資源簡介

圓錐曲線（三）綜合類大題作業(yè)題
作業(yè)題目難度分為 3檔：三星☆☆☆（基礎(chǔ)題目）
四星☆☆☆☆（中等題目）
五星☆☆☆☆☆（較難題目）
終于來到了我們的地獄模塊，這里說明一下，圓錐曲線僅僅靠這些作業(yè)題是絕對(duì)
不夠的，在上課與作業(yè)之間，可能你還需要有人帶著你做題做一段時(shí)間才可以。
今天的作業(yè)比較痛苦了，提示一下，分?jǐn)?shù)過低的同學(xué)不建議來做圓錐曲線了，先
去把 CB 類學(xué)好，不然這里只是徒增煩惱。最適合的其實(shí)是 120+的同學(xué)，低于 120
的可以做做四星題。本套沒有三星基礎(chǔ)題目。另外，作業(yè)這里沒有明顯的類型界
限，會(huì)混合到一起，也是希望你能淡化類型，真正靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)。
90—120 分同學(xué)請(qǐng)選取 1-10,12,14,15。
120+以上同學(xué)請(qǐng)全做。
本套作業(yè)題目 1-9 題為四星，10-19 題為五星。
1、已知橢圓 （ ）經(jīng)過點(diǎn) ，離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為
， 。
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線 與橢圓交于 、 兩點(diǎn)，與以 為直徑的圓交于 、
兩點(diǎn)，且滿足 ，求直線 的方程。 ☆☆☆☆
答案與解析：（Ⅰ）由題設(shè)知 解得 ， ， ，所以橢圓的方
程為 。
（Ⅱ）由題設(shè)，以 為直徑的圓的方程為 ，所以圓心到直線 的距離
，由 得 。所以 。
設(shè) ， ，由 得 。
由求根公式可得 ， 。所以
，由 得 ，
解得 ，滿足 。所以直線 的方程為 或 。
2、直角坐標(biāo)系 中，直線 ： （ ）交 軸于點(diǎn) ，交拋物線 ： （ ）
于點(diǎn) ， 關(guān)于點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)為 ，連接 并延長交 于點(diǎn) 。
（1）求 ；
（2）除 以外，直線 與 是否有其他公共點(diǎn)？說明理由。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）根據(jù)題意有， ，當(dāng) 代入拋物線方程 中，解得 ，
所以 ，所以 ，所以直線 方程為 ，與拋物線聯(lián)立： ，
得到 ，解得 ， ，所以 ，所以 ；
（2）直線 的方程為： ，即 ，即 ，代入
得 ，解得 ，即直線 與 只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以除 以
外直線 與 沒有其它公共點(diǎn)。
3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，已知橢圓 （ ）的離心率為 ，
且右焦點(diǎn) 到左準(zhǔn)線 的距離為 。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過 的直線與橢圓交于 ， 兩點(diǎn)，線段 的垂直平分線分別交直線 和 于
點(diǎn) ， ，若 ，求直線 的方程。 ☆☆☆☆
答案與解析：對(duì)于全國卷考生來說，本題準(zhǔn)線的內(nèi)容超綱了，可以當(dāng)準(zhǔn)線為已知條
件，L方程為 x= -a2/c,然后繼續(xù)計(jì)算。
（1）因?yàn)殡x心率 ，右焦點(diǎn) 到左準(zhǔn)線 的距離為 ，解得 ，
， ，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
（2）當(dāng) 軸時(shí)， ，又 ，不符合題意，故直線斜率存在。根據(jù)題
意直線 的斜率不可能為 ，故可設(shè)直線 方程為 ，代入橢圓方程得到
。設(shè) ， ，則
，則 點(diǎn)縱坐標(biāo)為 ，
于是 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，又由 得 ，所以
。由 可得
，即 ，解得 ，即 ，
。所以直線 的方程為 或 ，即 或 。
4、已知橢圓 ： 的左焦點(diǎn)為 ，離心率為 。
（Ⅰ）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為直線 上一點(diǎn)，過 作 的垂線交橢圓于 、 。
當(dāng)四邊形 是平行四邊形時(shí)，求四邊形 的面積。 ☆☆☆☆
答案與解析：（Ⅰ）由已知可得， ， ，所以 。又由 ，解
得 ，所以橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。
（Ⅱ）設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，則直線 的斜率 。當(dāng) 時(shí)，
