資源簡介

(共25張PPT)
學霸推薦
Branch
函 數(shù)（下）
冪函數(shù)+函數(shù)零點和模型
優(yōu)秀同齡人的陪伴 讓你的青春少走彎路
函數(shù)的知識點特點
一、【抽象又狡猾】
函數(shù)知識點相對比較抽象
不易建立起知識點與解題方法之間的聯(lián)系
二、【縱深化分布】
知識點縱深化分布，Branch需要一直延伸
到末端才能解題
三、【圖像為王】
得圖像者得天下
函數(shù)題目到底研究什么
可能的話，就先畫好圖
1、研究圖像形狀的各種特點
2、研究圖像上點、線段之間關系
或他們與坐標軸之間的關系。
冪函數(shù)、函數(shù)零點問題
學習要點
冪函數(shù)：隸屬于三大基本初等函數(shù)，相對簡單注意跟指數(shù)函數(shù)區(qū)分，
注意小細節(jié)。
函數(shù)零點 ：1、圖像為王。
2、與函數(shù)一開始的概念、單調(diào)性、奇偶性、周期性、
對稱性全面結(jié)合。
3、綜合性非常強，要把知識樹的點都融匯在一起。
1
2
構(gòu)建知識體系樹
利用知識樹解決經(jīng)典例題
PA RT 1
構(gòu)建知識樹
冪函數(shù)+函數(shù)零點和模型
PS.冪函數(shù)也是基本初等函數(shù)，只是下節(jié)課露面
函數(shù)（下）
冪函數(shù)+函數(shù)零點和模型
總圖：
函數(shù)總知識樹：
PA RT 2
利用知識樹來解題
DREAM OF THE FUTURE
例題1
答案1
例題2
答案2
答案2
答案2
例題3
答案3
答案3
PA RT 3
回顧落實
DREAM OF THE FUTURE
要點總結(jié)
冪函數(shù)的性質(zhì)和零點的存在性定理
冪函數(shù)
X系數(shù)只能為1
(0,+∞)上圖像單調(diào)性與α的正負有關
如何與指數(shù)函數(shù)區(qū)別？冪函數(shù)圖像多種多樣
零點問題
零點存在性定理要記住，條件都很隱秘，注意挖掘
查零點個數(shù)的前提就是準確的圖像
作業(yè)布置
根據(jù)本節(jié)課所學
完成學霸給你的對應習題~
加油~
學霸推薦
THANKS
青春的道路不長不短 學霸的陪伴 讓你一路不慌不忙函數(shù)（下）冪函數(shù)、函數(shù)零點和模型問題作業(yè)題
作業(yè)題目難度分為 3檔：三星☆☆☆（基礎題目）
四星☆☆☆☆（中等題目）
五星☆☆☆☆☆（較難題目）
函數(shù)題目非常多，我們只能盡量涉獵，但無法全面覆蓋，因此本套作業(yè)各位同學
盡量都做。這點題量對于函數(shù)來說，還遠遠不夠。
70-100 分同學請做 1-16 題
100-130 分同學請做 1-17,19 題
130+以上同學請做 3,7-9,12,15,17-23
（最后 2題可以選做，不必強求全部做出，能看懂思路即可）
本套作業(yè)題目 1-7 題為三星,8-17 為四星，18-23 為五星。
1、已知指數(shù)函數(shù) ，對數(shù)函數(shù) 和冪函數(shù) 的圖象都過 ，
如果 ，那么 _____。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義。
令 ， ， ，則 ， ，
，所以 ， ， ；
而 ， ， ，解得 ， ， ，
所以 。
2、已知冪函數(shù) （ ）為偶函數(shù)，且在區(qū)間 上是單調(diào)
增函數(shù)，則 的值為 。 ☆☆☆
答案與解析：由冪函數(shù) 為偶函數(shù)可得 為偶數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增可得 。因為 ，所以
或 ，解得 或 ，又因為 ，所以 ，此時
，所以 。
3、已知冪函數(shù) （ ）為偶函數(shù)，且在區(qū)間 上是單調(diào)遞減
函數(shù)。
（1）求函數(shù) ；
（2）討論 的奇偶性。 ☆☆☆
