資源簡介

(共26張PPT)
學霸推薦
Branch
計數原理（理科）
優秀同齡人的陪伴 讓你的青春少走彎路
計數原理知識點特點
一、【原理簡單應用難】
排列、組合、二項式定理這些公式都非常容
易懂，背下來不是難事。但是應用起來簡直
是讓人頭疼。
二、【排列組合題目分類搞定】
最終要的工作是區分清楚題目的類型，再選
取方法，不要妄圖靠你的直覺。
三、【二項式背就好了】
計數原理怎么考
1、排列組合跟概率放在一起考察（最難）
2、排列組合難度考察，分類記憶
3、二項式單獨考察，會用定理即可
1
2
構建知識體系樹
利用知識樹解決經典例題
PA RT 1
構建計數原理知識樹
DREAM OF THE FUTURE
PA RT 2
利用知識樹來解題
DREAM OF THE FUTURE
例題1
答案1
例題2
某天下午要排物理、化學、生物和兩節自習共節課，如果第一節不排生物，最
后一節不排物理，那么不同的排法共有（ ）。
答案2
例題3
現有六本書，其中兩本相同，其余四本各不相同，分成三堆，每堆兩本，則
不同的分法的種數為（ ）。
答案3
如圖，用四種不同顏色給圖中的A、B、C、D、E、F六個點涂色，要
求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不
同的涂色方法用（ ）。
例題4
答案4
例題5
答案5
PA RT 3
回顧落實
DREAM OF THE FUTURE
要點總結
不要跟概率混為一談，細細分類
2個計數原理
分步乘法
排列與組合
6類題型：
特定元素與特殊位置問題、相鄰問題、不相鄰問題、
定序問題、分堆問題、分組與分配問題
公式
二項式系數的性質
作業布置
根據本節課所學
完成學霸給你的對應習題~
加油~
學霸推薦
THANKS
青春的道路不長不短 學霸的陪伴 讓你一路不慌不忙計數原理作業題
作業題目難度分為 3檔：三星☆☆☆（基礎題目）
四星☆☆☆☆（中等題目）
五星☆☆☆☆☆（較難題目）
計數原理屬于理科生的噩夢，其實題目都不算難，但是都是看過答案才會。所以
低分段同學把作業全部做了吧，高分段也盡可能多做，這個模塊非常需要手感。
70-120 分同學請做 1-29。
120+以上同學請選取 4，6-31。
本套作業題目 1-4 為三星，5-27 為四星，28-31 為五星。
1、 的展開式中含 項的系數為_____。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查二項式定理。
，則展開式中含 項為：
，所以展開
式中含 項得系數為 。
2、若 的展開式中，各項系數的和與各項二項式系數的和之比為 ，則
（ ）。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查二項式定理。由二項展開式的性質可得各項系數的和為
，各項二項式系數的和為 ，由已知可得 ，解得 。
3、如果 的展開式中各項系數之和為 ，則展開式中 的系數是（ ）。
☆☆☆
答案與解析： 的展開式前系數之和滿足 ，可解得 ，則原
二項式中 即 的系數為 。
4、 的展開式中 的系數是（ ）。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查二項式展開式的通項公式。 展開式的通項
為 ，所以 的系數為 。
5、已知 （ ， ）的展開式中 的系數為 ，則 的系
數為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查二項式定理。
由題意得 的展開式中 的系數為 ，又因為 ， 均為正整
數，所以有 或 。當 時， 的展開式中 的系數為 ；
當 時， 的展開式中 的系數為 。
6、某校開設 類選修課 門， 類選修課 門，一位同學從中選 門，若要求兩類課
程中各至少選一門，則不同的選法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列組合。從這兩類課程中任意選擇 門的選法一共有
種，只選一類課程的選法有 種。那么這兩類課程中各至少有選一門的選法共有