直線 的斜率 ，直線 的方程是 。當(dāng) 時(shí)，直線 的方程
是 ，也符合 的形式。設(shè) ， ，將直線 的方程與橢
圓 的方程聯(lián)立，得 。消去 ，得 。
其判別式 ，所以 ， ，
。因?yàn)樗倪呅?是平行四邊形，所以 ，
即 。所以 ，解得 。
此時(shí)，四邊形 的面積
。
5、已知橢圓 ： （ ）的長軸長為 ，且點(diǎn) 在 上。
（1）證明： 的短軸上的頂點(diǎn)在曲線 上。
（2）直線 過 的左焦點(diǎn)且與 交于 ， 兩點(diǎn)，若 ，求 的
方程。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）因?yàn)闄E圓 ： （ ）的長軸長為 ，故 ，因
為點(diǎn) 在 上，代入橢圓方程得 ，即 ，解得 ，
所以 的短軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，又將點(diǎn) 代入曲線 ，等式成立，
故 的短軸上的頂點(diǎn)在曲線 上。
（2）由（1）可知，橢圓方程為 ， ，故 的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)
為 。當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)， 的方程為 ，代入橢圓方程得
，故 ，不符合題意；
當(dāng)直線 的斜率為 時(shí)， ，不符合題意；
所以直線 的斜率存在且不為 ，設(shè)直線 的方程為 （ ），代入橢圓方
程得 ，整理得 ，
故 ， ， ，
所以 ，
整理得 ，即 ，故 ，即 ，
所以直線 的方程為 。
6、給定拋物線 ， 是拋物線 的焦點(diǎn)，過點(diǎn) 的直線 與 相交于 、 兩
點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)。
（1）設(shè) 的斜率為 1，求以 為直徑的圓的方程；
（2）設(shè) ，求直線 的方程。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）因?yàn)?，所以 ，又因?yàn)橹本€ 的斜率為 1，所以直線 的
方程為： ，代入 ，得： ，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
，易得 中點(diǎn)即圓心的坐標(biāo)為 ，又 ，所以 ，
求的圓的方程為： ；
（2）直線 的斜率不存在，則 ，不滿足題意，故直線 的斜率存在。
因?yàn)?，所以 ，而 ， ，
設(shè)直線 的斜率為 ，則直線 的方程為： ，代入 ，
得： ，由根與系數(shù)的關(guān)系得： ，
因?yàn)?，解得 或 ，所以 ，
則直線 的方程為：
7、已知拋物線 的焦點(diǎn)為 ，直線 過點(diǎn) 。
（Ⅰ）若點(diǎn) 到直線 的距離為 ，求直線 的斜率；
（Ⅱ）設(shè) 為拋物線上兩點(diǎn)，且 不與 軸重合，若線段 的垂直平分線恰過點(diǎn)
，求證：線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值。 ☆☆☆☆
答案與解析：（Ⅰ）由已知， 不合題意。設(shè)直線 的方程為 ，由已知，
拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，因?yàn)辄c(diǎn) 到直線 的距離為 ，所以 ，
解得 ，所以直線 的斜率為 。
（Ⅱ）設(shè)線段 中點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ，因?yàn)?不垂直于 軸，
則直線 的斜率為 ，直線 的斜率為 ，直線 的方程為
， 聯(lián)立方程 ，消去 得
，所以 。因?yàn)?為 中點(diǎn)，所以
，即 ，所以 。即線段 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值 。
8、已知橢圓 的離心率為 ，兩焦點(diǎn)之間的距離為 。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的右頂點(diǎn)作直線 交拋物線 于 、 兩點(diǎn)。
①求證： ；
②設(shè) 、 分別與橢圓相交于點(diǎn) 、 ，過原點(diǎn) 作直線 的垂線 ，垂足為 ，
證明： 為定值。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）由 ，得 ，故 。所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
（2）①設(shè)過橢圓的右頂點(diǎn) 的直線 的方程為 。代入拋物線 ，
得 。設(shè) 、 ，則 。
所以 。
所以 。
②設(shè) 、 ，直線 的方程為 ，代入 ，
得 。于是 ， 。
從而 。因?yàn)?，所以 。
代入，整理得 。所以原點(diǎn)到直線 的距離 為定值。