答案與解析：（1）因為函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，所以 ，解得
，由于 ，所以 可取 ， ， ；當 或 時， 為奇函數(shù)，
不符合題意；當 時， 為偶函數(shù)，符合題意，故 。
（2） ；①當 ， 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；②當 且
， 為偶函數(shù)；③ 且 ， 為奇函數(shù)；④當 且 ，
因為 ，且 ，所以函數(shù) 既不是奇函數(shù)也不是
偶函數(shù)。
4、已知函數(shù) ，若關于 的方程 有兩個不同的實根，則
數(shù) 的取值范圍是_____。 ☆☆☆
答案與解析：自己畫一下圖像更快哦。
當 時， 在 單調(diào)遞減，故 ；
當 時， 在 上單調(diào)遞增，所以 。
由于 有兩個不同的實根，故 。
故本題正確答案為 。
5、已知函數(shù) ，則 _____，函數(shù) 的零點是_____。
☆☆☆
答案與解析：本題主要考查對數(shù)與對數(shù)函數(shù)和函數(shù)與方程。
， ，所以 ；
由 ，當 時， ，解得 ；
當 時， ，解得 或 ，則零點為 、 和 。
6、函數(shù) 有兩個零點分別屬于區(qū)間 ， ，則 的范圍為___。
☆☆☆
答案與解析：本題主要考查函數(shù)零點的存在條件。
根據(jù)題意可得 ，即 ，解得 。
7、函數(shù) 的零點所在區(qū)間是（ ）。 ☆☆☆
答案與解析：本題主要考查零點存在性定理。
在 上單調(diào)遞增， 在 上也單調(diào)遞增，所以 在 上單調(diào)遞
增。又因為
， ， ，
，由零點定理可知，函數(shù) 的零點在區(qū)間 上。
8、函數(shù) 的零點個數(shù)為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查函數(shù)零點與函數(shù)數(shù)形結(jié)合思想的應用。
函數(shù) 的零點個數(shù)即為函數(shù) 與 圖象的交點個數(shù)。
在同一直角坐標系中作出函數(shù) ， 的圖象：
可知有兩個交點。
9、已知函數(shù) ， 。若方程 有兩個不相等的實根，
則實數(shù) 的取值范圍是（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：由于方程 有兩個不相等的實根，則函數(shù) 的圖象與 的
圖象有兩個交點，畫出 的圖象如圖中實線所示：
由于 的圖象與 的圖象有兩個交點，所以 的斜率應為圖中兩虛線之間，即
的取值范圍為 。
10、已知實數(shù) ，函數(shù) ，若 ，則 的值
為_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：可通過分類討論來求解，由 ，可知 和 為不同的函數(shù)
表達式。
當 ， 時，即 時，有 ，解得 ，因
為 ，所以不符，舍去；
當 ， 時，即 時，有 ，解得 。
11、若曲線 與直線 沒有公共點，則 的取值范圍是_____。
☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象。曲線 的圖象如圖所示：
由圖象知，該函數(shù)的值域為 。又因為該函數(shù)圖象與直線 不存
在交點，因此 的取值范圍為 。
12、已知函數(shù) 有兩個零點，則實數(shù) 的取值范圍 。
☆☆☆☆
答案與解析： 由題意可知 時， 有一個零點，則另一個零點在區(qū)間
上，又因為 時是單調(diào)遞增函數(shù)，所以只要 時， 即可。
即 ，解得 。
13、設 ，若函數(shù) 存在整數(shù)零點，則 的取值集
合為_____。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查函數(shù)的整數(shù)零點。
令 ，得 ，即 ，因為 ， ，所以
