資源簡(jiǎn)介

極坐標(biāo)與參數(shù)方程
一、知識(shí)梳理
1、極坐標(biāo)系
1）定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長(zhǎng)度，θ表示從Ox到OM的角，ρ叫做點(diǎn)M的極徑，θ叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)(ρ, θ)就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。
2）極坐標(biāo)有四個(gè)要素：①極點(diǎn)；②極軸；③長(zhǎng)度單位；④角度單位及它的方向．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一．一個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(,＋)或（，＋），(Z)．極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取．若對(duì)、的取值范圍加以限制．則除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0，0≤＜或<0，＜≤等．
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的．即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的．
3）直線相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
4）圓相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
5、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：
二、參數(shù)方程
曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即　　并且對(duì)于t每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)．
（二）常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程如下：
1、過(guò)定點(diǎn)（x0，y0），傾斜角為的直線：
其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P（x0，y0）為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離．
根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論．
．設(shè)A、B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則＝＝．
．線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于．
2、中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：
　　（為參數(shù)）
3、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的橢圓：
　　　　（為參數(shù)）　　（或　）
4、中心在點(diǎn)（x0,y0）焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程
二、經(jīng)典例題
題型一：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化
1）直線方程：
例1、寫出直線，，和的直角坐標(biāo)方程；
寫出直線的極坐標(biāo)方程。
圓的方程
例2、寫出，，的直角坐標(biāo)方程。
寫出，的極坐標(biāo)方程。
題型二：參數(shù)方程與普通方程的互化
1）直線方程
例3、寫出直線為參數(shù))，和的普通方程。
寫出經(jīng)過(guò)點(diǎn),傾斜角的參數(shù)方程；
圓的方程
例4、寫出和為參數(shù))的普通方程。
寫出和的參數(shù)方程
3）橢圓方程
例5、寫出和的普通方程
寫出和的參數(shù)方程。
在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．求C和l的直角坐標(biāo)方程；
題型三：交點(diǎn)問(wèn)題
在極坐標(biāo)系下，已知圓和直線。
(1)求圓和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線于圓公共點(diǎn)的極坐標(biāo)。
例6、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（Ⅰ）將的方程化為普通方程；（Ⅱ）以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程是， 求曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo).
例7、在直角坐標(biāo)系中,以O(shè)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù),).
(Ⅰ)求C1的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)當(dāng)C1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型四：軌跡問(wèn)題
例7、在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos (θ－)＝1(0≤θ＜2π)，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)．
(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；
(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程
例8、已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos(θ－)＝2.
(1)將圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
(2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程．
例9、以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，在兩種坐標(biāo)系中取相同單位的長(zhǎng)度. 已知直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為，點(diǎn)是曲線上的一動(dòng)點(diǎn).
（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程； (Ⅱ) 求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.
題型五：弦長(zhǎng)問(wèn)題
例1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ＝2sin θ.
(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；
(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3，)，圓C與直線l交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|的值．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．
例3、已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))．
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．
例4、已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(3,5)，傾斜角為.
(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值．
例5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P( ，1)，傾斜角α＝.在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos(θ－).
(1)寫出直線l的參數(shù)方程，并把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|的值．
例6、已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2cos 2θ＝8，曲線C2的極坐標(biāo)方程為θ＝，曲線C1，C2相交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)；
(2)曲線C1與直線(t為參數(shù))分別相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度．
例7、極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝8cos θ.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)為F，求＋的值．
例8、在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，說(shuō)明理由；
(Ⅱ) 設(shè)直線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為、，求的值.
例9、直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),是上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足=,點(diǎn)的軌跡為. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.
例10、已知曲線 (t為參數(shù)) ， (為參數(shù))（Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;
（Ⅱ）過(guò)曲線的左頂點(diǎn)且傾斜角為的直線交曲絨于A，B兩點(diǎn)，求.
例11、過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線交于點(diǎn)，
求的最小值及相應(yīng)的的值。
例12、在平面直角坐標(biāo)系中, 以為極點(diǎn), 軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為, 直線l的參數(shù)方程為: (為參數(shù)) ，兩曲線相交于, 兩點(diǎn).
（Ⅰ）寫曲線直角坐標(biāo)方程和直線普通方程;（Ⅱ）若, 求的值．
例13、在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）直線的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．
例14、已知曲線C的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù)) ．
(I) 將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程和普通方程；
(Ⅱ) 若直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，試求實(shí)數(shù)m的值
題型六：范圍與最值問(wèn)題
例1、在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）；以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為. 由直線上的點(diǎn)向圓引切線，求切線長(zhǎng)的最小值.
例2、已知在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為
（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的取值范圍.
例3、以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，在兩種坐標(biāo)系中取相同單位的長(zhǎng)度. 已知直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為，點(diǎn)是曲線上的一動(dòng)點(diǎn).
（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程； (Ⅱ) 求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.
例4、已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)) ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若是直線與圓面≤的公共點(diǎn)，求的取值范圍．
例5、已知直線l：(t為參數(shù))，曲線C1：(θ為參數(shù))．
(1)設(shè)l與C1相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；
(2)若把曲線C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，得到曲線C2，設(shè)點(diǎn)P是曲線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．
例6、在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－6.若以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)求圓C的參數(shù)方程；
(2)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x，y)是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，試求x＋y的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)．
例7、在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為．
（1）求與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）過(guò)原點(diǎn)作直線，使與， 分別相交于點(diǎn)， （， 與點(diǎn)均不重合），求的最大值．
例8、已知直線的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（其中）．
(1)若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，且點(diǎn)在曲線內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若,當(dāng)變化時(shí)，求直線被曲線截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．
例9、在直角坐標(biāo)系中，圓，圓,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
(1)求的極坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)曲線（為參數(shù)且）,與圓交于，求的最大值．
例10、在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4．
(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．
例11、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知M是橢圓＋＝1上在第一象限的點(diǎn)，A(2，0)，B(0，2)是橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)，求四邊形OAMB的面積的最大值．
題型七：面積問(wèn)題
例1、在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；
(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積．
例2、在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．
例3、直線的極坐標(biāo)方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，
曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))．
(1)將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,得到曲線,寫出的極坐標(biāo)方程；
(2)射線與交點(diǎn)為，射線與交點(diǎn)為，求四邊形的面積．
例4、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為
（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求曲線，的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在極坐標(biāo)系中，射線與曲線，分別交于，兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），
定點(diǎn)，求的面積．
例5、在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓的方程為，直線的極坐標(biāo)方程為．
(I )寫出的極坐標(biāo)方程和的平面直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 若直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)與的交點(diǎn)為與的交點(diǎn)為求的面積．
例6、在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；
（2）直線的極坐標(biāo)方程為，若與的公共點(diǎn)為，且是曲線的中心，求的面積．
例7、在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4．
(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．
題型八：綜合類型
例1、已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線的坐標(biāo)系方程是，正方形的頂點(diǎn)都在上，
且依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)的極坐標(biāo)為
求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，求的取值范圍。
例2、在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a＞0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ.
(1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；
(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.
例3、（2017新課標(biāo)Ⅰ）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))．
(1)若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)若上的點(diǎn)到距離的最大值為，求．
例4、在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，的軌跡為曲線．
(1)寫出的普通方程；
(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)：
，為與的交點(diǎn)，求的極徑．

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