資源簡介

(共24張PPT)
學霸推薦
Branch
函 數（上）
概念與性質
優秀同齡人的陪伴 讓你的青春少走彎路
函數的知識點特點
一、【抽象又狡猾】
函數知識點相對比較抽象
不易建立起知識點與解題方法之間的聯系
二、【縱深化分布】
知識點縱深化分布，Branch需要一直延伸
到末端才能解題
三、【圖像為王】
得圖像者得天下
函數的概念與性質
1、函數概念：
兩個量之間的關系，兩個變量是靠一個關系式來連接的。
給x，通過關系式，可解y。反之，給y，通過關系式，可解x。
2、函數性質：
能夠讓你把圖像畫準的各種特點。
函數題目到底研究什么
可能的話，就先畫好圖
1、研究圖像形狀的各種特點
2、研究圖像上點、線段之間關系
或他們與坐標軸之間的關系。
1
2
構建知識體系樹
利用知識樹解決經典例題
PA RT 1
構建函數概念與性質知識樹
DREAM OF THE FUTURE
函數（上）
概念與性質總圖：
PA RT 2
利用知識樹來解題
此部分務必觀看視頻講解
DREAM OF THE FUTURE
例題1
答案1
例題2
答案2
例題3
答案3
PA RT 3
回顧落實
DREAM OF THE FUTURE
要點總結
畫圖才是王道
函數概念
定義域
解析式（即開始訓練畫圖）
值域（伴隨產物）
函數性質
奇偶性
周期性
對稱性
反函數
作業布置
根據本節課所學
完成學霸給你的對應習題~
加油~
學霸推薦
THANKS
青春的道路不長不短 學霸的陪伴 讓你一路不慌不忙函數講義（上）-概念與性質（教師逐字稿）
課程簡介：即PPT(第 1 頁)：函數是高中數學的重點和難點模塊，考察題目難度有高有低，相對來說比較抽象，也可以說是整個高中數學學習的基礎模塊，函數學不好，其他部分很難有所突破。因為函數部分內容較多，我們要分 3 課時完成整體知識樹的構建。函數（上）包括函數的概念與性質，函數（中）包括三大基本初等函數中前兩個的性質學習，基本初等函數有指數函數、對數函數、冪函數。我們先學習前兩個。函數（下）主要學習剩余的冪函數和函數零點問題。
這節課函數（上）我們學習：1、函數的概念與性質的知識樹構建；2、如何運用知識樹解題。
函數屬于CBA 方法中的B——branch 類，高考出題可以說幾乎滲透到所有題目當中，有點隱形人的感覺，你不能非常明確的看到他， 但是他卻一直圍繞在你身邊。函數知識點中，細微的小陷阱很多，而且題目會向縱深考察知識點的運用，學習時必須開動腦筋，既注意細節又要練習深入思考，難度的確很大。準備好了嗎？Let’s go！
PPT(第 2 頁)：先來了解一下函數模塊知識的總體特點。1、“抽象又狡猾”；2、“縱深化分布”；3、“圖像為王”。
1、函數部分的知識點相對比較抽象，各個知識點之間的界限有點模糊，還經常綜合起來一起考。這就導致做題時會“憑感覺”，因此，函數非常需要知識樹來幫助你理清思維。狡猾的意思是，學習知識點時覺得懂了，做題時候就是“想你時知識點在腦海，用你時解題
方法在天涯”。知識點和解題之間聯系不上，還經常交叉使用。舉個例子，給你一把錘子，直接讓你做個板凳出來…我現在又給你一個螺絲刀，還是讓你做個板凳出來…你會問剛才不是說好用錘子做板凳的嗎？當然，錘子我也不會用。函數解題就是這個特點。
2、函數知識的分布主要是縱深式的，知識樹的每條分支都比較長，運用起來需要從知識樹的一條分支入手，不斷深入找下去，一直找到最后與解題相關的部分。很累，大腦容易“抽筋”。
3、敲黑板！函數學習唯一的王道是：畫圖像！抽象又縱深發展的知識點非常燒腦，如何保護一下我們的大腦？當然是圖像！當一個函數圖像出現了，我們就可以看圖說話了，單調性、奇偶性、周期性等等，一目了然，圖像是把函數抽象的知識點和具體的解決方法結合
