資源簡介

參數方程作業題
作業題目難度分為 3檔：三星☆☆☆（基礎題目）
四星☆☆☆☆（中等題目）
五星☆☆☆☆☆（較難題目）
現在極坐標和參數方程都學過了，我們直接選取綜合大題來做，本套作業沒有三
星簡單題目，直接是四星中等題目，和很少的五星題。
70-120 分同學請選取 1-11（全做了吧）
120+以上同學請選取 4,6-9,11
本套作業題目 1-10 題為四星，11 為五星。
1、已知在直角坐標系 中，曲線 的參數方程為 （ 為參數），直
線 經過定點 ，傾斜角為 。
（Ⅰ）寫出直線 的參數方程和曲線 的標準方程；
（Ⅱ）設直線 與曲線 相交于 ， 兩點，求 的值。 ☆☆☆☆
答案與解析：（Ⅰ）圓 ： ，直線 ： ， 為參數。
（Ⅱ）將直線的參數方程代入圓的方程可得 ，設 ， 是方程的
兩個根，則有 ， = 。
2、已知圓的方程為 。
（Ⅰ）求圓心軌跡的參數方程 ；
（Ⅱ）點 是（Ⅰ）中曲線 上的動點，求 的取值范圍。
☆☆☆☆
答案與解析：（Ⅰ）將圓的方程整理得： ，
設圓心坐標為 ，則 ， 。
（Ⅱ） ，所以 。
3、在平面直角坐標系 中，已知曲線 ： ，（ 為參數），直線 ：
，（ 為參數）。設 與 交于 ， 兩點，求線段 的長度。
☆☆☆☆
答案與解析：由 ，消去 得曲線 的普通方程為 ；
由 ，消去 得直線 的普通方程為 。
聯立直線方程與曲線 的方程，即 ，解得交點的坐標分別為 ， 。
所以線段 的長度為 。
4、在平面直角坐標系 中，曲線 的參數方程為 （ ），曲線
的參數方程為 （ 為參數）。
（1）求曲線 ， 的普通方程；
（2）求曲線 上一點 到曲線 距離的取值范圍。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）曲線 ： ，則 ，平方相加，
可得 普通方程： ，
曲線 ：由 ，可得 ，
所以 普通方程： 。
（2）設 上點 坐標為 ， 普通方程： ，即
。由點到直線的距離公式有：點 到 的距離為：
，
因為 ，當 即 時， ，
當 即 時， ，
所以曲線 上一點 到曲線 距離的取值范圍為 。
5、已知直線 經過點 ，傾斜角 ，圓 的極坐標方程為 。
（1）寫出直線 的參數方程，并把圓 的方程化為直角坐標方程；
（2）設 與圓 相交于 ， 兩點，求點 到 ， 兩點的距離之積。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）因為直線 經過點 ，傾斜角 ，
所以直線 的參數方程為 （ 為參數），即 （ 為參數），
因為 ，所以 ，所以
，所以 ，
所以圓 的直角坐標方程為 。
（2）設 ， 兩點對應的參數分別為 ， ，將直線 的參數方程 （ 為
參數）代入圓的直角坐標方程 ，得 ，
所以 ，則 ，
6、已知直線 ： （ 為參數），曲線 （ 為參數）。
（1）設 與 相交于 ， 兩點，求 的值；
（2）若把曲線 上各點的橫坐標壓縮為原來的 ，縱坐標壓縮為原來的 ，得到曲
線 ，設點 是曲線 上的一個動點，求它到直線 的距離的最小值。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1） 的普通方程為 ， 的普通方程為 ，
圓心 到直線 的距離為 ，半徑為 ，由勾股關系得 。
（2） 的參數方程為 （ 為參數），故點 的坐標是 ，
從而點 到直線 的距離 ，
當 時， 取得最小值為 。
7、在平面直角坐標系 中，以原點 為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，
已知圓 的極坐標方程為 。
（1）當 時，設 為圓 的直徑，求點 的直角坐標；
（2）直線 的參數方程是 （ 為參數），直線 被圓 截得的弦長為 ，若 ，
求 的取值范圍。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1） 時，圓 的直角坐標方程為 ，