種。
7、從 ， ， ， ， ， 這六個數字中任取五個，組成五位數，則不同的五位數共有
（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查加法原理和排列組合。首先考慮不含 的情況：從五個位
數上選三個填 ，其余填 ，則 ；含有 且有兩個 兩個 的情況：先從五個位數
上選一個填 ，然后在剩下的四個位數中選兩個填 ，其余填 ，則 ；含有
且有一個 三個 的情況：先從五個位數上選一個填 ，然后在剩下的四個位數中選
一個填 ，其余填 ，則 ；所以不同的五位數共有： 個。
8、有 個乒乓球，將它們任意分成兩堆，求出這兩堆乒乓球個數的乘積，再將每
堆乒乓球任意分成兩堆并求出這兩堆乒乓球個數的乘積，如此下去，直到不能再分
為止，則所有乘積的和為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。假設每次分堆分出 個球，第一次分完，一
堆是 個，另一堆是 個，乘積為 ；第二次分完，一堆是 個，另一堆是 個，乘積為
，以此類推，所有乘積和為 ，因此乘積和為 。
9、某數學教師一個上午有 個班級課，每班一節。如果上午只能排 節課，并且不
能連上 節課，則這位教師上午的課表有（ ）種可能的排法。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。在上午排三節課，且這三節課不連上，共
有 種排法；將三個班級的課進行排列，共有 種排法；由分步乘法計
數原理可得，共有 種不同的排法。
10、在第二屆烏鎮互聯網大會中，為了提高安保的級別同時又為了方便接待，現將
其中的五個參會國的人員安排酒店住宿，這五個參會國要在 、 、 三家酒店選擇一
家，且每家酒店至少有一個參會國入住，則這樣的安排方法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查兩個基本原理及排列與組合。由題意，可以把五個參賽
國分為三組，則分為兩種情況：①分為 、 、 ，此時共有 種方法。②分為
、 、 ，因為此時要平均分組，所以有 種方法。
所以共有 種方法。
11、“漸升數”是指除最高位數字外，其余每一個數字比其左邊的數字大的正整數
（如 和 都是五位的“漸升數”）。
（Ⅰ）共有_____個五位“漸升數”（用數字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“漸升數”按照從小到大的順序排列，則第 個五位“漸
升數”是_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列組合。
（Ⅰ）由題意，“漸升數”中不能有 ，則在其他 個數字中任取 個，每種取法對應
一個“漸升數”，則共有“漸升數” 個；
（Ⅱ）對于這些“漸升數”， 在首位的有 個， 在首位的有 個， 在
首位時“漸升數”由小到大排列為 ， ， ， ， ， 。故第
個五位“漸升數”是 。
12、用 5，6，7，8，9組成沒有重復數字的五位數，其中有且僅有一個奇數夾在兩
個偶數之間的五位數的個數為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。
第一步選一個奇數夾在兩個偶數之間，有 種選法；第二步把這三個數看成一個整體
與另外兩個奇數進行全排，有 種排法，第三步兩個偶數再排，有 種方法，共有
種。
13、已知函數 的值域為 ，則滿足這樣條件的函數的個數為
（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查函數與方程。由 的值域為 可得 或
或 ，則 ，其中定義域上 和 應至少選取一
個，則滿足這樣條件的函數個數為 。
14、用 ， ， ， ， ， 組成數字不重復的六位數，滿足 不在左右兩端， ， ， 三
個偶數中有且只有兩個偶數相鄰，則這樣的六位數的個數為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列組合。不考慮數字 的位置， ， ， 三個偶數中有且