起來的利器，所以現在先提出一個要求，不管是否需要畫圖，遇到函數就嘗試著畫一畫圖像，這會讓你的解題越來越快，思維壓力也越來越小。
PPT(第 3 頁)：現在我們正式進入函數第一部分——概念與性質。先了解一下函數概念和性質的本質，我們不談那些書本上的說辭，直接說最接地氣的。想一下什么是函數？就是兩個量之間關系，給出x，
給出關系式，就能求出y 值。那么這里開始，我們就要養成深入思考的能力，在這里不只是給出 x 才能求出y 值，如果給出 y 值一樣能求出x 值。這兩者是可以互相推算的。這也就是后面我們要提到的定義域和值域的問題。
函數性質。單調性、奇偶性、周期性、對稱性，其實就是能夠讓
你把圖像畫得準確的各種特點。這些都為圖像服務，圖像也為各種性質服務，大家相互服務，很和諧。
PPT(第 4 頁)：接下來，讓我們來看看函數的題目到底為了求些什么， 知道了這些，才知道你要總結什么。總體來講，函數就是先盡量把圖像畫出來，然后，1、研究圖的各種特點，比如高、矮、胖、瘦、硬朗還是柔和、連續還是斷開等；2、研究圖像上點、線段之間的關系， 或者是他們跟坐標軸之間的關系，比如找到誰大誰小，誰長誰短，還有跟x 軸有沒有交點，有幾個，這不就是零點問題了嘛。
PPT(第 5 頁)：我們這節課就是要構建出函數概念與性質的知識體系樹，并且看幾道利用知識樹來解決的經典例題。
PPT(第 6 頁)：先來把知識樹構建好吧。
PPT(第 7 頁)：這是函數知識樹的總體概圖。我暫時沒有把所有分支都打開，等我們學完函數上中下，我會展示所有的細節，這里我們現有一個對函數總體的把握。從現在開始，你要拿出筆來跟著我一點一點畫你自己的樹，嚴禁截圖！不是舍不得，而是截圖沒有用。
下面我們把函數的整體體系先了解一遍。說起函數，你會覺得很熟悉，數學處處皆函數，但是如果我問，函數都學了什么呀？現在想想，能說得全嗎？我想一定不能，基本都是只能說某幾個知識點，而且排列還非常混亂。函數知識很多，又抽象，就會造成這種現象。首先還是明確一個原則，畫圖！畫圖！畫圖！重要的事情說三遍。整個函數學習的過程，畫圖畫得好就已經成功了一半。接下來我們來捋順一下知識樹結構。
函數首先要學習概念和性質，其中概念就包括構成函數的三大要素，定義域，解析式，值域。其中最重要的是前兩個，定義域和解析式，值域我叫他伴隨產物，是有前兩者才隨之產生的值域。然后我們要學習性質，單調、奇偶、周期、對稱。這些性質是什么，聽起來很抽象，我們來翻譯一下，就是我剛才講的，這些性質就是在描述函數圖像的形狀，高了矮了胖了瘦了，上升了下降了等等。這是對函數一個整體的基本認識，也是這節課我們要全面掌握的內容。
接下來，掌握了函數這些有點抽象的性質之后，我們要看看例子了，所以函數第二大塊就是我們要見識幾個基本初等函數。函數有千千萬萬種，我們初中學過了直線、拋物線等，高中就是再多見幾個而已。因此，我們選取比較有特色的三個，指數函數、對數函數、冪函數。我們要按照概念與性質的順序，分別了解這三種函數。
最后，函數了解了概念性質、見過了經典的例子，又該籠統研究一下所有函數跟坐標軸之間的關系了，這是把函數圖像具體“釘” 在坐標軸上，我們只要研究函數與x 軸之間的關系，這就是零點問題。零點問題這里，還是繼續強調，有圖像才有得解。這些都學完后，我們數學的很多章節都會有數學知識在日常生活中的應用，函數也不例外，因此我們需要了解一些函數模型在生活中的應用。這個非常廣泛， 比如市場上賣菜、比如建筑上修橋修路，都會用到函數模型，高中階段我們只簡單涉獵一點就可以，不是高考重點。但是，學而用，應該是你學習所有知識的最終歸宿，這個習慣高中階段或許你沒有時間養成，但是到大學以后，務必時刻遵循這個原則，學完知識要知道應用
在現實生活的方方面面。
PPT(第 8 頁)：接下來，我們看一下函數概念與性質的總體知識樹，
