資源簡介

學習改變命運，思考成就未來! 第 2講
30 道典型幾何題解析
1．【加減法求面積】如圖是一個直徑為 3cm的半圓，讓這個半圓以 A 點為軸沿逆時針方
向旋轉 60 ，此時 B 點移動到 B ' 點，求陰影部分的面積．(圖中長度單位為 cm ，圓周率按
3計算)．
B'
60
A B
【解析】面積 圓心角為 60 的扇形面積 半圓 空白部分面積(也是半圓) 圓心角為
60 3
60 的扇形面積 π 32 π 4.5(cm2 )．
360 2
2．【割補法求面積】求下列各圖中陰影部分的面積(圖中長度單位為 cm ，圓周率按 3 計
算)：
4
3
⑴ ⑵
1
2
1 1
⑶ ⑷
【解析】⑴ 4.5 ⑵ 4 ⑶1 ⑷ 2
3．【差不變】三角形 ABC 是直角三角形，陰影 I 的面積比陰影 II 的面積小 25cm2 ，
AB 8cm，求 BC 的長度．
A
I
II
B C
1
學習改變命運，思考成就未來! 第 2講
【解析】由于陰影 I的面積比陰影 II 的面積小 25cm2 ，根據差不變原理，直角三角形
ABC 面積減去半圓面積為 25cm2 ，則直角三角形 ABC 面積為
2
1 8
π 25 8π 25 ( cm
2 )，
2 2
BC 的長度為 8π 25 2 8 2π 6.25 12.53 ( cm )．
4．【等量代換】下圖(單位：厘米)是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面
積.
20－5
5
8 8
20 20
【解析】所求面積等于圖中陰影部分的面積，為(20 5 20) 8 2 140 (平方厘米)．
5．【等面積變形】如下圖，長方形 AFEB和長方形 FDCE 拼成了長方形 ABCD，長方形
ABCD的長是 20，寬是 12，則它內部陰影部分的面積是多少
A B
F E
D C
【解析】根據面積比例模型可知陰影部分面積等于長方形面積的一半，為
1
20 12 120．
2
6．【面積與旋轉】如圖所示，直角三角形 ABC 的斜邊 AB 長為 10 厘米， ABC 60 ，
此時 BC 長 5 厘米．以點 B 為中心，將 ABC 順時針旋轉120 ，點 A、C 分別到達點 E 、
D 的位置．求 AC 邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積．( π 取 3)
E E
(1)
C C
(2)
D AA B B D
【解析】注意分割、平移、補齊．
如圖所示，將圖形⑴移補到圖形⑵的位置，
2
學習改變命運，思考成就未來! 第 2講
因為 EBD 60 ，那么 ABE 120 ，
1
則陰影部分為一圓環的 ．
3
7．【圖形與平移】用同樣大小的瓷磚鋪一個正方形地面，兩條對角線上鋪黑色的，其它
地方鋪白色的，如圖所示．如果鋪滿這塊地面共用 101 塊黑色瓷磚，那么白色瓷磚用了多
少塊？
圖１ 圖 2
【解析】我們可以讓靜止的瓷磚動起來，把對角線上的黑瓷磚，通過平移這種動態的
處理，移到兩條邊上(如圖 2)．在這一轉化過程中瓷磚的位置發生了變化，但數量沒
有變，此時白色瓷磚組成一個正方形．大正方形的邊長上能放 (101 1) 2 51(塊)，白
色瓷磚組成的正方形的邊長上能放： 51 1 50 (塊 )，所以白色瓷磚共用了：
50 50 250(0塊)．
8. 【化整為零】正方形 ABCD與等腰直角三角形 BEF放在一起（如圖），M、N點為正方
2
形的邊的中點，陰影部分的面積是 14cm ，三角形 BEF的面積是多少平方厘米？
【解析】因為 M、N 是中點，故我們可以將該圖形進行分割，所得圖形如下
F F
M M
A D A D
N N
B E B E
C C
圖形中的三角形面積都相等，陰影部分由 7 個三角形組成，且其面積為 14 平方厘米，
故一個三角形的面積為 2 平方厘米，那么三角形 BEF的面積是 18 平方厘米。
9. 【割補法】如圖所示的四邊形的面積等于多少？
C O
13
13 1313
12 D 12
B
12 12
A
【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.
我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換：
3
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把三角形OAB繞頂點O逆時針旋轉，使長為13的兩條邊重合，此時三角形
OAB將旋轉到三角形OCD 的位置.這樣，通過旋轉后所得到的新圖形是一個
邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積.