，解得 ，且 ，則 ，分
別代入 驗證，得 。
14、偶函數(shù) 在區(qū)間 （ ）上是單調(diào)函數(shù)，且 ，則方程
在區(qū)間 內(nèi)根的個數(shù)是（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查利用函數(shù)圖象分析函數(shù)性質(zhì)。
由 在區(qū)間 （ ）上是單調(diào)函數(shù)，且 得 與 異號，于是
方程 在區(qū)間 內(nèi)根的個數(shù)是 ，又 是偶函數(shù)，所以 的圖象關于 軸對
稱，所以方程 在區(qū)間 內(nèi)根的個數(shù)也是 ，故方程 在區(qū)間 內(nèi)
根的個數(shù)是 。
15、函數(shù) 的圖象與 軸有交點的充要條件為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查函數(shù)與方程。
函數(shù) 的圖象與 軸有交點，可以轉(zhuǎn)化為曲線 與直線 有
交點。如圖所示，可以畫出 與 的圖象，其中 ， 的值
域為 。若曲線 與直線 有交點，則 。
16、如圖，某港口一天 時到 時的水深變化曲線近似滿足函數(shù) ，
據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位： ）的最大值為（ ）。 ☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查三角函數(shù)的圖象。
根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為 ，有 ， ，最大值為 。
17、某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計
劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為 ， ，
山區(qū)邊界曲線為 ，計劃修建的公路為 ，如圖所示， ， 為 的兩個端點，測得點
到 ， 的距離分別為 千米和 千米，點 到 ， 的距離分別為 千米和 千米，
以 ， 所在的直線分別為 ， 軸，建立平面直角坐標系 ，假設曲線 符合函數(shù)
（其中 ， 為常數(shù)）模型。
（1）求 ， 的值；
（2）設公路 與曲線 相切于 點， 的橫坐標為 。
（ⅰ）請寫出公路 長度的函數(shù)解析式 ，并寫出其定義域；
（ⅱ）當 為何值時，公路 的長度最短？求出最短長度。 ☆☆☆☆
答案與解析：（1）由題意得， ， ，
代入曲線 的表達式 ，解得 。
（2）（ⅰ）曲線 方程為 ，在 點的切線的斜率為 ，則在 點的切
線方程 為 ，設直線的橫縱截距分別為 、 ，因此
， 。
（ⅱ） ，
，
當且僅當 ，即 ， 時，上述等號成立，
所以公路 最短為 。
18、已知函數(shù) ，則關于 的方程 的實根
個數(shù)不可能為（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：本題主要考查函數(shù)與方程。
令 ，可得 圖象如下圖所示：
則 ，可得 在 ， 上單調(diào)遞增，在 ， 上單調(diào)
遞減，得 和 分別對應兩個 值， 和 分別對應一個
值。由已知可得 圖象如下圖所示：
當 時，對應一個 值， ，由
圖象及性質(zhì)可得此時對應 個 值；
當 時，對應兩個 值，分別為 ， ，
由 圖象及性質(zhì)可得此時對應 個 值；
當 時，對應三個 值，分別為 ， ，
，由 圖象及性質(zhì)可得此時對應 個 值；
當 時，對應四個 值，分別為 ， ，
， ，由 圖象及性質(zhì)可得此時對應 或 個 值；
當 時，對應三個 值，分別為 ， ，
，由 圖象及性質(zhì)可得此時對應 個 值；
當 時，對應兩個 值，分別為 ，
，由 圖象及性質(zhì)可得此時對應 個 值。
綜上可得關于 的方程 的實根個數(shù)可能為 ， ， ， ， ， 。