9、橢圓 ： （ ）的離心率為 ， 為 的長軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
過 點(diǎn)斜率為 的直線 交 于 、 兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， 。
（1）求 的方程；
（2）證明： 為定值。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）因?yàn)殡x心率為 ，所以 ，當(dāng) 時(shí)， 的方程為 ，
代入 并整理得 ，設(shè) ，則 ，
，又因?yàn)?，所以 ， ，
橢圓 的方程為 。
（2） 的方程為 ，代入 并整理得 ，
設(shè) ， ，則 ，同理 ，
則 ，
所以， 是定值。
10、已知拋物線 ： （ ）的焦點(diǎn)為 ， 為拋物線 上異于原點(diǎn)的任意
一點(diǎn)，過點(diǎn) 的直線 交拋物線 于另一點(diǎn) ，交 軸的正半軸于點(diǎn) ，且有 。
當(dāng)點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 時(shí)， 為正三角形。
（1）求拋物線 的方程。
（2）若直線 ，且 和拋物線 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) ，試問直線 是否過定點(diǎn)，
若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）依題意有拋物線 的焦點(diǎn) 坐標(biāo)為 （ ），設(shè)點(diǎn) （ ），
得 中點(diǎn)坐標(biāo)為 ，又 ，根據(jù)拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于該點(diǎn)
到準(zhǔn)線的距離，得 ，解得 或 （舍），又 中點(diǎn)坐標(biāo)
即為 的橫坐標(biāo)，有 ，代入 解得 ，
所以拋物線 的方程為 。
（2）拋物線焦點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn) （ ）， （ ），由
可得 ，當(dāng) 時(shí)，得 ，不符題意，所以 ，即
，所以 ，設(shè)直線 斜率為 ，則 ，又直線 ，
則設(shè)直線 方程為 ，聯(lián)立 ，得 ，因?yàn)?br/>與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則 ，得 ，設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，
則代入方程可得 ， ，當(dāng) 時(shí)，直線 的斜率
，則直線 的方程為 ，代入 到
方程，整理得 ，則直線 恒過定點(diǎn) ，即焦點(diǎn) ，當(dāng) 時(shí)，
直線 方程為 ，過點(diǎn) 。所以直線 恒過定點(diǎn) 。
11、橢圓 ： （ ， ）的長軸長等于圓 ： 的直徑，
且 的離心率等于 。直線 和 是過點(diǎn) 互相垂直的兩條直線， 交 于 ， 兩
點(diǎn)， 交 于 ， 兩點(diǎn)。
（1）求 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)四邊形 的面積為 時(shí)，求直線 的斜率 （ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）由題意， ，所以 。 因?yàn)?，所以 。所以
。所以 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。
（2）①設(shè) ： ，則 ： 。因?yàn)?交 于 ， 兩點(diǎn)，聯(lián)立
方程組得 ，整理得 。所以
， 所以 。
設(shè)圓心 到直線 ： 的距離是 ，所以 ，
， 因?yàn)?，所以 。
由題意可 ，解得 或 。因?yàn)?，所以 。
12、已知橢圓 ： （ ）的長軸長為 ，點(diǎn) ， ， 在橢圓 上，
其中點(diǎn) 是橢圓 的右頂點(diǎn)，直線 過原點(diǎn) ，點(diǎn) 在第一象限，且 ，
。
（1）求橢圓 的方程；
（2）與 軸不垂直的直線 與圓 相切，且與橢圓 交于兩個(gè)不同的點(diǎn) ， ，
求 的面積的取值范圍。
☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）因?yàn)闄E圓 的長軸長為 ，所以 。因?yàn)橹本€ 過原點(diǎn) ，
在第一象限，且 （ 、 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），所以 。
因?yàn)?，由余弦定理： ，
得： ，如圖， ，且 為等腰三角形，
所以 ， ，所以 ，將點(diǎn) 坐標(biāo)代入橢圓 的方程得：
， 。所以，橢圓 的方程為： 。
（2）如圖，設(shè) ， ，設(shè)直線 的方程為 ，
由方程組 得： ，所以 ，
，則
，