只有兩個偶數相鄰的種數有 種；這種情況中， 在左右兩端的
種數為 種，則這種情況下，不在左右兩端的種數
15、現從男、女共 名學生干部中選出 名同學（要求 人中既有男同學又有女同學）
分別參加全校“資源”、“生態”和“環保”三個夏令營活動，共有 種不同的安排
方案，那么 名學生男、女同學的人數分布可能是（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。設有男生 人，則有女生 人。則題中方
案共有 ，當 時，上式成立，即男同學有 人。
16、四位男生和兩位女生排成一排，男生有且只有兩位相鄰，則不同排法的種數是
（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。先從 位男生中選 位捆綁在一起，和剩下
的 位男生，插入到 位女生所形成的 個空中，不同的排法共有 種。
17、從 6人中選 4人分別到北京、哈爾濱、廣州、成都四個城市游覽，要求每個城
市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且在這 6人中甲、乙不去哈爾濱游覽，則不
同的選擇方案共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列組合中的基本知識。抽取的 4人中沒有甲乙時，共
有 種排法，抽取甲乙中的一人時，共有 種，抽取有甲乙兩人時，共
有 ，即共有不同方案 種。
18、現有 人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同
的排法有 種。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。由題意可知甲既不在端點，也不與乙相鄰，
因此排在甲兩邊的人共有 種排法；將甲以及甲兩邊的人作為一個組合，與其
他 個人進行排列，共有 種排法。因此共有 種排列方法。
19、某人根據自己愛好，希望從 中選 個不同字母，從 中選 個
不同數字編擬車牌號，要求前三位是數字，后兩位是字母，且數字 不能排在首位，
字母 和數字 不能相鄰，那么滿足要求的車牌號有（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。滿足前三位是數字，后兩位是字母的車牌
號共有 個。其中，數字 排在首位的車牌號有
個；若數字 和數字 相鄰，則數字 排在第三位，字母
排在第四位，滿足這種情況的車牌號有 個；綜上，滿足要
求的車牌號有 個。
20、將 、 、 、 四本不同的書分給甲、乙、丙三個同學，每個同學至少得到一
本書，且 書只能給甲同學，則不同的分法總數為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列和組合。若沒有規定 書分給誰，則共有
種分法，如果 書只能給甲同學，則甲同學分到一本書的情況有： 種；甲
同學分到兩本書的情況有： 種，所以滿足要求的分法共有 種分法。
21、將標號為 ， ， ， ， ， 的 個小球放入 個不同的盒子中。若每個盒子放 個，
其中標號為 ， 的小球放入同一個盒子中，則不同的方法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。設三個不同的盒子為 、 、 ，則 ， 號
球放入的盒子可能為 、 、 ，共 種情況；剩下的四個球平均放入剩下的兩個盒
子共有 種情況，所以不同的方法共有 種。
22、從甲、乙等 5名志愿者中選出 4名，分別從事 四項不同的工作，每人
承擔一項。若甲、乙二人均不能從事 工作，則不同的工作分配方案共有（ ）。
☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查計數原理。首先分配 工作，共有 3種方案，然后分配剩
下 3種工作，共有 種方案，所以共有方案 種方案。
23、某校在高二年級開設選修課，選課結束后，有四名同學要求改選數學選修課，
現數學選修課開有三個班，若每個班至多可再接收 名同學，那么不同的接收方案共