19、已知函數(shù) 若 ， ， 互不相等， ，則
的取值范圍是（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析： 由 表達式可得函數(shù)圖象如下：
由圖可知， ，由 得
，則有 ，所以 。
20、函數(shù) ，若函數(shù) 有 3 個零點，則實數(shù) 的值為
（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：由題知 的圖象大致如下：
由圖可得當 時，函數(shù) 有 2 個零點，所以當 時，函數(shù) 有
3 個零點。
21、已知函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)，當 ， ，
若 ， ，則實數(shù) 的取值范圍為（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：當 時，對函數(shù)分段討論：得到做出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)為奇函
數(shù)畫出 時的圖象如圖所示：
由題意，要滿足 在 上恒成立，所以應滿足 ， ，
則解得 。
22、已知函數(shù) ， 。若方程 恰有 個互異的實數(shù)
根，則實數(shù) 的取值范圍為_____ 。 ☆☆☆☆☆
答案與解析：當 時，不滿足 ，故 ，
此時方程 可化為： 。去掉絕對值符號。
設，（Ⅰ）當 或 時，構(gòu)造函數(shù) ，則 。
若 ，則 ，故函數(shù) 在 上單調(diào)減小；若 ，則 ，
故函數(shù) 在 上單調(diào)增加。
（Ⅱ）當 或 時，構(gòu)造函數(shù) ，則 。
（i）若 ，則當 時， ，故函數(shù) 在 上單調(diào)增加；
當 時， ，故函數(shù) 在 上單調(diào)減小。
（ii）若 ，則當 時， ，故函數(shù) 在 上單調(diào)減小；
當 時， ，故函數(shù) 在 上單調(diào)增加。根據(jù)函數(shù) 的解析式，
， ， ， ，且當 趨近于 和 時， 趨近于 。
故函數(shù) 的示意圖如圖所示：
根據(jù)圖象可知，若要使方程 恰有 個互異的實數(shù)根，則 與函數(shù)
的圖象恰有 個交點，故 的取值范圍為 。
23、已知定義在 上的函數(shù) ，若函數(shù) 恰
有 個零點，則實數(shù) 的取值范圍是_____ 。 ☆☆☆☆☆
答案與解析： 當 時， ， ， ，
函數(shù) 恰有 個零點，可得 ；
當 時， ， ， ；
當 時， ，過點 與曲線的切點為 ， ，
可得 ，所以 ，所以切線的斜率為 。
函數(shù) 恰有 個零點，可得 ；
當 時，函數(shù)的零點也是 個。綜上可得當 時有兩個交點，
即函數(shù) 恰有兩個零點。
故本題正確答案為 。函數(shù)講義（下）-冪函數(shù)+函數(shù)零點和模型
（教師逐字稿）
課程簡介：即 PPT(第 1 頁)：函數(shù)是高中數(shù)學的重點和難點模塊，考
察題目難度有高有低，相對來說比較抽象，也可以說是整個高中數(shù)學
學習的基礎模塊，函數(shù)學不好，其他部分很難有所突破。
函數(shù)（上）我們學習過了函數(shù)的概念與性質(zhì)，函數(shù)（中）樹立了
三大基本函數(shù)的前兩個：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。基本初等函數(shù)還剩下
一個比較簡單的——冪函數(shù)。今天我們就要學這最后一個冪函數(shù)。同
時，還要重點攻破函數(shù)零點問題。至于函數(shù)模型應用，這個簡單介紹
一下即可。
這節(jié)課函數(shù)（下）我們學習：1、冪函數(shù)+函數(shù)零點和模型的知識
樹構(gòu)建；2、如何運用知識樹解題。
函數(shù)屬于 CBA 方法中的 B——branch 類，高考出題可以說幾乎滲