化簡得： 。因?yàn)橹本€ 與圓 相切，
所以 ，即 ，所以 ，
。 令 ， ，
，因?yàn)?，所以 ，所以 。
13、已知橢圓 ，經(jīng)過點(diǎn) ， 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，
且 ， 為橢圓 的中心。
（1）求橢圓 的方程；
（2）設(shè) 是橢圓 上不同的兩點(diǎn)，且 為 的重心，試求 的面積。
☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）由橢圓的定義知 ，所以 ，橢圓 的方程為 ，
代入點(diǎn) ，求得 ，故橢圓 。
（2）若 點(diǎn)為 的重心，設(shè) 的中點(diǎn)為 ，則 ，則 ，
顯然直線 的斜率存在，不妨設(shè)為 ，聯(lián)立 消去 得：
，點(diǎn) 在橢圓內(nèi)， 恒成立，
設(shè) ，則由 式 ，
則 ，所以 ，即 式化簡為 ，所以
或 ，不妨 ，由橢圓對(duì)稱性知 。
14、已知曲線 ： （ ）所圍成的菱形的面積為 ，且它的
內(nèi)切圓半徑為 ，記 為以曲線 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓。
（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè) 是過橢圓 中心的任意弦，是線段 的垂直平分線。若 是 與橢圓 的
交點(diǎn)，求 的面積的最小值。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）當(dāng) ， 時(shí)， 為 ，與坐標(biāo)軸圍成的
三角形的面積為 ；曲線 內(nèi)切圓的半徑為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線 的距離。
根據(jù)題意得： ，解得： ， 。所以，橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。
（2）假設(shè)直線 所在的直線斜率存在且不為零，因?yàn)?是過橢圓 中心，則設(shè)直
線 的方程為 （ ）， ，則其垂直平分線的方程為 。
，解得： ， ， ，解得： ，
， ， ，
。
。
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí) 的面積的最小值為 。
當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 不存在時(shí)， 。
綜上所述， 的面積的最小值為 。
15、設(shè)橢圓 ： （ ）的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，過 的直線
交橢圓于 ， 兩點(diǎn)，若橢圓 的離心率為 ， 的周長為 。
（1）求橢圓 的方程。
（2）設(shè)不經(jīng)過橢圓中心而平行于弦 的直線交橢圓 于 ， ，設(shè)弦 ， 的中
點(diǎn)分別為 ， ，證明： ， ， 三點(diǎn)共線。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）由題意知可設(shè) ， ， 。由橢圓 的離心率為 知
，由于直線 經(jīng)過點(diǎn) ，則 的周長為：
。
由題意知 的周長為 ，則 ， 。故 。
則橢圓 的方程為 。
（2）①當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)， 軸。則 軸，由橢圓的對(duì)稱性知弦
中點(diǎn) 與弦 中點(diǎn) 均在 軸上，此時(shí) ， ， 三點(diǎn)共線。
②當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線 的方程為 。由 存在知
。聯(lián)立 得 ，設(shè) ， ，
則 ， 。則 。
而 ， 為弦 中點(diǎn)，則 。由題意可設(shè)直線 ：
，其中 且 。聯(lián)立 得
，若弦 存在，則方程
存在兩不等實(shí)根，故
，解得 。設(shè) ， 。則 ，
。則 。而 ， 為
弦 中點(diǎn)，則 。
則直線 的方程可寫作 ，整理得
。令 ，則 ，即原點(diǎn) 在直線 上。即此時(shí) ， ，
三點(diǎn)共線。
綜上所述， ， ， 三點(diǎn)共線。
16、設(shè)橢圓 ： （ ）的離心率為 ，橢圓 上一點(diǎn) 到左右
兩個(gè)焦點(diǎn) ， 的距離之和是 。
（1）求橢圓 的方程。
（2）已知過 的直線與橢圓 交于 ， 兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若
，求四邊形 面積的最大值。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）根據(jù)題意可得， ， ，解得 ， ， ，
所以橢圓 的方程為 。
（2）如圖，過點(diǎn) 作 垂線，垂足為 ，因?yàn)?，所以四邊形
