資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
北師大版數學六年級下冊第一單元第三課時教學設計
課題 圓柱的體積 單元 第一單元 學科 數學 年級 六年級
學習目標 1 使學生經歷觀察、操作、猜想、驗證、類比和歸納等數學活動的過程，探索并掌握圓柱的體積公式，初步學會應用公式計算圓柱的體積，并能解決相關的實際問題。2 使學生在探索圓柱體積公式的過程中，進一步體會轉化的思想方法，培養應用所學知識解決紋的能力，發展初步的推理能力和空間觀念。3 使學生在參與數學活動的過程中，進一步感受數學知識和方法的學習價值，獲得些學習成功的體驗，培養對數學學習的興趣。
重點 掌握圓柱體積公式的推導過程。
難點 掌握圓柱體積公式的推導過程。
教學過程
教學環節 教師活動 學生活動 設計意圖
導入新課 談話導入日常生活中的很多物體都是圓柱形的，例如：我們平時用的水杯，建造房屋時修的柱子等等，都是圓柱形的，那么求水杯可以裝多少水？制作一根柱子需要多少木料等問題，就需要我們用到有關圓柱體積的問題，所以今天我們就來研究圓柱的體積。（板書課題） 聯系生活實際，理解想象！ 創設一個生活情境，提出問題，學習身邊的數學。
講授新課 談話：遇到新問題，老師要提醒大家，我們先不要著急盲目的進行嘗試，因為那樣會走很多彎路，我們應該和已經學過的一些舊知識進行聯系，利用新舊知識之間的聯系，就可以很容易解決新問題。與體積有關的舊知識是我們在五年級的時候已經學會了求長方體和正方體的體積，我們知道長方體和正方體都可以通過底面積乘高來得到，也就是V=SH。那么圓柱體也有底面積和高，它的體積會不會也與底面積和高有密切聯系呢？像這種思考問題的方法，我們把它稱為數學中的猜想。既然是猜想就說明我們還拿不準，我們還可以做進一步的證明。大家回憶我們在推導圓的面積公式的時候是怎么研究的呢？我們是把圓平均分成若干等份，然后拼成一個近似的長方形，就可以求出面積。 那么圓柱體是不是也能夠發生一些變形，然后讓它只是形狀改變了而體積不會發生改變的立體圖形呢？教師一邊用圓柱模型演示操作方法一邊講解：我們可以這樣操作，首先沿著圓柱體的底面直徑把圓柱豎直切開，把圓柱分成了相同的兩個半圓柱，然后我們再把每一部分平均分成若干等份，再把這些圖形拼起來，我們得到了一個近似的長方體，多分幾次我們會發現，如果把圓柱體平均等分的份數越多，我們拼出來的圖形就會越接近長方體。 16等分 32等分 64等分 128等分 大膽想象將圓柱無窮等分！ 請大家觀察轉化后的長方體與轉化前的圓柱體有什么關系？你有什么發現嗎？師總結：這里有“一變三不變”一變：指的就是形狀變化。（由原來的圓柱體轉化成了長方體）三不變：指的就是體積、底面積和高沒有改變。轉化過程中，圓柱的體積既沒有增加也沒有減少，只是重新拼接在一起，所以體積沒有發生變化，底面積由原來圓柱的底面積轉化成了長方體的底面積，正好是求圓的面積的轉化過程，顯然也沒有變化。高是最直觀的，圓柱的高和長方體的高是相等的。長方體的體積是底面積乘以高，而長方體的體積，底面積還有高與圓柱的體積，底面積還有高都是分別對應相等的，按照等量代換，我們也可以確認，圓柱的體積，其實是等于它的底面積乘以高。所以我們剛才的猜想是正確的。有的同學提出了新問題：長方體的體積等于長乘寬乘高，如果按照這個公式，還能推出圓柱的體積有同樣的結論嗎？總結：字母公式中的πr·r·h其中的三部分正好對應的就是長方體的長、寬和高，πr 就是圓柱的底面積，所以按照長乘寬乘高的過程一樣可以推導出圓柱的體積公式。過渡：有了圓柱體的體積共識，我們剛才遇到的問題就可以解決啦 3.14×0.4 ×5 =3.14×0.16×5=3.14×0.8=2.512（m ）答：需要2.512m 木材。3.14 ×（6 ÷ 2） ×16=3.14×9×16=452.16（cm ）=452.16（毫升）答：一個杯子能裝452.16毫升水。