透到所有題目當中，有點隱形人的感覺，你不能非常明確的看到他，
但是他卻一直圍繞在你身邊。函數(shù)知識點中，細微的小陷阱很多，而
且題目會向縱深考察知識點的運用，學習時必須開動腦筋，既注意細
節(jié)又要練習深入思考，讓我們開始今天的課程吧。
PPT(第 2 頁)：先來了解一下函數(shù)模塊知識的總體特點。
1、“抽象又狡猾”；2、“縱深化分布”；3、“圖像為王”。
1、函數(shù)部分的知識點相對比較抽象，各個知識點之間的界限有
點模糊，還經(jīng)常綜合起來一起考。這就導致做題時會“憑感覺”，因
此，函數(shù)非常需要知識樹來幫助你理清思維。狡猾的意思是，學習知
識點時覺得懂了，做題時候就是“想你時知識點在腦海，用你時解題
方法在天涯”。知識點和解題之間聯(lián)系不上，還經(jīng)常交叉使用。舉個
例子，給你一把錘子，直接讓你做個板凳出來…我現(xiàn)在又給你一個螺
絲刀，還是讓你做個板凳出來…你會問剛才不是說好用錘子做板凳的
嗎？當然，錘子我也不會用。函數(shù)解題就是這個特點。
2、函數(shù)知識的分布主要是縱深式的，知識樹的每條分支都比較
長，運用起來需要從知識樹的一條分支入手，不斷深入找下去，一直
找到最后與解題相關的部分。很累，大腦容易“抽筋”。
3、敲黑板！函數(shù)學習唯一的王道是：畫圖像！抽象又縱深發(fā)展
的知識點非常燒腦，如何保護一下我們的大腦？當然是圖像！當一個
函數(shù)圖像出現(xiàn)了，我們就可以看圖說話了，單調(diào)性、奇偶性、周期性
等等，一目了然，圖像是把函數(shù)抽象的知識點和具體的解決方法結(jié)合
起來的利器，所以現(xiàn)在先提出一個要求，不管是否需要畫圖，遇到函
數(shù)就嘗試著畫一畫圖像，這會讓你的解題越來越快，思維壓力也越來
越小。
PPT(第 3 頁)：接下來，讓我們來看看函數(shù)的題目到底為了求些什么，
知道了這些，才知道你要總結(jié)什么。總體來講，函數(shù)就是先盡量把圖
像畫出來，然后，1、研究圖的各種特點，比如高、矮、胖、瘦、硬
朗還是柔和、連續(xù)還是斷開等；2、研究圖像上點、線段之間的關系，
或者是他們跟坐標軸之間的關系，比如找到誰大誰小，誰長誰短，還
有跟 x 軸有沒有交點，有幾個，這不就是零點問題了嘛。
（注：PPT 前 3 頁在函數(shù)的每節(jié)課都會出現(xiàn)，是怕有的同學只是抽取
其中一節(jié)上課，不了解總體情況，所以保留。如果學生是從頭跟著學
霸學習函數(shù)，學霸本節(jié)課可以主要介紹標紅部分，其他內(nèi)容根據(jù)情況
自行縮減。）
PPT(第 4 頁)：接下來，我們進入今天的主題——冪函數(shù)，函數(shù)零點
問題（就不總是把模型應用帶上了）。復習一下，基本初等函數(shù)應該
是包括三種：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。因為指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函
數(shù)有非常緊密的聯(lián)系，我們上節(jié)課統(tǒng)一學過了。今天要把剩余的冪函
數(shù)學完。函數(shù)零點問題就是函數(shù)整體的第三大塊內(nèi)容，新的知識點不
多，但是難度卻很大，為什么呢？讓看看這學習要點就知道了。
1、冪函數(shù)。冪函數(shù)從概念到圖像和性質(zhì)都比較簡單，而且我們
從初中開始就有所接觸，理解容易，不過要注意跟指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，
還有就是要注意細節(jié)之處，我們在知識樹中都會有特殊標注。這個冪
函數(shù)的學習可以說非常舒心。
2、函數(shù)零點問題。提起這個問題，又有點頭大，不過如果你能
一直遵循我說的“圖像為王”，頭也不會那么大。所以函數(shù)零點問題