（這里不必看細節）。概念與性質分區非常明顯，概念包括三大要素，
定義域、解析式和值域，性質主要是 4 大性質，從考察頻率來排序就
是單調性、奇偶性、周期性、對稱性，至于反函數，講的是函數關于
y=x 對稱的一種特殊情況，我們在這里一并介紹一下。總圖看起來是不是非常龐大？但是知識點并不算難，一點一點梳理之后你的大腦就會非常清晰了。
PPT(第 9 頁)：讓我們先來梳理函數的概念，剛才已經說過好幾次， 就是 3 大天王，不，是 3 大要素。定義域、解析式和值域。
PPT(第 10 頁)：先從定義域開始，我們直接上干貨，求一個函數的定義域出題點就是圍繞 3 個符號，分數線、根號、對數。這三者出現的時候，分數分母不能為零，根號內部必須≥0，對數函數的真數必須
＞0。高考題不可能一種出一道題，所以最常見的就是三種符號同時出現，這時候務必細心，必須三個條件要同時滿足。所以，這里我建議要記住個數，比如定義域要記住有 3 種符號，每次做題都要把 3 個符號過一遍，題目里發現一個就標出一個，這樣就不會遺漏了。
定義域這里還有一個小知識點，就是抽象函數定義域求法，這里要明確一個事，就是定義域的定義！定義域永遠是當下函數內自變量
（也就是x）的取值范圍，比如 f（x）的定義域指 x 的范圍，f（2x-3） 的定義域，指的也是它里面那個 x 的范圍。可能你做函數最怕遇到抽象問題，那么這里有一句口訣供你使用。抽象函數定義域問題，只要
記住：“在同一個函數法則下，小括號內的東西范圍是永遠一樣的”！舉個例子，f（x）定義域為[1,3],求 f（2x-3）的定義域，按照口訣， 這兩個函數都是f 法則，法則一樣，所以小括號內的東西范圍一致， f（x）小括號內只有 x，所以小括號的范圍就是[1,3]，f（2x-3）呢， 小括號內的 2x-3 就應該在[1,3]內，所以 1≤2x-3≤3，解出來 x 的范圍就是f（2x-3）的定義域了。
這里小小總結一下，函數部分我們做出知識樹，就是防止你在做題的時候還是想起來什么用什么，現用現想。你要知道一共有幾種情況，而題目里出現的是哪種情況，養成這種嚴謹的思維習慣，數學才能循序漸進的提高。因為做數學題，很大程度取決于你思維的嚴謹程度，函數這塊就非常側重考察這個能力，加上知識點細小又抽象，經常把各種知識點混合在一起考，如果沒有知識樹梳理，你就會想起這個點，卻忘了那個點，永遠想不全。有沒有戳中你？哈哈，不必急著回答我，可以默默流淚。現在我把各種情況都給你了，并且梳理了， 你就沒有理由再想不全了，對不對？
PPT(第 11 頁)：接下來，我們要研究第 2 個要素，解析式。這里圖像比較大，所以單獨放一頁。解析式仿佛沒什么可說的，我想在學校課堂上，或許老師也都是一帶而過的。但是，這里才是我說的“畫圖王道”的開始，我不會重點訓練你對解析式的計算，a+b 啊，x+y 啊， 太抽象了，越研究就越抽象，越研究也越“抽筋”。我現在要開始訓練你看著解析式畫圖的能力，因為最終解題關鍵是要歸結到圖像上面的。
我們先了解幾種基本函數圖形的畫法：
1、直線。直線覺得誰都會畫是不是？直線到底能怎么畫？想過嗎？那我們就徹底歸納一下，直線到底有幾種？4 種對吧？增的，減的，斜率不存在的，斜率為 0 的。為什么直線我要講這么細，你可能覺得沒必要，但是等你開始解直線和圓的問題的時候，解圓錐曲線問題的時候，回想一下，多少次都被討論直線斜率是否存在坑了？經常不知道什么時候討論直線斜率呢？為什么總是忘記討論呢？就是因為從一開始，你對直線的認知就不全面，覺得太簡單，從來沒總結過。現在我們就總結一下，直線一般有 4 種存在的形態，兩種斜的形態是最常見的，橫平和豎直是特殊情況，尤其是豎直時，斜率k 不存在。在函數這里就養成對各類圖形全面思考的習慣，以后做大題才知道為什么要討論，因為我只要遇到直線的時候，就會先想到它有 4 種形態， 再根據題目判斷，到底可以使用的是哪幾種。通常情況下 k 存在的我們歸納為一類，k 不存在的單獨為一類。這樣以后再遇到直線討論問題，你是不會忘記的，因為你看見直線的第一眼，就在考慮它的形態可以屬于哪類。