是平行四邊形，則 ，因?yàn)橹本€ 過點(diǎn) ，
所以設(shè)直線 為 ， ，聯(lián)立直線 與橢圓 的方程，
得 ，整理得 ，
解得 ， ，故
，
，
令 ，令 ， ，則
，即 在 上單調(diào)遞增，故當(dāng)直線 為
時(shí)， 為最大值，此時(shí) ， ，所以四邊形 面積
的最大值為 。
17、如圖，在平面直角坐標(biāo)系 中，橢圓 （ ）的離心率為 ，
過橢圓右焦點(diǎn) 作兩條互相垂直的弦 與 。當(dāng)直線 的斜率為 時(shí)，
。
（1）求橢圓的方程。
（2）求 的取值范圍。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）由題知 ，所以 ， ，所以 ，
當(dāng)直線 的斜率為 時(shí)， ，所以 ，設(shè)點(diǎn) 坐標(biāo)為 ，則
， ，所以 ，即 ，
解得 ， ， ，所以橢圓的方程為 。
（2）①當(dāng)兩直線 與 中有一條直線斜率為 ，另一條斜率不存在時(shí)，由題意可
知此時(shí) 。②當(dāng)兩直線斜率均存在，且均不為 時(shí)，設(shè)點(diǎn) 、 的坐標(biāo)分
別為： ， ，設(shè)直線 的方程為 ，則直線 的方程為
，將直線 的方程代入橢圓方程，整理得：
，解得 ， ，
，同理可得， ，
所以 ，令 （ ），
則 ， ， ，
令 ， ，則 ， ，
所以當(dāng) 時(shí)， 有最大值： ，且有最小值
（取不到），故 ，所以
。
綜上所述， 的取值范圍為 。
18、已知橢圓 （ ）經(jīng)過點(diǎn) ，離心率為 ，且 、 分別為
橢圓的左、右焦點(diǎn)。
（1）求橢圓 的方程；
（2）過點(diǎn) 作斜率為 （ ）的直線 ，交橢圓 于 、 兩點(diǎn)， 為 中
點(diǎn)，請(qǐng)說明存在實(shí)數(shù) ，使得以 為直徑的圓經(jīng)過 點(diǎn)（不要求求出實(shí)數(shù) ）。
☆☆☆☆☆
答案與解析：1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn) ，離心率為 ，所以 ，解得 ，
， ，所以 的方程為 。
（2）設(shè) ， ，線段 的中點(diǎn) ，由題意可得直線 的方程為：
，且 ，聯(lián)立 ，化為 ，
，由 ，
可得 ，且 ，所以 ， ，
所以 ， ，假設(shè)存在實(shí)數(shù) ，使得 為
直徑的圓過 點(diǎn)，即 ，則 ，因?yàn)?br/>， ，
所以 ，化為 ，設(shè) ，則 ，
，所以該方程有兩根 、 ，又因?yàn)?，所以存在
一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根，不妨設(shè) ，發(fā)現(xiàn) ，所以 ，這
樣實(shí)數(shù) 存在，即存在實(shí)數(shù) ，使得以 為直徑的圓過 點(diǎn)。
19、已知橢圓 ： （ ）的左、右焦點(diǎn)分別為 ， ，離心率為 ，
點(diǎn) 在橢圓 上， ， ，過 與坐標(biāo)軸不垂直的直線 與橢圓 交
于 ， 兩點(diǎn)。
（1）求橢圓 的方程。
（2）若 ， 的中點(diǎn)為 ，在線段 上是否存在點(diǎn) ，使得 ？若存在，
求實(shí)數(shù) 的取值范圍；若不存在，說明理由。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）由題意知點(diǎn) 在橢圓 ： 上，則 。
而 ，則 ，故 ，解得 。由于橢圓離心率為 ，設(shè)其
焦距為 （ ），則 。故 。在 中， ，
由余弦定理知： ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 。故 ，
則 。故橢圓 的方程為 。
（2）存在滿足要求的點(diǎn) ，實(shí)數(shù) 的取值范圍求解如下：由（1）知 ，若直
線 過 與坐標(biāo)軸不垂直，則可設(shè) 的方程為 ， 。聯(lián)立 得
，整理得 。
設(shè) ， ，由于點(diǎn) ， 為直線 與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn) 在橢圓 內(nèi)
部，即直線 與橢圓 必有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)。故方程 的
兩個(gè)實(shí)根即為 ， 。由韋達(dá)定理知 ， 。
則 。
則線段 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 即 。
若 ，則 ，而 ，
則 ，整理得 。而 ，則 。
而 ，則 。故 。
即滿足題意的實(shí)數(shù) 的取值范圍為： 。圓錐曲線（三）綜合類大題講義（教師逐字稿）
PPT(第 1 頁)：圓錐曲線雖然分為多節(jié)課程，但是非常建議你從頭學(xué)
起，因?yàn)槊恳还?jié)都有非常重要的干貨，哪怕第一節(jié)題目簡單，但是也
