里面的一個括號里，變成（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。這
個就是切線方程。所以如果是大題里面涉及到切線，可以直接這么求，
不要不停去找斜率，那樣計算太慢了。
切線性質是十分重要的，題目里出現“切線”兩個字，就要知道
可能要列什么方程。一是切點與圓心連線與切線垂直，這里斜率乘積
為-1 就可以用上了，二是圓心到切線的距離等于 r，這里點到直線距
離公式又用上了。接下來有幾個公式。弦長公式這個很簡單，不多說。
兩個圓的公共弦方程容易忘，這里再回憶一下，只要兩個圓方程相減
得到的直線就是公共弦所在直線。經過兩個圓交點的圓，這個也是有
固定方程的（學霸照讀即可）。這個方程代表過兩個圓公共點的所有
圓，具體題目中會給出條件，幫你求出λ。
圓與圓的位置關系，這個就是比較固定的套路了（學霸照讀一遍
公式即可）。一般外切的情況考察更多一點，順便問一下，兩圓外切，
公切線有幾條？3 條。外離呢？4 條。這個小知識點回憶一下即可。
PPT(第 10 頁)：好了，到這里我的直線和圓的方程知識樹就成型了。
這里公式偏多，把你認為很熟悉的立刻刪掉，讓你的樹看起來清爽一
點。（這張圖 ppt 不清晰，可以下載原圖查看）
PPT(第 11 頁)：OK,直線和圓的方程知識樹全部構建結束。讓我們來
一起看一下如何運用知識樹來解題吧（務必看視頻，學霸不必過多講
解）。
PPT(第 12-13 頁)：第 1 題和答案。
PPT(第 14-15 頁)：第 2 題和答案。
PPT(第 16-17 頁)：第 3 題和答案。
PPT(第 18 頁)：回顧落實。看完視頻題目后，有沒有學會如何運用知
識樹來解題？我們再次總結一下知識樹的要點吧。
PPT(第 19 頁)：這個模塊的知識點真的不難，但是一定要注意我說的
需要翻譯的字眼，這樣才能為圓錐曲線真的打下基礎。下面的知識點
再熟悉一下，你看著標題是不是能回想得起來？
PPT(第 20 頁)：課后作業布置，請完成我們為你準備的經典習題。
PPT(第 21 頁)：本次課程結束，我們下次見。

展開更多......

收起↑