2、拋物線。這個都非常熟悉了，y=ax +bx+c，分 2 種，開口朝上（a＞0）和開口朝下（a＜0）。其他確定圖像位置的有對稱軸x=-b/2a,還有△=b -4ac，△＞0 則圖像與 x 軸有 2 個交點，△=0 則圖像與 x 軸有 1 個交點，△＜0 則圖像與x 軸沒有交點。
3、反比例函數。這個也分 2 種情況，y=k，k＞0，就是左圖，k
x
＜0 就是右圖。
4、對勾函數。f（x）=ax+b（a＞0，b＞0），這種函數圖像也非
x
常常見，要按照圖例學會畫出來。
5、帶絕對值的函數。我們這里以 y=丨x 丨為例，推演到所有外部帶絕對值的函數圖像畫法，就是把 x 軸下方的部分，對稱著翻折上去。
6、再總結 2 個畫圖規則
（1）f（x）與f（-x）圖像是關于y 軸對稱的。
（2）f（x）與-f（x）的圖像是關于x 軸對稱的。
最后，我們畫的很多圖像還需要左右上下移動，那么口訣再復習一遍：上加下減，左加右減。這里的上下移動是指對整個函數的y 值進行加減，而左右移動是指對 x 本身進行加減。不要覺得自己很熟， 這里很容易掉進坑里，舉個例子，y=ln（2-x）圖像是由y=lnx 圖像如何移動得到的？首先 y=lnx 關于 y 軸對稱，可以得到 y=ln（-x） 圖像，那繼續怎么挪動可以得到 y=ln（2-x）圖像呢？向左還是向右？ 其實是向右對不對！y=ln（-（x-2）），這樣才能得到 y= ln（2-x）。所以這些細節都是需要反復練習的地方。
函數概念的第 3 個要素是值域，這個不用過多介紹，就是定義域和解析式確定了，值域自然有，畫圖更清晰~
PPT(第 12 頁)：概念清晰之后，我們來看看函數的 4 大重要性質吧。第一個單調性。這是函數最最重要和高頻使用的性質了，我們
按照三步走來思考如何求一個函數單調性。首先拿來一個函數，第一步你一定會想這個函數我是否熟悉，是不是簡單函數，比如直線，拋
物線，他們的單調性你都不需要多想，圖像非常熟悉，在腦海里就畫出來了，然后直接說出單調性。這里二次函數的單調性要強調一下， 二次函數的單調性問題主要看對稱軸在要求的區間里面還是外面，如果對稱軸在給出的區間內部，則這個區間內函數不單調，如果對稱軸在給出的區間外，則函數在這個區間內就單調。這就是我們常說的動軸定區間和定軸動區間的問題。另外，還有一個小結論務必記住，有一類題目是求在某個區間內，二次函數的函數值≥0 或者≤0，這時候不要考慮對稱軸和△了，直接讓端點的函數值同正或者同負即可求出你想要的參數范圍。
第二步，就是研究稍微復雜一點點的復合函數，比如兩個簡單函數要加減乘除等等，這時候回憶一下口訣：負號會完全改變一個函數的單調性，-減=增，-增=減。如果遇到加減乘除的情況，只有增+ 增=增，減+減=減，這兩個公式可以直接使用。這里如果是增-減呢？ 那就可以轉化為增+增，所以仍為增函數。嵌套式 f（g（x））口訣是：同增異減。就是里層和外層函數單調性如果相同，那整體就是增函數， 如果里外不同，那整體就是減函數。第三步，如果是更復雜的函數， 那上面的口訣也用不了了，該怎么判斷單調性呢？這時候就引出了我們最強大的單調性武器——導數。這里就變成導數問題了，我們會在導數部分具體講解。不過這里你要有個基本的印象，導數是為了服務函數而產生的工具。
第二奇偶性。從這里開始，口訣和公式就越來越少。基本特點： 奇函數-f(x)=f(-x),圖像關于原點對稱，而且 f（0）=0。偶函數