過渡：知道了圓柱的體積公式，怎樣來應用呢 1金箍棒的底面周長是12.56厘米，長是200厘米，這根金箍棒的體積是多少立方厘米？ 12.56÷3.14÷2=2（厘米）————底面半徑3.14×2 =12.56（平方厘米）——底面積12.56×200=2512（立方厘米）——體積答：這根金箍棒的體積是2512立方厘米。2 如果這根金箍棒是鐵制的，每立方厘米鐵的重是7.9克，這根金箍棒重多少千克？7.9×2512=19844.89（克）答：這根金箍棒的重是19.9448千克。課堂練習1 分別計算下列各圖形的體積，再說說這幾個圖形體積計算方法之間的聯系。 2 計算下面各圓柱的體積。3 這個杯子能否裝下3000mL的牛奶？ 4 光明村李大伯家挖一口圓柱形的水井，底面周長是3.14m,深是4m。挖出了多少立方米的土？5 一個裝滿稻谷的圓柱形糧囤，底面面積為2m ,高為80cm。每立方米搗鼓的質量約為700kg，這個糧囤存放的稻谷的質量約為多少千克？6 下面的長方體和圓柱體哪個體積大？說說你的比較方法。 7 如圖，求出小鐵塊的體積。 長方體體積公式：底面積乘高或者是長乘寬乘高。把圓平均分成若干個小扇形，然后把這些小扇形拼成一個近似的長方形，拼成的長方形的長等于圓的周長的一半，寬等于圓的半徑。動手操作小組討論集體匯報。長方體的長=圓柱體底面周長的一半（a=πr）長方體的寬=圓柱底面半徑 (b=r)長方體的高=圓柱的高(h=h)V長=abhV柱=πr·r·h=πr hV柱=sh獨立分析理解問題，尋找解決問題的方法。獨立解答問題，集體討論匯報。分析理解問題,獨立解答小組討論問題答案嘗試動手操作小組合作尋找問題答案。 進一步提出問題，引導學生從實際問題中引導學生尋求一種更廣泛的方法來解決學習中的問題。進一步從實際需要提出問題，激發學生從問題中思考尋求一種更廣泛的方法來解決圓柱體積的問題的欲望。通過想象，進一步發展學生的空間觀念，由“形”到“體”；同時使學生感悟圓柱的體積與它的底面積和高的聯系，通過圓面積推導過程的再現，為實現經驗和方法的遷移作鋪墊。首先通過學生的聯想建立圓柱體和長方體的聯系，初步建立轉化的雛形，然后再通過實踐操作，動畫演示，驗證了學生的發現，從學生的認識和發現中，圍繞著圓柱體和長方體之間的聯系，抽象出圓柱體的體積公式。這個過程，學生從形象具體的知識形成過程（想象、操作、演示）中，認識得以升華（抽象的認識公式）加深對剛學知識的分析和理解。讓學生靈活運用公式進行分析和計算。教師提出問題，學生帶著問題大膽猜測、動手體驗。這樣學生在自主探索、體驗、領悟的過程中成為了發現者和創造者。讓不同層次的學生談學習收獲，可使每個學生都體驗到成功的喜悅。這樣，學生的收獲不僅只有知識，還包括能力、方法、情感等，學生體驗到學習的樂趣，增強了學好數學的信心。
課堂小結 這節課你有什么收獲？
板書 圓柱的體積根據圓柱與近似長方體的關系推導公式：長方體體積=底面積×高圓柱體體積=底面積×高V= s h
可以根據底面周長求出底面半徑，再求出底面積。
先要算出底面的面積。
8cm
8cm
6cm
6cm
3cm
5cm
6cm
4cm
6dm
10cm
1cm
5cm
4cm
S=60cm
14cm
20cm
2dm
6cm
6cm
4dm
4dm
10cm
5cm
7cm
10cm
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第一單元《圓柱的體積》導學單
【學習目標】
1 使學生經歷觀察、操作、猜想、驗證、類比和歸納等數學活動的過程，探索并掌握圓柱的體積公式，初步學會應用公式計算圓柱的體積，并能解決相關的實際問題。
2 使學生在探索圓柱體積公式的過程中，進一步體會轉化的思想方法，培養應用所學知識解決紋的能力，發展初步的推理能力和空間觀念。