首要的還是畫圖，第二就是開始跟函數(shù)第一節(jié)的各種性質(zhì)結(jié)合了，題
目難起來，圖像會很復雜。然后，這塊的題目，綜合性就非常強了，
可以包含函數(shù)部分所有知識點，因為指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)也都可以應
用在其中了，可以說是函數(shù)問題的大雜燴，經(jīng)常出沒于選擇題 11、
12 題等死亡陣地處。這時候，知識樹就顯現(xiàn)魅力了，你的腦中如果
知識樹的枝杈都非常清晰，我說的注意事項都注意到，習慣都培養(yǎng)好，
那么這里怎么綜合也不用怕了。
PPT(第 5 頁)：我們這節(jié)課就是要構(gòu)建出冪函數(shù)，還有函數(shù)零點的知
識體系樹，并且看幾道利用知識樹來解決的經(jīng)典例題。注意，冪函數(shù)
屬于三大基本初等函數(shù)中的最后一個，函數(shù)零點則是另一個大模塊，
今天雖然一起講，但他們并不是一個模塊。接下來知識樹圖里我們會
看到。
PPT(第 6 頁)：先來把知識樹構(gòu)建好吧。
PPT(第 7 頁)：函數(shù)知識樹的總體概圖我們還是再看一遍，讓你了解
今天所學的是屬于哪個分支，順便自己偷偷回想一下之前函數(shù)概念與
性質(zhì)，指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的內(nèi)容。看清這節(jié)課的冪函數(shù)，還有零點和模
型應用的位置了嗎？這種拆分成幾節(jié)課的章節(jié)我們一定要每次看一
遍總圖，這樣你才知道自己學的東西在哪里。
PPT(第 8 頁)：接下來，我們看一下冪函數(shù)以及函數(shù)零點和模型的總
體知識樹（這里先不必看細節(jié)，學生如果很想看，可以打開清晰版原
圖）。冪函數(shù)剛才提過比較簡單，只是注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)分，以及
一些小性質(zhì)。還有就是冪函數(shù)中有幾個圖像必須數(shù)量掌握，一會兒我
會一一說明。
把冪函數(shù)這最后一個基本初等函數(shù)梳理完后，我們就要學習難
啃的硬骨頭，零點問題了。零點問題只有一個新定理，零點存在性定
理，這個在后期數(shù)學總復習的時候，是一個有點容易遺忘的點，所以
這里希望你就能記清楚，零點問題包括概念、零點存在性定理（這是
用來判斷零點是否存在用的）、數(shù)零點個數(shù)、二分法。這 4 個方面里，
等你學到后期，我建議你的知識樹里可以把二分法刪除，變?yōu)?3 個方
面，這個點幾乎不會考察，我今天也是簡單介紹而已。讓我們開始今
天的畫圖之旅吧，把筆拿出來，跟上我的節(jié)奏。還是提醒一句，里面
的概念、定理等，千萬不要像我的圖里寫得這么細，一定化簡成你自
己能看懂，想得起的就夠了，字越少越好。
PPT(第 9 頁)：讓我們先來梳理冪函數(shù)相關知識點。
1、概念。這個很簡單，y=xα就是冪函數(shù)，這里需要注意的細節(jié)

是，x 前面不可以有 2,3， 這樣的系數(shù)。系數(shù)只能是 1。

2、剛剛講完概念，是不是覺得有點暈，好像跟指數(shù)函數(shù)好像呀，
會不會亂呀，這里再次顯現(xiàn)圖像的魅力。讓我們看圖像與性質(zhì)。圖中
五花八門的圖像看到了嗎？這一下就跟指數(shù)函數(shù)區(qū)分開了，指數(shù)函數(shù)
圖像只有兩類對不對，而冪函數(shù)，隨著α取不同的值，每取一個值，
圖像都會有很大的變化。所以記住，冪函數(shù)是沒有固定形狀的圖像的，
這一類雖然都叫冪函數(shù)，但不是因為圖像相似而分在一起的。
這里我點個名，下面提到的冪函數(shù)，圖像必須畫得非常熟。我
點一個，我們就一起畫一個。
y=x
y=x
2
y=x
3
y=x
-1
y=
冪函數(shù)的圖像就需要熟練畫出這幾個，是不是看起來沒什么規(guī)