f(x)=f(-x),圖像關于 y 軸對稱。復合函數奇偶性呢？還是記住幾句口訣，1、系數不改變函數的奇偶性，比如一個奇函數乘 3 還是 ，這并不改變它本身的對稱性，所以還是奇函數。2、奇±奇=奇，偶±偶
=偶，奇±偶無法直接判斷奇偶性。3、f（x）g（x）或者f（x），這
g（x）
種乘除形式記住同偶異奇。就是兩者奇偶性相同，整體就是偶函數， 兩者奇偶性不同，整體就是奇函數。4、嵌套式f（g（x））口訣是：嵌套遇偶則偶。就是里層或外層，只要有一個是偶函數，整體就是偶函數。這幾句口訣務必記住。
第三周期性。周期性只需要記住這里展示的最基礎公式，我知道你還學過很多關于周期性的公式，這里有個好消息，不要背那些了， 因為背也背不準，準了也未必直接用。只要記得，出現感覺像是周期性的公式，只要去試里面出現的常數a 的 2 倍即可，大部分情況下， 最終的周期很可能 2a。舉例-f（x）=f（x+4），給出這個條件，我們猜周期大概會是 8，那就想辦法構造 f（x+8），我們在等式里面把 x全部換成 x+4，原式就會變成-f（x+4）=f（x+8），而根據原始，-f
（x+4）=f（x），所以就得出 f（x）=f（x+8）。周期的確驗證為 8。我們只需要掌握到這種程度就可以了。
第四對稱性。對稱性更是一個非常抽象的東西。依然只需要掌握圖中給出的基礎公式，另外掌握一個對稱點的求法，如果求某點關于直線的對稱點，知道有 2 個條件可用，一是兩點連線與直線垂直， 二是兩點的中點在直線上。
反函數。反函數是個相對獨立的小知識點（如果學生已經掌握
則不必講了，如果不熟悉，簡單介紹一下）。函數與反函數的圖像是關于y=x 對稱的，怎么求一個函數的反函數呢？就 2 步，第一步是把函數中 x 與 y 互換，第二步就是整理一下，將換完的式子整理成y=bulabula x 的形式。這里需要掌握原函數與反函數上點之間如何對稱，記住這樣一個例子即可，原函數如果過點（2，8），反函數就過點（8,2），所以解題時可以不必解出反函數解析式，也可以找到相應的對稱點。
PPT(第 13 頁)：好了，到這里我的函數概念與性質的知識樹成型了， 總圖在這里，你的呢？原則依然是不要跟我的完全一樣，你的可以更簡單，只要你能看得懂，想得起就可以。（這張總圖 ppt 內不清晰， 可以下載原圖查看）
(
PPT
(第
15—16
頁)
PPT
(第
17—18
頁)
PPT
(第
19—20
頁)
PPT
(第
21
頁)
) PPT(第 14 頁)：OK，函數（上）知識樹構建結束。讓我們來一起看一下如何運用知識樹來解題吧！這里選取了綜合性題目，直接感受一下如何分析多步驟題目（務必看視頻，學霸不必過多講解）。
：第 1 題和答案。
：第 2 題和答案。
：第 3 題和答案。
：回顧落實。看完視頻題目后，有沒有學會如何運用知識樹來解題？我們再次總結一下知識樹的要點吧。
PPT(第 22 頁)：要點總結，這里非常簡潔，沒有展開，為什么，這就驗證了我一開始說的，函數的知識細小又深入，一旦展開就沒完沒了， 不停延伸。所以這里簡潔不代表它的知識真的簡潔哦。
PPT(第 23 頁)：課后作業布置，請完成我們為你準備的經典習題。函數這里要特殊說明一下，函數題目真的是千變萬化，因為知識點可以滲透到各種題目當中，我們的作業能讓你練習到相應的知識點，但是絕不可能搜集全所有的類型，只做這些題目是萬萬不夠的。一定要自己再多做練習，多見題型，當然，萬變不離其宗，知識樹上的知識點會幫助你乘風破浪的。
PPT(第 24 頁)：結束，我們下次見。函數（上）概念和性質作業題
作業題目難度分為 3檔：三星☆☆☆（基礎題目）
四星☆☆☆☆（中等題目）
五星☆☆☆☆☆（較難題目）
函數題目非常多，我們只能盡量涉獵，但無法全面覆蓋，因此本套作業各位同學
盡量都做。這點題量對于函數來說，還遠遠不夠。
70-120 分同學請全部練習