3 使學生在參與數學活動的過程中，進一步感受數學知識和方法的學習價值，獲得些學習成功的體驗，培養對數學學習的興趣。
【學習重點】掌握圓柱體積公式的推導過程。
【學習難點】掌握圓柱體積公式的推導過程。
【知識鏈接】
1 圓柱體的體積=（ ），字母公式是（ ）
2 一個圓柱體的底面積是105平方分米，高是40分米，體積是（ ）。
3 把一個底面直徑和高都是2分米的圓柱切拼成一個近似的長方體，這個長方體的長約是（ ）分米，寬約是（ ）分米，底面積約是（ ）平方分米，體積約是（ ）立方分米。
4 已知圓柱體桶底面半徑是3米，高是4米，它的底面積是（ ） ，容積是（ ）。
5 判斷（對的打√ ，錯的畫╳ ）
① 如果一個正方體和一個圓柱體底面周長相等，高也相等，則他們的體積也相等。（ ）
② 體積相等的兩個圓柱，表面積也相等。（ ）
③ 圓柱體的體積和他的容積一樣大。（ ）
【合作探究】
圓柱體積公式的推導方法
小組合作推導圓柱體積公式。
（1）把圓柱的底面積平均分成若干個小扇形，然后將圓柱切開，再把他們拼起來，就轉化成近似的長方體，平均分成的份數越多，拼成的圖形就會越接近長方體。
（2）討論觀察拼成的長方體，和原來圓柱體有怎樣的關系。
長方體的長=圓柱體底面周長的一半
（a = πr）
長方體的寬=圓柱底面半徑
(b = r)
長方體的高=圓柱的高
(h = h)
V長=abh
V柱=πr·r·h
=πr h
V柱=sh
2 請你設計一個方案，測量并計算出1枚1元硬幣的體積。
3 課后探究：尋找日常生活中三個粗細不同的圓柱形物體，
分別估計他們的體積。
測量相關數據，計算它們的體積。
（3）比較估計值與計算值，哪一種圓柱體的體積你不容易估準？
【方法寶典】
圓柱體體積=底面積×高
V=sh=πr h
【達標檢測】
一、填空。
1 一個圓柱的底面積是18cm ，高是6cm，它的體積是（ ）cm .
2 一個圓柱形水桶，從里面量是底面直徑是4dm，高是5dm，這個水桶的容積是（ ）升。
3 將一張長是4cm，寬是3cm的長方形紙片以長邊為軸旋轉一周得到一個圓柱，這個圓柱的體積是（ ）cm 。
4 一種圓柱形水泥預制件的體積是28.26m ,底面積是6.28m ，它的高是（ ）。
二 判斷題
1 一個圓柱的底面積越大，體積就越大。 （ ）
2 長方體、正方體、圓柱的體積都可以用“底面積×高”來計算。 （ ）
3 一個圓柱的底面半徑擴大到原來的2倍，高不變，那么它的體積也擴大到原來的2倍。 （ ）
4 兩個圓柱的體積相同，底面積大的圓柱的高反而小。（ ）
三 選擇題
1 圓柱的底面半徑和高都擴大到原來的2倍，它的體積擴大到原來的（ ）倍。
A 8 B 6 C 4 D 2
2 一個圓柱形水桶，底面內直徑是40厘米，高是50厘米，水桶的（ ）大約是是62.8立方分米。
A 體積 B 容積 C 表面積 D 底面面積
3 一個圓柱體與一個長方體的體積相等，長方體的長是15厘米，寬是6厘米，高是3厘米，圓柱體的底面積是30平方厘米，它的高是（ ）。
A 6厘米 B 8厘米 C 9厘米 D 18厘米
4 一個圓柱體，底面周長是37.68厘米，高是2厘米，它的體積是（ ）。
A 74.36立方厘米。 B 226.08立方厘米。 C 76.36立方厘米。 D 15.72立方厘米。
5 兩個體積相等的圓柱體，它們可能是（ ）。【答案不唯一】
A 底面積和高都相等。 B 底面積相等，高不相等。
C 高相等，底面積不行等。 D 底面積和高都不等。
四 解答問題
曲米有一個棱長為2分米的正方體木塊，將它削成一個最大的圓柱，圓柱的體積是多少立方米？
一個圓柱形的玻璃杯，從里面量得它的內壁高10厘米，杯口直徑為8厘米，淘氣用這個杯子裝一袋500毫升的牛奶，能裝下嗎？
3一個圓柱形汽油罐，底面周長是6.28米，高是10米。如果每立方米汽油的質量約為0.7噸，這個油罐可裝多少噸汽油？