律，其實也是有的，而且很簡單。我們來挖掘一下。
第一，冪函數(shù)的定義域并不是都是 R，但是所有的冪函數(shù)在(0,+
∞)上都是有定義的，冪函數(shù)也有過定點，就是（1,1）。
第二，α＞0，就等同于這個冪函數(shù)過原點，在(0,+∞)上是增
函數(shù)。所以題目中如果給出“某個冪函數(shù)(0,+∞)上是增函數(shù)，意思
就是這個冪函數(shù)的α＞0”。同理，如果α＜0，就等同于這個冪函數(shù)
在(0,+∞)上是減函數(shù)。
PPT(第 10 頁)：接下來我們進入零點和模型應用。重點是零點問題。
我們看零點問題分為 4 個方面，概念，零點存在性定理，數(shù)零點個數(shù)，
還有二分法。這里二分法簡單了解即可。
讓我們先從概念開始，函數(shù)零點的概念很容易理解，就是 f(x)=0
時的 x 的值。這里要強調(diào)一下，零點不是“點”，是那個 x 的值。當
然，對于我們解題來說，其實當成點來看完全可以。只是學了一次數(shù)
學，有些基本概念還是要清楚，不然說出去讓小朋友們笑話了。所以
函數(shù) y=f(x)有零點從代數(shù)角度可以理解為，方程 f(x)=0 有實數(shù)根，
從幾何角度就相當于函數(shù) y=f(x)的圖像與 x 軸有交點。這 2 種說法
在題目里經(jīng)常出現(xiàn)，你如果看到就知道這是在說零點問題就可以了。
概念清晰之后，我們來看零點問題這里唯一的一個定理——“零
點存在性定理”。這個定理是用來判斷零點范圍的。具體內(nèi)容為：函
數(shù) y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像：1、要連續(xù)不斷；2、有 f(a)f(b)<0，
那么函數(shù) y=f(x)在區(qū)間（a,b）上存在零點。這個定理其實比較松散，
為什么說松散呢？就是說滿足這 2 個條件，函數(shù)一定有零點，但是不
確定有幾個。我們反過來想一下，如果不滿足這 2 個條件呢？其實也
可以有零點，就算圖像有斷開，兩側(cè)端點值也同號，一樣可能畫出零
點來。那這么一個松散的破定理有什么用呢？要知道，如果我再加第
3 個條件“函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的”，那么我們就徹底知道零點
個數(shù)了，只有一個。就比如 y=x3，假如在[-1,3]這個區(qū)間上，滿足連
續(xù)條件，滿足 f（-1）·f（3）＜0，還滿足單調(diào)遞增，所以可以斷定
這個函數(shù)在這個區(qū)間只有 1 個零點了。這樣就把圖像固定了，零點個
數(shù)也能數(shù)出來了。當然，我舉例這個函數(shù)過于簡單，你已經(jīng)知道它圖
像了，零點也非常熟悉了，如果遇見不熟悉的函數(shù)，就可以按照這個
方法來判斷了。
這個零點存在性定理還想多提兩句，這 3 個條件非常隱秘，連
續(xù)性、單調(diào)性、端點值異號，一般在題目里都不會提示，特別不容易
被察覺，所以一定要有警覺性。比如說有一個函數(shù) f（x）=lnx，從
解析式上一看就是連續(xù)的，還是單調(diào)的，這兩個條件其實不會說出來，
僅僅給你解析式自行觀察，然后問零點在哪個范圍？再給你幾個選項。
這樣一下子就能看出來在考察零點存在性定理，你只要挨個選項去試
驗端點值是否異號就可以了。那如果換一題，給一個函數(shù) f（x），還
是連續(xù)的，單調(diào)的，依然不直說，需要自行觀察解析式。然后問的問
題與零點完全無關，如果你沒有其他的解題思路了，你是否能夠想到，
這里正好可以用到這個定理判斷零點的位置了？然后就能繼續(xù)解題
了？這樣就是把這個定理理解透徹了。
下一個要點，數(shù)零點個數(shù)。這個是重中之重，但是我又沒有什
么可交代的，因為我們一直在做這個工作，就是畫圖像！要數(shù)出零點
的具體個數(shù)，沒別的辦法，就是準確畫出圖像，然后去查數(shù)！或者轉(zhuǎn)