有很多思路問題需要捋順清楚，所以這是一套完整的體系，希望你不
要僅僅抽取其中幾節(jié)來聽。今天是第三節(jié)，開始最讓人頭疼的綜合類
大題，就是高考的第 20 題。不知道你遇到大題是不是第一問選手。
第一問就相當(dāng)于我們第一節(jié)講的定義類小題，基本就是求出曲線方程
就可以。第二問就開始各種綜合知識(shí)全上了，很頭大，還有很大的計(jì)
算量，一直都是噩夢(mèng)一樣的存在。今天開始我們就進(jìn)入大題的學(xué)習(xí)階
段，這里開始要進(jìn)入題型的分類，其實(shí)我并不是非常建議把題型分得
太細(xì)，如果你知道了與以往知識(shí)點(diǎn)結(jié)合之處都應(yīng)該怎么處理，就是 B
類的知識(shí)可以靈活使用，做題時(shí)候完全可以不用理會(huì)題型。因此在今
天的例題講解過程中，除非是題型特點(diǎn)特別明顯的，否則我都會(huì)盡量
弱化題型這個(gè)概念，還是希望你能融會(huì)貫通地解決問題。而不是去背
誦什么解題步驟。最后希望你能忘記題型的存在，完全靈活組合來解
題。當(dāng)然這是對(duì)題型特點(diǎn)不明顯的題目來說，如果有明顯的特殊解決
辦法的，還是要記憶一下特殊方法。
今天的學(xué)習(xí)模式依然沿用圓錐曲線（二），在簡單分析解題思路以后
馬上進(jìn)行例題學(xué)習(xí)，深入了解如何解題。
PPT(第 2 頁)：這節(jié)課的意識(shí)流問題在上節(jié)課已經(jīng)學(xué)過，綜合類大題
與綜合類小題已經(jīng)非常類似，只是可能解題思路步驟更多一點(diǎn)，更交
錯(cuò)復(fù)雜一點(diǎn)，條件隱藏得更深一點(diǎn)。總的來說還是如何從①走到⑤。
（下面的內(nèi)容上節(jié)課已經(jīng)講過，學(xué)霸簡單帶學(xué)生回憶一下即可）嘗試
著挑能看懂的條件解兩下，一般能解決到第②步，這時(shí)候，基本都停
住了腳步，而且腦中一片空白，看前面也是白茫茫的一片……不知道
自己該干什么了……這道題就結(jié)束了……形象吧？哈哈哈。那我們來
說解決方案，你站在②那里不知道怎么辦的時(shí)候，要從問題入手！直
接有問題去推第⑤步思路，為了得到這個(gè)結(jié)果，我需要怎么做，一般
這個(gè)不是很難，那么為了得到④我又需要怎么做，這樣就也走到那個(gè)
禁區(qū)邊上了。這時(shí)候②和④隔岸相望，基本就能看清楚位置了，我們
這樣把中間的③補(bǔ)上，想想②接下來還能推出什么，要得到④還需要
什么并且是②能推出來的，這樣就把③搞出來了。這就是我們對(duì)這種
問題的抽象解決思路。
PPT(第 3 頁)：我們今天的內(nèi)容依然會(huì)梳理每種類型題目的思路，然
后緊跟著就聽這個(gè)方法是如何解題的，這樣會(huì)讓你有非常直觀的感
受。
PPT(第 4 頁)：解題總思路我們確定了以后，就來看看所謂的綜合類
大題到底都考什么吧。之前一直在強(qiáng)調(diào)，圓錐曲線的大題難就難在綜
合，到底綜合了什么呢？主要有 2 個(gè)特點(diǎn)。
1、綜合類大題其實(shí)就是我們之前學(xué)的綜合類小題的加強(qiáng)版，小
題里面與以往知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的地方，大題里就更是有，只多不少。所以
上節(jié)課總結(jié)的那些結(jié)合之處，大題里還會(huì)出現(xiàn)。另外，今天我們還要
補(bǔ)充一些大題特別常用的以往知識(shí)結(jié)合點(diǎn)。
2、大題只要是涉及到直線和曲線同時(shí)存在的問題。既然大題麻
煩這么多，我們還是不能免俗，也要按照常規(guī)的講法分一下類型。但
是我們并不是為了強(qiáng)硬地總結(jié)各種類型問題的套路，也沒有具體的套
路。我們只是把每類問題中最顯著的、最有代表性的解決辦法講解一
下，最后希望你還是能夠弱化這些所謂的題型，可以靈活解決問題。
還是回歸到特點(diǎn)，只要知道結(jié)合的各種知識(shí)都怎么應(yīng)用，其實(shí)怎么組
合出題都可以。我們還是按照常規(guī)方法分為 8 類。
今天主要講解前 4 類。
PPT(第 5 頁)：今天我們就先把需要補(bǔ)充的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)補(bǔ)充好，然后
就開始把直線與圓錐曲線的前 4 類題目搞清楚。
PPT(第 6 頁)：工欲善其事必先利其器，先把最后要補(bǔ)充的知識(shí)點(diǎn)都
補(bǔ)上吧。上節(jié)課講的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)在大題里依然也是重點(diǎn)，大題還有一
些特別常用的，我們補(bǔ)充上。
第一個(gè)就是與函數(shù)和不等式知識(shí)結(jié)合。在求一些最值時(shí)，就可以
設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)為（x，y），然后利用曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或題目中其他條