有（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列組合。根據題意，分兩種情況，
①其中一個班接收 名，另兩個班各接收 名，分配方案共有 種；
②其中一個班不接收、另兩個班各接收 名，分配方案共有 種；
所以，滿足題意的不同接收方案共有 種。
24、八個一樣的小球排成一排，涂上紅、白兩種顏色， 個涂紅色， 個涂白色。若
涂紅色的小球恰好有三個連續，則不同涂法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列組合。
題目等價于將 個紅球和 個白球排成一排。將三個紅球看成一個整體，記為大紅球。
選出大紅球中的三個紅球并排列，有 種選法。若大紅球在邊上，在左邊與在
右邊對稱，有兩種排法，緊靠著大紅球的為白球，白球有 個，所以選出與大紅球相
鄰的白球有 種排法，剩下四個球有 種排法，故有 種排法；
若大紅球不在邊上，則與兩個白球相鄰，選出兩個白球排在大紅球的左邊和右邊，
有 種排法，再將大紅球和這兩個白球看成一個整體，與剩下的三個球排有
種排法，故有 種排法。所以有 種排法。因為紅球、
白球都是相同的，所以不同的排法有 種。
25、用紅、黃、綠、藍四種不同顏色給一個正方體的六個面涂色，要求相鄰兩個面
涂不同的顏色，則共有涂色方法（涂色后，任意翻轉正方體，能使正方體各面顏色
一致，我們認為是同一種涂色方法）（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合的應用。用四種顏色涂色，且相鄰的面不同
色，對于正方體的三對面來說，有三對同色或兩對同色，一對不同色這兩種情況，
而且三個對面具有“地位對等性”。因此：①三對同色時：一共有 種不同的
涂法；②兩對同色，一對不同色時：只需從四種顏色中選擇 2種涂在其中兩對面上，
剩下的兩種顏色涂在另外兩個面即可。因此共有 種不同的涂法。
故共有 種不同的涂法。
26、一個盒子內部有如圖所示的六個小格子，現有桔子，蘋果和香蕉各兩個，將這
六個水果隨機地放人這六個格子里，每個格子放一個，放好之后每行、每列的水果
種類各不相同的概率是（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查事件的概率及排列組合。若隨意擺放，則共有
種，其中滿足條件的有 種，所以概率為 。
27、盒子中放有編號為 ， ， ， ， 的形狀和大小完全相同的 個白球和 個黑球，
從其中任意取出 個球，則取出球的編號互不相同的概率為（）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查古典概型和排列組合。任意取出 個球有 種情況。
從 個編號中選取 個編號，有 種情況，由于球色不同共 種情況。
故 。
28、設 ， ，將 中的元素從小到大地排列為： ，
，…，則 _____。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查集合的運算、等差數列、等比數列以及二項式定理。
，
，
當 為偶數時，
此時， ，即 不為偶數；
當 為奇數時， ，
此時， ，即 可以取奇數，所以 ，
所以
29、如果自然數 的各位數字之和等于 ，我們稱 為“吉祥數”。將所有“吉祥數”
從小到大排成一列 ， ， ， ，若 ，則 （ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查排列與組合。
根據題意可知，①一位數的“吉祥數”有： ，共 個；②二位數的“吉祥數”有： ，
， ， ， ， ， ， ，共 個；③三位數的“吉祥數”有：首先構成各位數
和為 的數組有（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），
（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ）；其中（ ，
， ）有一個數滿足條件，（ ， ， ）有四個，（ ， ， ）有四個，（ ， ， ）