化為兩個函數(shù)交點問題，那就畫出兩個函數(shù)的圖像，然后去查數(shù)！后
面的例題，也會主要聽取這部分的內(nèi)容，所以這里就不多舉例了。
零點這里最后一個知識點，二分法，簡單介紹一下，不怎么考
察。就是如果給你一個函數(shù)，必須是連續(xù)的單調(diào)的，但是不知道零點
在哪里，怎么辦，我們就取一個大大的范圍，看看端點值是不是異號，
如果是，零點就在這里面，那就把這個范圍從中間砍一半，前后兩個
區(qū)間在各自看一下端點值是不是異號，然后在有零點的那個范圍里面，
繼續(xù)從中間砍一半，這樣一半一半砍下來，最終你會無限接近那個零
點。這個方法屬于數(shù)學研究時候經(jīng)常用的，我們現(xiàn)在簡單了解就可以
了。
模型應用這里其實對你未來的工作生活可能影響更大一點，現(xiàn)
在僅僅是簡單了解吧。比如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函
數(shù)等等，這些函數(shù)模型都可能成為工作生活中某些量的計算模型，比
如企業(yè)計算成本利潤呀，建筑上設計橋梁的彎度之類的。
到這里我們的函數(shù)零擔和模型應用的知識樹就描畫完畢了。其
實函數(shù)整個的知識樹也就結(jié)束了。幾節(jié)課下來，如果你認真梳理了你
的知識樹的話，我相信會對函數(shù)有一個全新的認識，而且我現(xiàn)在再問
函數(shù)你都學了什么？我想你不會只是答出幾個散碎的知識點了吧。
PPT(第 11 頁)：接下來，稍微震撼一下。這就是函數(shù)部分的總知識樹！
讓我們來感受一下這幾節(jié)課的學習成果。是不是非常有成就感！也把
你自己畫的圖拿出來看看，能不能拼成這樣一張總圖（這張圖 ppt 內(nèi)
不清晰，請學霸下載原圖與學生一起看。建議學霸抽取幾個小分支再
考察一下學生是否記住，如果沒有記住，正好鞏固一下）。還是強調(diào)
一句，你的圖一定不要這么詳細，越簡潔越好。
PPT(第 12 頁)：OK,函數(shù)部分的所有知識樹構(gòu)建結(jié)束。這節(jié)課讓我們
來一起看一下如何運用知識樹來解決冪函數(shù)和函數(shù)零點的問題吧！這
里還是選取了綜合性題目，直接感受一下如何分析多步驟題目（務必
看視頻，學霸不必過多講解）。
PPT(第 13—14 頁)：第 1 題和答案。
PPT(第 15—18 頁)：第 2 題和答案。
PPT(第 19—21 頁)：第 3 題和答案。
PPT(第 22 頁)：回顧落實。看完視頻題目后，有沒有學會如何運用知
識樹來解題？我們再次總結(jié)一下知識樹的要點吧。
PPT(第 23 頁)：要點總結(jié)。冪函數(shù)這里就是細小的性質(zhì)記住就好，比
如 x 系數(shù)只能為 1，(0,+∞)上圖像的單調(diào)性與α的正負密切相關，
最后怎么區(qū)別它與指數(shù)函數(shù)的關系？記住冪函數(shù)是多種多樣的，圖像
也是各有各的特點，而指數(shù)函數(shù)圖像是形狀類似，只是陡峭度不同的
曲線。
零點問題，零點存在性定理我們磨嘰了半天，就是為了讓你對它
印象再深刻一點點。這個定理使用起來非常隱秘，所以要注意它的 3
個條件，一旦齊全，就可以往零點存在上考慮解題思路。至于問零點
個數(shù)的題目，還是那句說過多次的話，圖像為王！
PPT(第 24 頁)：課后作業(yè)布置，請完成我們?yōu)槟銣蕚涞慕?jīng)典習題。函
數(shù)這里依然特殊說明一下，函數(shù)題目千變?nèi)f化，因為知識點可以滲透
到各種題目當中，我們的作業(yè)能讓你練習到相應的知識點，但是絕不
可能搜集全所有的類型，只做這些題目是萬萬不夠的。一定要自己再
多做練習，多見題型，當然，萬變不離其宗，知識樹上的知識點會幫
助你乘風破浪的。
PPT(第 25 頁)：結(jié)束，我們下次見吧。

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