120+以上同學 1-25 題可瀏覽選取不熟悉的練習
26—30 重點練習
本套作業題目1-3,13,14,17題為三星,4-12,15,16,18-25為四星，26-30為五星。
1、若函數 的定義域是 ，則函數 的定義域為_____。
☆☆☆
答案與解析：考查抽象函數定義域問題。
因為函數 的定義域是 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的定義域為 。
2、函數 的定義域為（ ）。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查求函數定義域需要注意的三種符號。
由題意得函數的定義域滿足 ，化簡得 ，
解得 ，所以 且 。
3、已知函數 ，則 _____； 的最小值為_
____。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查分段函數。
由函數的解析式可得當 時， ，當 時， ，所以 。
當 ， ，其對稱軸為 ，故 ；
當 ， ，函數 在區間 上是減函數，故 ；
故函數 。故本題正確答案為 ； 。
4、已知函數 ，且 ，則 （ ）。
☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查指數函數與對數函數圖形的性質。
由已知條件可得函數圖象：
故 ，可得 ； 。
5、設函數 若 ，則 _____ 。 ☆☆☆☆
答案與解析： 時， ， ，則
，解得 ，或 （舍去），或
（舍去），故 。當 時， ，由于 ，所以 ，
所以 ，不能等于 ，所以不存在 ，使得 。
綜上所述， 。
6、已知函數 ， ，若有 ，則 的取值范圍為
（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：由題知， ， 。
而 ，則 ，即 ，解得 。
7、已知二次函數 滿足 。
（1）求二次函數 的解析式。
（2）若對 ，都有 成立，求實數 的取值范圍。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）由題得 ，解得 ，所以二次函數 的
解析式為 。
（2）由（1）知 ，故函數 的零點為 和 ，若對
，都有 成立，則 或 ，解得 或 ，
所以實數 的取值范圍為 。
8、已知實數 ，函數 ，若 ，則 的值
為_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查分段函數的函數值計算。
當 時， ， ， ，
解得 ，合題意；
當 時， ， ， ，
解得 ，不合題意；
綜上所述： 。
9、已知函數 ，則 的值域是（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：當 時， 在 單調遞減，在 單調遞增，
，即 的取值范圍為 。
當 時， ，畫出對勾函數圖像，可知 在 單調遞減，在
單調遞增， ，即 的取值范圍為 。
綜上所述， 的值域為 。
10、若函數 （ 且 ）的值域是 ，則實數 的取
值范圍是（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考察圖像畫法，然后根據值域確定參數范圍。
當 時， 恒成立。當 時，若 ，則 時， ，
不滿足題意；若 ，則 單調遞增，要滿足值域為 ，則需 ，
故 ，從而 。綜上， 。
11、已知 是定義在 上的奇函數, 則 的值域為
_____。 ☆☆☆☆
答案與解析： 本題主要考查奇函數與函數的值域關系。
因為 是定義在 上的奇函數，所以 ，
據此解得 。因此 ，令 。
因為 在區間 上遞增，所以 在定義域
內單調遞減。