件把 y 換為 x 的表達(dá)，這時(shí)候要求的某些量就可能變?yōu)槎魏瘮?shù)求最
值問題，或者可以利用基本不等式求最值了。這個(gè)屬于直線與圓錐曲
線中一類題目，求最值與范圍問題，所以才會(huì)涉及到不等式和函數(shù)。
今天暫時(shí)還講不到，我們先把知識(shí)點(diǎn)補(bǔ)充進(jìn)來。
第二個(gè)不是特別常見，我們會(huì)遇到圓錐曲線和圓結(jié)合的問題，
有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)圓的切線問題，這個(gè)在 B 類直線和圓里面我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)
過，那里要為這里的圓錐曲線服務(wù)，因此知識(shí)點(diǎn)都要記牢固，如何求
過圓上一點(diǎn)的切線方程，就是 A 類題目里經(jīng)常出現(xiàn)的，公式我們?cè)購?qiáng)
化記憶一下。
第三個(gè)就是你們最喜歡用的了，直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，
然后利用韋達(dá)定理和弦長公式來解題。幾乎 80%的圓錐曲線大題都會(huì)
用到這個(gè)知識(shí)，但是希望你們不是練得只會(huì)用這么一個(gè)辦法，或者說
不分析題目就直接來聯(lián)立，這是不可取的，也是你們經(jīng)常只能拿第一
問分?jǐn)?shù)的原因，第二問上來就聯(lián)立，然后就聽天由命，當(dāng)然命運(yùn)不會(huì)
總是眷顧你啦。
PPT(第 7 頁)：知識(shí)點(diǎn)都補(bǔ)充完畢，我們就來分類型解決綜合類大題
了。今天我們主要講前 4 類。
1、直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題；2、弦長與面積問題；3、焦點(diǎn)弦
相關(guān)問題；4、恒成立問題。
還是強(qiáng)調(diào)一遍，這個(gè)分類不是目的，也不必強(qiáng)迫自己記住各個(gè)類型，
靈活運(yùn)用各種結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)才是目的。
PPT(第 8 頁)：讓我們先來看位置關(guān)系類。直線與圓錐曲線的位置關(guān)
系不能簡單地分為相交、相切和相離。我們按照交點(diǎn)個(gè)數(shù)來分類。比
較簡單的是有 0 個(gè)交點(diǎn)和 2 個(gè)交點(diǎn)的情況。0 個(gè)交點(diǎn)就是相離，2 個(gè)
交點(diǎn)就是正常的相交。而 1 個(gè)交點(diǎn)的情況比較復(fù)雜一點(diǎn)。對(duì)橢圓來說，
直線與橢圓有 1 個(gè)交點(diǎn)那就是相切，而對(duì)于雙曲線和拋物線來說，除
了相切，雙曲線還可以是直線與漸近線平行，拋物線還可以是直線與
拋物線的軸平行。所以解題思路也就隨之而來了。對(duì)于橢圓來說，直
線與曲線的相切、相交、相離三種關(guān)系完全可以用代數(shù)方法解決，就
是聯(lián)立之后討論△的正負(fù)。而雙曲線和拋物線，就要代數(shù)和幾何方法
一起考慮，尤其是直線與曲線只有 1 個(gè)交點(diǎn)的時(shí)候，只是聯(lián)立讓△=0
是不夠的，還要考慮剛剛說過的特殊情況。
PPT(第 9-10 頁)：第 1 道例題。位置關(guān)系例題。
PPT(第 11 頁)：第二類，弦長與面積類。弦長我們剛剛已經(jīng)總結(jié)過了，
就是聯(lián)立之后直接利用弦長公式即可。面積這里我們?cè)趫A錐曲線內(nèi)經(jīng)
常需要求面積的也就是橢圓和拋物線。形狀基本就是三角形和四邊
形。具體求法圖中都列出來了。三角形面積無非就是初中的 底乘高，
或者是我們高中階段學(xué)習(xí)的正弦定理，S= absinC。在拋物線中經(jīng)常
遇到求四邊形面積的情況，公式就跟圖里一樣，如果夾角為 90°時(shí)，
面積公式就更加簡潔。
PPT(第 12-13 頁)：第 2 道例題。弦長與面積類例題。
PPT(第 14 頁)：第三類就是焦點(diǎn)弦問題。這類問題我認(rèn)為類型感就不
強(qiáng)了，可以不必非要把它當(dāng)成一種特殊類型。這類題目一般都是直線
過焦點(diǎn)，所以在設(shè)直線的時(shí)候只有 k 是未知數(shù)，再根據(jù)條件進(jìn)行解題，
聯(lián)立，最終把 k 求出來，有時(shí)也可能按要求解出其他量。這個(gè)不多說，
我們直接看例題吧。
PPT(第 15-16 頁)：第 3 道例題。焦點(diǎn)弦問題。
PPT(第 17 頁)：第 4 個(gè)類型就是恒成立問題。這就更不是圓錐曲線才
獨(dú)有的東西了。函數(shù)、邏輯里面我們都見過好多次了。在圓錐曲線這