有四個，（ ， ， ）有兩個，（ ， ， ）有三個，（ ， ， ）有六個，（ ， ， ）
有六個，（ ， ， ）有三個，（ ， ， ）有三個。共有 個三位的“吉祥數”；
④四位的“吉祥數”中小于 的有：（ ， ， ， ）有三個，（ ， ， ， ）有一
個，（ ， ， ， ）有六個，（ ， ， ， ）有六個，（ ， ， ， ）有六個，（ ，
， ， ）有三個，（ ， ， ， ）有六個，（ ， ， ， ）有三個，（ ， ， ， ）
有三個。共 個；所以小于 的“吉祥數”一共有 ，因此 。
30、定義“規范 數列” 如下： 共有 項，其中 項為 ， 項為 ，對任
意 ， 中 的個數不少于 的個數。若 ，則不同的“規范 數列”
共有（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查計數原理。由題意可知，數列中一共有 個 和 個 ，因為
對任意 ， 中 的個數不少于 的個數，所以采用枚舉法。①數列前
三項分別為 ， ， ，②數列前三項分別為 ， ， ，③數列前三項分別為 ， ， 。
對于①，滿足題意的數列有 ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ；
， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ，共 個。對于②，滿足題意
的數列有 ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ，
， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ，共 個。對于③，
③和②的情況是一樣的，只是前三項的順序不一樣，所以一共也是 個。綜合①②③，
則滿足題意的數列共有 個。
31、設集合 ，那么集合 中滿足條
件“ ”的元素個數為（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查分類加法、分步乘法。因為 ，所以若
只能有三種情況： ，
和 ；
當 時， 只能有一個為 或 ，其他為 ，
此時共有 種情況；當 時， 可
能有兩個為 或 ，或者一個為 ，一個為 ，此時共有
種情況；
當 時， 可能有三個為 或兩個為 ，一個
為 或一個為 ，兩個為 或三個為 ，此時共有 種情
況；綜上，滿足 的元素個數為 。計數原理（理科）講義（教師逐字稿）
課程簡介：即 PPT(第 1 頁)：計數原理是理科高中數學的內容。新高
考之后考察到什么程度暫時還未知。我們先按照當前的情況學習。計
數原理其實不論文科理科我都建議應當有所掌握，對于文科生來說，
遇到計數問題如果永遠靠數數，速度真的是慢了一點。當然這只是個
人建議，文科生不必有壓力，不會也完全可以 。計數原理主要包
括排列組合與二項式定理，內容比較雜，也比較讓人頭疼，難度一般
都不算小。遇到這種地方，我們最擅長的就是抽絲剝繭，但是這里不
會像之前的模塊一樣有多少大招，也不能過度依賴有什么一勞永逸的
辦法，做好這個心理準備就好。
這節課我們學習：1、計數原理的知識樹構建；2、如何運用知識
樹解題。
計數原理屬于 CBA 方法中的 B——branch 類，在高考題目中一般
都會出小題，題目難度中偏難。沒有像之前模塊一樣特別妙的辦法，
需要認真積累經驗，認真刷題。是不是有點心涼，但是別擔心，我們
還是有些方法的，就是你們最喜歡的分類，這里可以大膽使用了。理
科生，讓我們開始今天的學習吧。
PPT(第 2 頁)：先來了解一下計數原理模塊知識的總體特點。
1、原理簡單應用難；2、排列組合題目靠分類搞定；3、二項式背就
好了。
1、計數原理的公式、定理都不難，背一下就會了，甚至像一項
基本技能一樣，其實背過就不會忘。但是大家依然不會解題，因為根
本不知道該用哪個，這里我主要針對的是排列組合。
2、所以，這里提出解決辦法，排列組合題目一定要細致的分類，
搞定它們，千萬不要嫌麻煩。務必區分出各類題目之間細微的區別。
另外，這里跟概率那里有非常多重合的地方，很多同學居然都不知道
誰是誰，就亂寫一氣，只能說明一個問題，欠整理，欠背誦。排列組