因此函數 的值域為 ，因此 的值域為 。
12、已知函數 ，則使方程 有解的實數 的取值范圍（）
☆☆☆☆
答案與解析： 畫圖即可。本題主要考查函數的值域。 的取值范圍即為 的值
域，由圖象知值域為 。
13、函數 的單調增區間是_____。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考復合函數的單調性。
嵌套型口訣同增異減。現在看里層為增函數，外層也為層函數，所以整個函數為增
函數，所以 的單調增區間即為函數的定義域 。
14、若函數 為 上的增函數，則實數 的取值范圍是 。
☆☆☆
答案與解析： 本題主要考查函數的單調性。因為 為 上的增函數， ，解
得 ，因為整體為增函數，接口處當 時，應滿足，且 ，所以
≤a，解得 。綜上所述， 。
15、已知函數 的圖象與直線 有且只有一個交點，則實數 的取
值范圍是_____。 ☆☆☆☆
答案與解析： 由題知， ，兩個函數的對稱軸均為 。
①當 時， 為 上的單調遞增函數，則 圖象與直線 有一個交點，滿足
題意；
②當 ，即 時，則 在 上單調遞增，在 單調遞減，在 單
調遞增，極大值為 ，此時 圖象與直線 有一個交點，滿足題意；
③當 ，即 時，則 在 單調遞增，在 上單調遞減，在 單
調遞增，欲使 圖象與直線 有一個交點，需使極大值 ，即 ，解
得 ，故此時 。
綜上，實數 的取值范圍是 。
16、已知 ，且 ，則函數 的單調遞增區間為
______。 ☆☆☆☆
答案與解析： 設 為 ，因為 ，所以 ，即 。
又因為 ，所以 ，則 ，整理可得 ，解得
或 （舍掉）。所以 ，即 ，所以 。
圖象如下圖所示，由圖可得 的單調遞增區間為 。
17、下列函數中為偶函數的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
☆☆☆
答案與解析： 本題主要考查函數的奇偶性。選 B。
A項， ， ，所以 是奇函數，不是
偶函數，故 A項不符合題意；
B項， ， ，所以 是偶函數，故 B項
符合題意；
C項， ，定義域為 ，不關于 軸對稱，所以不是偶函數，故 C項不符
合題意；
D項， ， ，所以 不是偶函數，故 D項不符合
題意；
18、已知函數 （ ）是奇函數。
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）因為 是奇函數，所以對定義域內任意 ，都有
即 ， ，由條件知 ，所以 。
（2）因為 是奇函數，所以 ，令 ，則
，所以 。
19、設 是偶函數， 是奇函數，那么 的值為
（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析： 本題主要考查奇偶函數的性質。
對于偶函數 有 ，所以 ，
解得 ；對于定義域為 的奇函數 ， ，解得 ，
所以 。
20、已知函數 的定義域為正整數集 ， ， ，若 ，
，則 _____ 。 ☆☆☆☆
答案與解析：題主要考查函數的周期性。
給出的式子，按照周期為 4去猜。所以盡量畫出 f（x+4）。
因為 ，所以 ，
，所以 ，
則 ， ，
。
21、 是 上的奇函數，對任意實數都有 ，當 時，
，則 （ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析： 本題主要考察周期性，看到已知條件題目猜周期為 3。
因為 ，所以 ，所以 ，所以
是以 為周期的奇函數，
所以 ， ，
所以 ；
又因為當 時， ，所以 ，
所以 。
22、已知函數 滿足 ， ，當 時， ，
則 （ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析： 本題主要考查函數周期性。
