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2012年全國高中數學聯賽廣東省預賽試題
（考試時間：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）
一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分．把答案填在橫線上
1. 已知，則 .
答案： （或）
解:
2. 函數的最小值等于 .
答案：1
解：因為
所以的最小值為1.
3. 已知 ，其中為常數，且. 若 為常數，則的值為 .
答案：
解：由于
是常數，故，且. 將代入整理得，分解因式得. 若，則，因此，與條件相矛盾. 故，即.
4. 已知方程有兩個相異的正實數解，則實數的取值范圍是 .
答案：
解法一：令，則原方程化為.
根據題意，方程有兩個大于1的相異實根.
令，則
解法二：令，則原方程化為. 注意到這個關于的方程最多有兩個解，而由嚴格單調遞增知每個最多對應一個，因此所求的應當使有兩個相異的實數解，且滿足的兩個實數都是正的. 由于都是正的，故都應大于1. 由于，故，因此必須滿足，及. 因此的取值范圍為. 因此的取值范圍為.
5. 將25個數排成五行五列：
已知第一行,,,,成等差數列，而每一列，，，，（）都成等比數列，且五個公比全相等. 若,,,則的值為______.
答案：
解：可知每一行上的數都成等差數列，但這五個等差數列的公差不一定相等.
由,知且公差為6，故,.
由,知公比.
若，則,，故；
若，則,，故.
6.設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為______.
解：.
函數與函數互為反函數，圖象關于對稱.
函數上的點到直線的距離為.
設函數.
由圖象關于對稱得：最小值為.
7.將2個和2個共4個字母填在4×4方格表的16個小方格內，每個小方格內至多填一個字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法種數共有 .
答案：3960
解：使得2個既不同行也不同列的填法有種，使得2個既不同行也不同列的填法有種，故由乘法原理，這樣的填法共有種.
其中不合要求的有兩種情況：2個所在的方格內都填有的情況有72種；2個所在的方格內恰有1個方格填有的情況有種.
所以，符合條件的填法共有種.
8.一個直角梯形的上底比下底短，該梯形繞它的上底旋轉一周所得旋轉體的體積為，該梯形繞它的下底旋轉一周所得旋轉體的體積為，該梯形繞它的直角腰旋轉一周所得旋轉體的體積為，則該梯形的周長為 .
答案：.
解：設梯形的上底長為，下底長為，高為，則梯形繞上底旋轉所得旋轉體的體積為，因此，即. 同理有，兩式相除得，去分母化簡得，代入得.
注意到直角腰長等于高，梯形繞它的直角腰旋轉一周所得旋轉體為圓臺，其體積為. 將代入化簡得. 結合可解得，因此，由勾股定理知另一條腰的長度為，因此梯形的周長為.
二、解答題：本大題共3小題，共56分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
1．（本小題滿分16分）設橢圓的左、右頂點分別為，點在橢圓上且異于兩點，為坐標原點. 若，證明：直線的斜率滿足.
解法一：設.
由，有，
即. ……4分
從而
所以，，且.
所以， ……16分
解法二：設.
則線段的中點.
.
. ……8分
. ……16分
2．（本小題滿分20分） 設非負實數，， 滿足. 求
的最大值.
解：不妨設.顯然有，.
……………5分
根據AM-GM不等式可得
……………15分
所以S 的最大值為12，這時.
……………20分
3．（本小題滿分20分）求出所有的函數使得對于所有， ，都能被整除.
解：根據題目的條件，令，則能被整除.
因此能被整除，也就是能被整除.
因為與互素，所以能被整除，且，所以，.
……………10分
令，則能被整除，因此.從而，對所有x.
令，則能被整除.從而，對所有y.
綜上所述，，對所有x.
……………20分

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