合可以說是一種工具，可以在這里用，更可以在概率那里用，但是到
底怎么用，一定要根據題目來定，不是會了 C,會了 A,就可以沖出去
隨便運算了，不能靠你的直覺，當然我相信過去你可能都是靠直覺做
這道題目的，好扎心有木有……今天就要跟著我來把紅豆分到紅豆堆，
綠豆分到綠豆堆里面。
3、二項式定理這里，非常簡單，背好公式，別遺漏就可以了。
PPT(第 3 頁)：計數原理到底怎么考？這里我要先扎心一下，你到底
知不知道什么是排列組合，什么是概率？這個問題看似簡單，有沒有
覺得每次都是揉在一起的……從來沒有區分過它們……。不能因為考
得少就不拿豆包當干糧啊 ，排列組合很委屈。
1、如果是這樣，今天我們就正式區分一下，排列組合講的是如
何“計數”，概率講的是發生的頻率。這里有個先后順序的，先是計
完數，才能再去計算怎么發生對不對？所以！記好了，排列組合這里
只是計算概率的一個工具，而計算概率有計算概率的方法，千萬不要
混在一起。雖然題目經常會把它們混在一起考察，但是！它們是完全
不同的兩個模塊。稍微清晰一點點了嗎？所以，排列組合跟概率一起
考察的時候，簡直就是死亡組合的感覺，有木有？根本原因不是誰有
多難，而是你不知道它們的身份，請把它們分開，不要總是抱在一起。
所以以后再看見題目，先問自己是排列組合問題還是概率問題，如果
是前者，直接用我們今天學習的分類辦法，如果是后者，那就是計數
完了再算概率，而且是運用概率那個模塊的方法。說完這么一大堆，
我的心頭病終于去除了，千萬不要再有人問獨立重復實驗應該怎么用
排列組合了……這個問題，在概率那里我們還會再強調一遍。
2、開始真正的主題，排列組合的問題我們就是細細分類就好，
紅是紅，綠是綠，看準特點，區別記憶。
3、二項式的考察更加簡單，該背的背好就可以了。其實有一個
奇怪現象，這么好背的東西，反而大家都不太熟，因為都不重視。結
果每次算二項式的時候都是心虛得不得了。那就 ps 贈送一句心靈雞
湯：考場上，沒有哪道題目是高貴的，哪道是低賤的，與其苦苦追尋
導數的從 4 到 7 分的過程，還不如把二項式這道填空題 5 分穩穩拿住。
是不是又扎心了，如果沒背熟，那就面壁去背。
PPT(第 4 頁)：好，看一下我們今天的任務。我們這節課就是要構建
出計數原理的知識體系樹，并且看幾道利用知識樹來解決的經典例題。
PPT(第 5 頁)：先來把知識樹構建好吧。Let’s go！
PPT(第 6 頁)：這是計數原理的知識樹總體概圖。總體就是要再強調
一下，跟概率不是一個模塊，不要混淆。學習順序先來了解 2 個基本
的計數原理，分類和分步。基于這 2 個原理的基礎上，我們真正接觸
排列與組合。都是分別學習概念，然后細細將題目分類，找到每一類
題目的解法。第三部分是二項式定理，相對比較獨立，主要學習二項
式的通項公式，還有二項式系數的性質。
PPT(第 7 頁)：首先，我們先把 2 個計數原理搞清楚。分類用加法，
完成一件事……（學霸可以照讀一遍），分步用乘法（學霸照讀一遍）。
這兩種是我們學習排列組合的基礎，一定要先明確。所有題目無非就
是分類，分步，先分類再分步，先分步再分類。都是按照這 4 個類型
解題的。這里搞清楚，就避免經常問“這里為什么用加法？這里為什
么用乘法？” 為什么用？其實原理早就學過了，只是大家都忘了。
學習這一模塊，最怕的就是不知其所以然，上來就想直接總結題型做
題，不知道這根本的原理，做題分類也分不對。
PPT(第 8 頁)：接下來，正式進入排列組合。排列就是 A,具體定義我
們不多講（如果學生需要，學霸可以照讀一下），運算公式也非常清
晰，直接看圖就好，而且我想這里你已經會了。組合就是我們常說的
C,掌握好它與排列的計算區別即可。我們從概念上要再次區分一下排
列和組合。排列是指抽出元素之后要按照一定順序排一列，而組合是
抽出元素作為一個組即可，不排順序。這個區別務必要清晰。
PPT(第 9 頁)：概念掌握以后，有的同學就開始出去做題了，做兩道
就碰壁了。因為實在不知道怎么用排列，怎么用組合，這的確是非常
頭疼的事情。我們這里就把排列組合的問題大致分為 6 類，讓我們看
看每一類怎么解決。
1、特定元素與特殊位置問題。這類問題遵循先特殊后普通的原