所以圓心 ，又點 的直角坐標為 ，且點 與點 關于點 對稱，所以點 的
直角坐標為 。
（2）圓 的直角坐標方程為 ，直線 的方程為 ，所
以圓心 到直線 的距離為 ，所以 。
所以 ，解得 。
8、已知曲線 的參數方程是 （ 為參數），以坐標原點為極點， 軸的
正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 的極坐標方程是 。正方形 的頂點都
在 上，且 依逆時針次序排列，點 的極坐標為 。
（1）求點 的直角坐標；
（2）設 為 上任意一點，求 的取值范圍。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）根據題意，曲線 應該為圓心在原點半徑為 的圓。
四邊形 為正方形，所以點 的直角坐標為
。
（2）設 ，則 （ 為參數）
。
所以 的取值范圍是 。
9、在直角坐標系 中，曲線 的參數方程為 （ 為參數）
是 上的動點， 點滿足 ， 點的軌跡為曲線 。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）在以 為極點， 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線 與 的異于極點
的交點為 ，與 的異于極點的交點為 ，求 。 ☆☆☆☆
答案與解析：（Ⅰ）設 ，則由條件知 由于 點在 上，所以
，從而 的參數方程為 （ 為參數）。
（Ⅱ）曲線 的極坐標方程為 ，曲線 的極坐標方程為 。
射線 與 的交點 的極徑為 ，
射線 與 的交點 的極徑為 。
所以 。
10、在直角坐標系 中，直線 的參數方程為 （ 為參數），以原點為
極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系， 的極坐標方程為 。
（Ⅰ）寫出 的直角坐標方程；
（Ⅱ） 為直線 上一動點，當 到圓心 的距離最小時，求 的直角坐標。
☆☆☆☆
答案與解析：（1）由 得 ，從而有 ，
所以 。
（2）設 ，又 ，則 ，
故當 時， 取得最小值，此時， 點的直角坐標為 。
11、以坐標原點為極點，以 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線 的參
數方程為 （ 為參數）。
（1）曲線 在點 處的切線為 ，求 的極坐標方程；
（2）點 的極坐標為 ，且當參數 時，過點 的直線 與曲線 有兩個
不同的交點，試求直線 的斜率的取值范圍。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）因為 ，所以 ，點 在圓上，
當 ， 時： ， ，則 ，
則切線方程為： ，即 ，
所以 ，切線 的極坐標方程為 = 。
（2） 與半圓 （ ）相切時， ，得
，所以 或 （舍去）。設點 為半圓與 軸交點，
由圓的方程可知點 坐標為 ， ，
故直線 的斜率的取值范圍為 。(共22張PPT)
學霸推薦
Branch
參數方程
優秀同齡人的陪伴 讓你的青春少走彎路
參數方程的知識點特點
一、【沒有新的坐標系】
務必與極坐標區分開來，
參數方程依然使用直角坐標系
二、【另一套衣服】
這是相關圖像的另一套衣服而已。
參數方程的題目
考什么
1、第一問考轉化
2、第二問其實是平面幾何問題
（以直線和圓為主）
1
2
構建知識體系樹
利用知識樹解決經典例題
PA RT 1
構建參數方程知識樹
DREAM OF THE FUTURE
極坐標與參數方程總圖：
PA RT 2
利用知識樹來解題
DREAM OF THE FUTURE
例題1
答案1
例題2
答案2
例題3
答案3
PA RT 3
回顧落實
DREAM OF THE FUTURE
要點總結
找到穿衣服的感覺
相關概念
與直角坐標的轉化公式
直線、圓、橢圓的參數方程
作業布置
根據本節課所學
完成學霸給你的對應習題~
加油~
學霸推薦
THANKS
青春的道路不長不短 學霸的陪伴 讓你一路不慌不忙