4一個裝有水的圓柱形水槽，底面直徑是10厘米，高是10厘米，一塊石頭完全浸在水里，量得水深是8.5厘米，將石頭取出后，水深是7厘米，這塊石頭的體積是多少？
5把3個完全相同的小圓柱合成一個大圓柱后，表面積減少了12.56平方厘米。一直每個小圓柱的高是3厘米，那么每個小圓柱的體積是多少立方厘米？
參考答案
一、填空。
1 108
62.8
113.04
4.5米
二、判斷題。
1 ╳
√
╳
4 √
三、選擇題。
1 A
B
C
B
5 AD
四、解答問題
1 3.14×（2÷2） ×2=3.14×1×2=6.28（立方分米）
2 3.14×（8÷2） ×10=3.14×16×10=502.4（立方厘米）=502.4毫升 502.4>500 能
3 3.14×（6.28÷3.14÷2） ×10×0.7=3.14×1×10×0.7=21.98（噸）
4 3.14×(10÷2) ×（8.5-7）=3.14×25×1.5=117.75（立方厘米）
5 12.56÷4=3.14（平方厘米） 3.14×3=9.42（立方厘米）
怎樣才能準確地測量 高呢？
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圓柱的體積
北師大版 六年級下
新知導入
講解新知

“新問題”
“舊知識”
s s
h h
v=sh
h
s
回顧
化曲為直
新知講解
？
轉化
新知講解
將圓柱體進行轉化
16等分
新知講解
將圓柱體進行轉化
32等分
新知講解
將圓柱體進行轉化
64等分
新知講解
將圓柱體進行轉化
128等分
新知講解
將圓柱體進行轉化
無窮等分
新知講解
觀察轉化后的長方體和轉化前的圓柱體你有什么發現？
形狀變了
體積 底面積 高
= ×
新知講解
長方體的長=圓柱底面周長的
長方體的寬=圓柱底面半徑
長方體的高=圓柱體的高
a = πr
b = r
h = h
V=a·b·h
V=πr·r·h
=πr h
V=sh
新知講解
3.14×0.4 ×5
=3.14×0.16×5
=3.14×0.8
=2.512（m ）
答：需要2.512m 木材。
合作探究
3.14×（6÷2） ×16
=3.14×9×16
=452.16（cm ）
=452.16（毫升）
答：一個杯子能裝452.16毫升水。
合作探究
試一試
1金箍棒的底面周長是12.56厘米，長是200厘米，這根金箍棒的
體積是多少立方厘米？
先要算出底面的面積。
可以根據底面周長求出底面半徑，再求出底面積。
12.56÷3.14÷2=2（厘米）——底面半徑
3.14×2 =12.56（平方厘米）—底面積
12.56×200=2512（立方厘米）—體積
答：這根金箍棒的體積是2512立方厘米。
合作探究
2 如果這根金箍棒是鐵制的，每立方厘米鐵的重是7.9克，這根
金箍棒重多少千克？
7.9×2512=19844.89（克）
答：這根金箍棒的重是19.9448千克。
課堂練習
把體積是250毫升的牛奶倒入圓柱形的杯子中，杯子的直徑是5厘米，高是12厘米，能裝下碼？
3.14×（5÷2） ×12
=3.14×6.25×12
=19.625×12
=235.5（立方厘米）
=235.5（毫升）
答：能裝下。
235.5<250
課堂練習
把一個棱長10厘米的正方體木塊，削成一個最大的圓柱體， 要削去多少立方厘米的邊角料？
10×10×10=1000（立方厘米）
3.14×（10÷2） ×10
=3.14×25×10
=78.5×10
=785（立方厘米）
1000-785=215（立方厘米）
答：要削去215立方厘米的邊角料。
課堂總結
通過這節課的學習你有哪些收獲？
板書設計
圓柱的體積
根據圓柱與近似長方體的關系推導公式：
長方體體積=底面積×高
圓柱體體積=底面積×高
V = s h
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