則。如果有特殊位置，就先照顧特殊位置，由最特殊的位置開始放數，
依次進行排放，最后再考慮一般位置的數字安排。如果是特殊元素，
那么先考慮擺放有特殊要求的元素，再依次考慮其他元素，直至一般
元素的排放。還有一種情況，就是特殊的情況太多了，這時采取正難
則反原則，先就沒有特殊條件時進行安排，再考慮特殊條件的對立面
進行排列，兩者做差即為所求。
2、相鄰問題。相鄰問題是比較常見的，某些元素要求安排在一
起的時候，使用捆綁法，先將要求相鄰的元素綁在一起，視為 1 個元
素，再與其他元素排列。
3、不相鄰問題。題目如果要求某些元素不能相鄰，采取插空法。
先安排其他元素，然后將特殊元素插入空隙當中解決問題。
4、定序問題。題目要求某些元素順序固定。這時先不考慮定序
求出 n 個元素的排列數 ，再就定序的 m 個元素排列，有 種情況，
那么符合條件的排列共有 種。
5、分堆問題。也就是有限制條件的組合問題。題目要求將若干
不同的元素分成若干不計順序的幾堆時，有時存在元素相同的若干堆，
要注意除去這些堆交換順序帶來的重復計算問題。注意不重，不漏。
6、分組與分配問題。把 n 個不同元素按照某些條件分配給 k 個
不同的對象，如果是分為 k 組，則成為分組問題。這是兩種不同的概
念。而我們見到的題目經常是分組與分配結合在一起的問題。那么要
遵循先分組再分配的順序。
這里介紹得有點抽象，一會兒我們多選取幾道例題講解。
PPT(第 10 頁)：最后我們看一下二項式定理。這里只要把公式及其用
法記好就 ok 了。首先二項式定理公式（學霸可以照讀一遍），其中展
開式共有 n+1 項。要注意二項式系數是 ， ， ， …… ，而
二項式系數與這一項的系數是不同的，某一項的最終系數可能還要乘
上原本各項自帶的系數。
二項展開式中的第 r+1 項為 T n-rbr，這就叫做二項展開式 r+1= a
的通項公式。通項公式的特點（學霸可以照圖中讀一下）。
二項式系數的性質這里，第（3）和（4）比較常考。二項式的
冪指數 n 如果是偶數，那么展開式中間一項的二項式系數最大，如果
n 為奇數，那么展開式中間兩項的系數相等且最大。（a+b）n 的二項式
系數的和等于 2n，奇數項和偶數項的二項式系數和相等，都等于 2n-1。
繼續拓展一下，對于 g（x）=（a+bx）n，展開式的各項系數和為 g（1），
奇數項的系數和為 [g（1）+g（-1）]，偶數項的系數和為
[g（1）-g（-1）]。這個小結論記住即可。
最后說一個常考的小題型。求（a+b）m（c+d）n 的展開式中特定
項的系數。這時需要先分析特定項可由（a+b）m 和（c+d）n 的展開式
中的哪些項相乘得到。把相乘后的項系數相加，即為特定項系數。
PPT(第 11 頁)：好了，到這里我的計數原理知識樹就成型了。這里你
認為已經非常熟悉的概念、公式可以刪去，最重要的其實就是排列組
合的 6 種分類，需要從題目中好好感覺一下。（ppt 不清晰，可以下
載原圖查看）
PPT(第 12 頁)：OK,計數原理知識樹全部構建結束。讓我們來一起看
一下如何運用知識樹來解題吧（務必看視頻，學霸不必過多講解）。
PPT(第 13-14 頁)：第 1 題和答案。
PPT(第 15-16 頁)：第 2 題和答案。
PPT(第 17-18 頁)：第 3 題和答案。
PPT(第 19-20 頁)：第 4 題和答案。
PPT(第 21-22 頁)：第 5 題和答案。
PPT(第 23 頁)：回顧落實。看完視頻題目后，有沒有學會如何運用知
識樹來解題？我們再次總結一下知識樹的要點吧。
PPT(第 24 頁)：總結這里還是再次強調，這是排列組合，是計數用的，
不是求概率的方法。做這類題目，公式大家都會被，就看能不能靜下
心來分類，區別每一類題目。我們主要學了一下三大方面（學霸可以
照讀一下，讓學生回憶一下剛才學過的內容）。
PPT(第 25 頁)：課后作業布置，請完成我們為你準備的經典習題。
PPT(第 26 頁)：本次課程結束，我們下次見。

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