第一問主要考察轉化問題
第二問務必當成平面幾何問
題先想對策
極坐標
極坐標與參數方程
相關概念
參數方程
與直角坐標的轉化
幾種曲線的參數方程
第一問主要考察轉化問題
極坐標
第二問務必當成平面幾何問
題先想對策
參數可能有物理意義或幾何意義,也可能沒有
極坐標與參數方程
相關概念
參數方程
在平面直角坐標系中,若曲線C上的點P滿足(2=0,該方程叫曲線〔C的參數
方程,變量t是參變數,簡稱參數
與直角坐標的轉化
幾種曲線的參數方程
第一問主要考察轉化問題
第二問務必當成平面幾何問
極坐標
題先想對策
極坐標與參數方程
相關概念
參數方程想轉為直角坐標方程,兩個字“消參”
參數方程與直角坐標的轉化
直角坐標轉為參數方程,背誦具體模型即可
幾種曲線的參數方程
極坐標
相關概念
與直角坐標的轉化
第一問主要考察轉化問題
t的幾何意義是關鍵,|t|代表一條直線上任意一點到那個定點的舉例,那么直線上
第二問務必當成平面幾何問
任意兩點之間的舉例,就可以表達為tr-t2|
題先想對策
直線
設直線過點M4(,馬),點斜式方程為
直線的播通方程轉化為參數方程|y-=k(x-,其中k=,a為
rax+toosa
極坐標與參數方程
lyo+tsina
直線的傾斜角
參數方程
θ也有幾何意義,就是圓心角大小,很少用來解題,了解即可。
幾種曲線的參數方程
圓
心在原點的圓
I=Rose
=sn,0≤6≤2x
愿心不在原點的圓
r=Y+Rose
0≤6≤2π
[y=yo+Rsin6
x=acost
橢圓
橢園的參數方程
,0≤t<2π
bint參數方程講義（教師逐字稿）
課程簡介：即 PPT(第 1 頁)：極坐標與參數方程是選修內容，也是很
多同學會選做的一題。主要分為兩部分，一個是極坐標，一個是參數
方程，我們分成兩個課時來學習。極坐標與參數方程從本質上來講，
是平面內的點、直線、曲線的另一種表達方式。我們過去都習慣了用
固定的 x 與 y 的關系來表示平面內的點、直線、曲線，現在就是要接
觸一種比較新穎的表達方式而已。所以這里的學習要注意從心理上接
納極坐標和參數方程，怕是沒有用的，只有接納它、熟悉它，才知道
它其實不怎么可怕。上節課已經講完了極坐標，今天就讓我們來解參
數方程。
這節課我們學習：1、參數方程的知識樹構建；2、如何運用知識
樹解題，這里包括參數方程自身的題目，更重要的是極坐標與參數方
程綜合在一起的題目。
參數方程屬于 CBA 方法中的 B——branch 類，在高考題目中屬于
選做題，高考題目難度適中，基本屬于必拿分的題目。今天我們學完
參數方程，就可以應付真正的高考題目了。讓我們開始今天的學習吧。
PPT(第 2 頁)：先來了解一下參數方程模塊知識的總體特點。
1、沒有新的坐標系；2、另一套衣服。
1、因為剛學完極坐標，再來看參數方程容易有點頭暈，首先必
須明確的就是參數方程沒有像極坐標一樣使用新的坐標系，依然在用
直角坐標系，依然要用 x 和 y，只是引入了一個參數而已。所以極坐
標與參數方程的區別這里要注意，極坐標是全新的坐標系+全新的表
達方式。而參數方程坐標系不動，只是一種新的表達方式。
2、從本質上來講，參數方程也只是平面內圖形的另外一套衣
服。所以你依然需要對這個人——也就是圓的圖像很熟悉，這樣還是
他穿哪身衣服都一樣，脫了衣服你也要認識。所以，參數方程與直角
坐標轉化的秘訣依然是：以圖像為根基，不管什么方程，都直接跟圖
像建立聯系就好。不要總是跨過圖像，去找衣服之間的聯系。現在，
希望你能練習到看見一個直線，可以隨手寫出它的直角坐標方程或者
是參數方程，或者是極坐標方程，沒有感覺哪個更容易，哪個更困難，
如果能練習到這個程度，才算整個極坐標與參數方程學會了。而且同
一個曲線的 3 個方程可以放在一起刺激一下眼球，因為你可能從來沒
看過同一個曲線的極坐標方程與參數方程放在一起是什么樣子，可以
自己嘗試寫一寫。比如 y=kx，極坐標方程就是θ=α（k=tanα），參
數方程就是 = tcosα = tsinα （t 為參數），這樣三組東西放在一起，你可