由已知 可得 ，
則有 ，有 ，可得 ，
所以 是以 為周期的周期函數， 。
23、若函數 的圖象關于原點對稱，則實數 等于（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查函數對稱性。對稱性的考察一般不會直接考察對稱的計
算，而是利用巧妙的辦法，比如本題關于原點對稱，不必去求對稱點，可以直接按
照奇函數的性質，用 f（0）=0來解題，a=-1。下面給出用求對稱點的方法以供參考。
因為 關于原點對稱，則任取圖象上一點 ，另一點 必定也
在圖象上，即 ，聯立消去變量 得： ，
因為 為任意值，且 ，所以 。
24、若函數 滿足：存在非零常數 ，使 ，則稱 為“準奇函
數”。下列函數中是“準奇函數”的是（ ）。 ☆☆☆☆
A、 B、 C、 D、
答案與解析：由已知得，準奇函數需滿足：存在非零常數 ，使 ，
即準奇函數滿足 ，且關于 點中心對稱。
A項， ，令 ，解得 ，與題意矛盾，故 A項錯誤；
B項， ，令 ，解得 ，且
滿足題意，故 B項正確；
C項， ，令 ，無解，故 C項錯誤；
D項， ，令 ，解得 ，與題意矛盾，故 D項錯誤。
故本題正確答案為 B。
25、若函數 的圖象與函數 的圖象關于 對稱，則 等于（ ）。
☆☆☆☆
答案與解析：本題考察反函數。因為函數 的值域為 ，依題知 為
的反函數，講將 x與 y互換，再整理，所以 。
26、函數 的圖象大致為（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：因為 ，
，
所以 ，所以 關于 對稱，故 A和 D項不符合題意；
因為當 ， ， ，所以 ，故 C項不符合題意。
故本題正確答案為 B。
27、已知奇函數 在 上單調遞減，且 ，則不等式
的解集是（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：由奇函數性質可知，因為 在 上單調遞減，所以 在
上單調遞減；由 ，可知 。
由零點和單調性可知，當 ，或 時， ；當 ，或 時，
。由此可知，令 ，則 的解為 或 。
可解得 的取值范圍為 ，或 。
28、已知定義在實數集 上的函數 是奇函數。
（1）求 ， 的值；
（2）若對任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范圍。
☆☆☆☆☆
答案與解析：（1）因為 是奇函數，且定義域為 ，所以 ，即 ，
解得 ，從而有 ，又由 ，得 ，解得
，經檢驗符合題意，所以 ， 。
（2）由（1）知 ，則 在 上為減函數，因為
是奇函數，所以不等式 等價于
，因為 是減函數，則可得 ，
又因為對一切 有 ，所以 ，解得 。
29、已知函數 ，則 的圖象是（ ）。 ☆☆☆☆☆
A、 B、
C、 D、
答案與解析：本題主要考查指數函數與對數函數的圖象以及性質。
由題意 的圖象如下圖，將 的圖象關于 軸對稱后，將得到的新圖象即 的
圖象向右平移一個單位，即得到 ，也就是 的圖象。
故本題正確答案為 D。
30、設函數 ，對任意 ， 恒
成立，則實數 的取值范圍是_____。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查不等關系與不等式、解不等式、函數綜合以及函數的概
念與性質。
由題意得 在 上恒成立，即
在 上恒成立。
令 ，則 小于等于 在 上
的最小值。
令 ， ，因為 在 是單調遞減的，所以當
時， 取最小值， ，所以 在 上的最小值
為 。由 ，解得： 或 。
故本題正確答案為 。

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