里，恒成立問題不是問一個(gè)不等式恒成立，然后求參數(shù)范圍，而是要
證明某些量的和、乘積為定值，這種情況只要按照要求表示出相關(guān)的
量，找到里面參數(shù)的關(guān)系，基本就能證明出結(jié)論。
PPT(第 18-19 頁)：第 4 道例題。恒成立問題。
PPT(第 20 頁)：讓我們?cè)賮砜匆幌陆裉熘R(shí)樹的總圖。有一個(gè)整體的
感覺。
PPT(第 21 頁)：再次總結(jié)一下要點(diǎn)。綜合類大題分類并不是重點(diǎn)，也
不是我們的目的，我們依然要側(cè)重知識(shí)結(jié)合點(diǎn)的靈活運(yùn)用（具體內(nèi)容
如果學(xué)生需要，學(xué)霸可以讀一遍幫助同學(xué)回憶）。
PPT(第 22 頁)：請(qǐng)完成為你準(zhǔn)備的作業(yè)吧。
PPT(第 23 頁)：這節(jié)課就到這里，我們下次見哦。(共23張PPT)
學(xué)霸推薦
Analyzing
圓錐曲線（三）
綜合類大題
優(yōu)秀同齡人的陪伴 讓你的青春少走彎路
綜合類大題解題思路
平時(shí)跑800米，現(xiàn)在要求跑3000米
①
②
③
④
⑤
1
2
梳理每種類型題目的思路
利用方法解決相應(yīng)例題
綜合類大題考什么
1、綜合類小題加強(qiáng)版
2、可分為8個(gè)類型
例題1
答案1
例題2
答案2
例題3
答案3
例題4
答案4
圓錐曲線三知識(shí)樹總圖：
要點(diǎn)總結(jié)
綜合類大題分類不是重點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)結(jié)合依然是重點(diǎn)
補(bǔ)充的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)
與函數(shù)、不等式相結(jié)合
圓的切線
韋達(dá)定理和弦長公式
前4類題目
直線與圓錐曲線位置關(guān)系類
弦長與面積類
焦點(diǎn)弦問題
恒成立問題
作業(yè)布置
請(qǐng)完成我們?yōu)槟銣?zhǔn)備的作業(yè)吧~
圓錐曲線這里真的不太容易
希望你付出的辛苦都能照亮未來的路
學(xué)霸推薦
THANKS
青春的道路不長不短 學(xué)霸的陪伴 讓你一路不慌不忙
定義類小題
橢圓
綜合類小題
圓錐曲線
雙曲線
大題需補(bǔ)充的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)
綜合類大題
拋物線
直線與圓錐曲線題型分類
定義類小題
綜合類小題
求某個(gè)最值時(shí),設(shè)曲線上動(dòng)點(diǎn)為(x,y),再利用曲線方程或題目中條件把y
換為x,最終變成二次函數(shù)求最值問題,或者利用基本不等式求最值問題
與函數(shù)和不等式結(jié)合
橢圓
當(dāng)點(diǎn)(x2)在圓(x-a2-(-b2=r2上,切線方程為
圓的切線
xo=d)(x-a)+(0-6(y-b=
圓錐曲線
雙曲線
b
X1tx2
韋達(dá)定理
大題需補(bǔ)充的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)
x112
綜合類大題
拋物線
方程的聯(lián)立
AB|=1+k21x1-x2
2y1-y2
直線與圓錐曲線題型分類
定義類小題
橢圓
綜合類小題
圓錐曲線
雙曲線
大題需補(bǔ)充的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)
位置關(guān)系
弦長與面積
綜合類大題
拋物線
直線與圓錐曲線題型分類
焦點(diǎn)弦相關(guān)問題
恒成立問題
定義類小題
綜合類小題
橢圓
大題需補(bǔ)充的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)
交點(diǎn)個(gè)數(shù)幾問關(guān)系
圓錐曲線
雙曲線
直線與橢圓的三種關(guān)系可以聯(lián)立
兩個(gè)交點(diǎn)校
后用△的正負(fù)來解題,雙曲線和
拋物線當(dāng)直線跟曲線有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)
橢:相切
位置關(guān)系
,要注意與漸近線、與軸平行的
個(gè)交點(diǎn)觀曲:柑與漸線評(píng)行
情況。
拋物:相減與軸平行
綜合類大題
拋物線
直線與圓錐曲線題型分類
無交點(diǎn)櫚離
弦長與面積
焦點(diǎn)弦相關(guān)問題
恒成立問題
已知曲線E:W×、少
(1)若曲線E為雙曲線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)已知m=4,4(-1,0)和曲線C:(x-1)2+y2=16。若P是曲線C上任意一點(diǎn),線
段PA的垂直平分線為l,試判斷與曲線E的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

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