以看看自己是否真的熟悉，看見他們的熟悉程度是一樣的。
PPT(第 3 頁)：參數方程的題目到底在考察什么？因為與極坐標是同
一道題目，所以這里跟極坐標講的是一樣的，就是一道平面幾何的大
題而已。（這頁與極坐標模塊的內容一樣，如果同學已經學過極坐標，
這一頁學霸可以一帶而過）
第一問考的是轉化問題，就是點、直線、曲線等直角坐標與參數
方程相互轉化的問題，盡可能把參數方程直接與圖像相聯合。
第二問其實是平面幾何的問題，尤其以直線和圓為主。所以第二
問務必轉變思維，想想你在做必修二直線和圓的大題的時候的感覺，
千萬不要當成極坐標或參數方程的附屬問題，然后記住某些答案的一
些什么聯立，背誦一些什么奇怪的步驟，胡扯一通。這是做極坐標與
參數方程第二問的通病。就是認為這是一道全新的題目，去背誦答案
的一些步驟，其實只要你跳出來，當成一個普通的直線和圓的問題就
好了。這樣就知道什么時候該用極坐標或參數方程來聯立，什么時候
該轉化為直角坐標方程。這里不要機械化記憶，必須用極坐標聯立或
者用參數方程聯立之類的，當成平面幾何問題來分析到底使用極坐標、
參數方程還是直角坐標方程，這些操作都是自然而然的，不是生搬硬
套的。
PPT(第 4 頁)：好，看一下我們今天的任務。我們這節課就是要構建
出參數方程的知識體系樹，并且看幾道利用知識樹來解決的經典例題。
PPT(第 5 頁)：先來把知識樹構建好吧。今天我們構建好參數方程的
知識樹之后，就會展示整個極坐標與參數方程的總圖，讓你有一個更
完整的感覺。Let’s go!
PPT(第 6 頁)： 這是參數方程知識樹的總體概圖。這次標注了整個極
坐標與參數方程的解題對策：就是第一問注意轉化，第二問當成平面
幾何問題。今天的參數方程主要包括相關概念，參數方程與直角坐標
方程的關系，還有 3 種曲線的參數方程。這里學習思路跟極坐標一模
一樣，了解概念，知道轉化方式，然后學直線、圓、橢圓的標準參數
方程形式，就可以出發去解題了。依然強調，參數方程這里連新的坐
標系都沒有，我們學習的只是一種新的表達曲線的方式。還沒有學各
種運算公式。所以題目的第二問，務必當成平面幾何問題來分析，然
后選擇解題方案。
PPT(第 7 頁)：讓我們開始先看相關概念吧。首先要明確，參數方程
沒有新的坐標系！就是依然在直角坐標系里面，所以參數方程依然是
表達 x 與 y 的關系，只是換了個方式而已。千萬不要與極坐標混在一
起。有時候學完極坐標，你會被誤導，認為參數方程也有個什么特別
的體系，連它依然用 x 和 y 表達平面內的圖形都想不清楚了，所以這
里一再強調。另外就是參數方程一樣有很大的局限性，能夠直接用參
數方程解題的情況并不多，都必須滿足比較苛刻的條件才行，后面我
們學各個模型的時候會一一說明。考試題目你發現一用一個準，是因
為人家就在考你這個知識點，故意出這樣的題目，不是所有題目真的
就用參數方程解更快。
參數方程這里，因為沒有新的坐標系，所以新概念也沒什么，就
是 x 和 y 不直接構建聯系，不寫 y=3x+2，而是找到一個“小三”，讓
x 與 y 都跟小三勾搭一下，不直接見面。有沒有想過為什么？我記得
我高中的時候曾以為是吃飽了撐得，是為了給我們出題玩的，不過現
在理解了，參數方程在高中階段，一是在解決一些 x+y 最值的時候非
常有用，因為對于圓或者橢圓上的點，如果你想求 x+y 的范圍，很難
用 y 表達 x，或者用 x 表達 y，但如果我們都用同一個參數來表達，
很快就能轉化為三角函數求范圍的問題了。二是解決一條直線上兩點
之間距離的時候，也會比直角坐標點簡單得多，因為直線的標準參數
方程里面有一個 t，這個東西有很好用的幾何意義，求兩點之間距離
只要|t1-t
2|,而不是像直角坐標，需要 這么
復雜的計算。所以現在你就知道，第二問到底什么時候要直接用參數
方程了，就是可以利用他們優勢的時候。
PPT(第 8 頁)：接下來，參數方程與普通直角坐標方程如何轉化，超
級簡單，參數方程轉為普通直角坐標方程，就是兩個字“消參”，想
辦法把參數消去即可。而直角坐標方程如何變為參數方程？這個沒有
什么通用的公式，就是背下來模型就好了，因為高中階段我們并不學
習如何選取參數，所以這個轉化也不必放在心上了。
PPT(第 9 頁)：接下來，我們直接看三種最重要曲線的參數方程，記
住模型即可，不用知道參數是怎么選的。有一點特殊強調，就是寫參
數方程的時候，后面一定標注誰是參數，這直接決定了到底是什么樣
的曲線。
先看直線。直線的標準參數方程 = x0 tcosα = y0 tsinα （t 為參數），
記住這里面一些量的意義，（x0，y0）表達的是直線過的定點，α表
示的是直線的傾斜角，那么斜率就是 tanα，t 這里也有幾何意義，
非常重要，|t|代表直線上任意一點到定點的距離，那么直線上任意
兩點之間的距離就可以表達為兩點的 t 做差，即|t1-t2|。你可能還會
經常有個困惑，直線跟曲線聯立的時候，到底誰用參數方程，誰用直
角坐標方程，這個其實也簡單，如果你想用 t 的幾何意義了，必須保
留 t 對不對，所以直線肯定選用參數方程呀。接下來曲線，曲線如果
還選參數方程 = ? （θ為參數），這兩個參數方程你會聯立嗎？ = bsinθ
根本聯立不起來對不對，所以曲線自然就選普通直角坐標方程唄。所
以這種聯立不要去背，誰用什么方程，你只要知道自己要用什么，要
干什么，立刻就知道怎么選了。不要總妄圖靠不理解的背誦就能解題，
那樣后患無窮。
再看圓。圓的參數方程必須注意的就是與直線方程加以區分，
因為它們的形式太相似了，幾乎一模一樣。 = x0 rcosθ = y0 rsinθ （θ為
參數），看見公式你可能還覺得自己一定能區分開，但是如果里面換
上數字，立刻頭暈。所以這里一定記住，圓與直線的參數方程區別就
在于看誰是參數。圓這里的參數是那個角度θ，而直線的參數是那個
系數 t。所以遇到一個參數方程，要先看誰是參數，才能區分出來是
直線還是圓，如果是圓，這里的（x0，y0）就是圓心， r 就是半徑，
θ這里是參數，也是圓上的點與圓心連線，然后與 x 軸形成的夾角。
這里再回想一下剛才直線參數方程里面各個量都是什么意思。
最后看橢圓。橢圓與圓就非常類似了 = ? （θ為參數）， = bsinθ
這里的 a 和 b 就是橢圓直角方程里面的 a 和 b，參數依然是一個角度，
幾何意義很少考察，就不多說。所以當你看到是角度為參數的時候，
肯定是圓或者橢圓，然后就看 sin 和 cos 的系數是否相等就可以了，
相等的就是圓，不等的就是橢圓。
PPT(第 10 頁)：好了，到這里我的參數方程知識樹成型了，可以看到
與極坐標非常類似。
PPT(第 11 頁)：接下來，看一下極坐標與參數方程的總圖吧。這樣感
受更加直觀，兩個部分學法很相似，區別就在于極坐標是一個新的坐
標系，而參數方程還是依托直角坐標，用 x 和 y 表達。（這張總圖 ppt
內不清晰，可以下載原圖查看）
PPT(第 12 頁)：OK,極坐標與參數方程知識樹全部構建結束。讓我們
來一起看一下如何運用知識樹來解題吧（務必看視頻，學霸不必過多
講解）。
PPT(第 13-14 頁)：第 1 題和答案。
PPT(第 15-16 頁)：第 2 題和答案。
PPT(第 17-18 頁)：第 3 題和答案。
PPT(第 19 頁)：回顧落實。看完視頻題目后，有沒有學會如何運用知
識樹來解題？我們再次總結一下知識樹的要點吧。
PPT(第 20 頁)：不管極坐標還是參數方程，都是要找到給圖像穿不同
衣服的感覺，圖像就是那個人，直角坐標可能是綠衣服，極坐標就是
紅衣服，而參數方程就算黃衣服。然后我們學習了相關概念，與直角
坐標的轉化，直線、圓和橢圓的各自的參數方程（這里 ppt 內不詳細
寫了，如果學生忘記了，就把總圖拿出來看一下）。
PPT(第 21 頁)：課后作業布置，請完成我們為你準備的經典習題。
PPT(第 22 頁)：本次課程結束，我們下次見。

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