因此，原來四邊形的面積為12 12 144 .(也可以用勾股定理)
10．【巧求周長】下圖中的陰影部分 BCGF 是正方形，線段 FH 長18 厘米，線段 AC 長
24厘米，則長方形 ADHE 的周長是 厘米．
F G
E H
A D
B C
【解析】本題需要注意，長方形 ADHE 的寬應等于正方形BCGF 的邊長．
由于圖中陰影部分 BCGF 是個正方形，其四條邊的邊長都相等，且等于長方形 ADHE 的
寬． FH AC的和應為長方形 ADHE 的長加上正方形 BCGF 的邊長，所以等于長方形
ADHE 的長與寬之和．所以長方形 ADHE 的周長為： (18 24) 2 84厘米．
11．【周長與面積】有 9 個小長方形，它們的長和寬分別相等，用這 9 個小長方形拼成的
大長方形的面積是 45平方厘米，求這個大長方形的周長．
【解析】從圖上可以知道，小長方形的長的 4 倍等于寬的 5 倍，所以長是寬的 5 4 1.25
倍．每個小長方形的面積為 45 9 5平方厘米，所以1.25 寬 寬 5，所以寬為 2 厘米，
長為 2.5厘米．大長方形的周長為 (2.5 4 2 2.5) 2 29厘米．
12．【梯形蝴蝶】如圖， ABCD與 AEFG 均為正方形，三角形 ABH 的面積為 6 平方厘
米，圖中陰影部分的面積為 ．
D C D C
F E F E
H H
G A B G A B
【解析】如圖，連接 AF ，比較 ABF 與 ADF ，由于 AB AD， FG FE ，即 ABF 與
ADF 的底與高分別相等，所以 ABF 與 ADF 的面積相等，那么陰影部分面積與
ABH 的面積相等，為 6 平方厘米．
13．【曲線開型面積】如右圖，有 8 個半徑為 1 厘米的小圓，用它們的圓周的一部分連成
4
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一個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心．則花瓣圖形的面積是多少平方厘米？ ( π 取
3)
【解析】本題直接計算不方便，可以利用分割移動湊成規則圖形來求解．
如右上圖，連接頂角上的 4 個圓心，可得到一個邊長為 4 的正方形．可以看
出，與原圖相比，正方形的每一條邊上都多了一個半圓，所以可以把原花瓣
圖形的每個角上分割出一個半圓來補在這些地方，這樣得到一個正方形，還
1
剩下 4 個 圓，合起來恰好是一個圓，所以花瓣圖形的面積為
4
42 π 12 19 (平方厘米)．
14．【曲線型面積】如圖，ABCD 是邊長為 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分別為直
徑畫半圓，求這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積．( π 取 3)
A D A D
B a C B a C
【解析】這道題目是很常見的面積計算問題．陰影部分是一個花瓣狀的不規則圖形，
不能直接通過面積公式求解，觀察發現陰影部分是一個對稱圖形，我們只需要在陰影
部分的對稱軸上作兩條輔助線就明了了．
如圖，這樣陰影部分就劃分成了 4 個半圓減去三角形，我們可以求得，
21 a 1 a 1
S 2陰影 4 S半圓 S三角形 4 a a
2 2 2 2 2
15．【表面積計算】中是一個邊長為 4 厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中
心位置挖去一個邊長 1 厘米的正方體，做成一種玩具．它的表面積是多少平方厘米？
5
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【解析】根據題意可知，挖去的 6 個邊長 1 厘米的正方體相互之間是獨立的，所以挖
去之后，原正方體的表面積相當于增加了六個小正方體的側面積，所以現在它的表面
積為： 4 4 6 1 1 4 6 120平方厘米．
16．【共高模型】如圖，把四邊形 ABCD 的各邊都延長 2 倍，得到一個新四邊形 EFGH
如果 ABCD 的面積是 5 平方厘米，則 EFGH 的面積是多少平方厘米
【解析】如下圖，連接 BD，ED，BG，
EA
有 EAD、 ADB 同高，所以面積比為底的比，有 S ． EAD S ABD 2S ABD
AB
AH
同理 S EAH S EAD 3S EAD 6S ABD．
AD
類似的，還可得 S FCG 6S BCD，有
S EAH S FCG 6 S ABD S BCD 6SABCD =30 平方厘米．
連接 AC，AF，HC，還可得 S EFB 6S ABC ，S DHG 6S ACD ，
有 S EFB S DHG 6 S ABC S ACD 6SABCD =30 平方厘米.
有四邊形 EFGH 的面積為 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面積和，即為
30+30+5=65(平方厘米.)
17．【等積變形】圖中 ABCD 是個直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以 AD 為一邊向外作
長方形 ADEF，其面積為 6.36 平方厘米。連接 BE 交 AD 于 P，再連接 PC。則圖中陰影部
分的面積是( )平方厘米。
6
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F E F E
P
A D
P
A D
B C B C
【解析】如圖,連接 AE，BD。因為 AD∥BC，則： S△PDC S△PDB ,又 AB∥ED，則：
S△EAD S△EBD ,所以，
1 1
S陰影 S△EPD S△PDC S△EPD S△PDB S△EDA S△ADEF 6.36 3.18（平方厘米）
2 2
18．【一半模型】一個長方形分成 4 個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的
15%，黃色三角形面積是 21cm2 ．問：長方形的面積是多少平方厘米？
黃
紅 紅
綠
【解析】黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于長方形的長，高相加為長方形的
寬，所以黃色三角形與綠色三角形的面積和為長方形面積的 50% ，而綠色三角形面積
占長方形面積的15%，所以黃色三角形面積占長方形面積的50% 15% 35%．
已知黃色三角形面積是 21cm2 ，所以長方形面積等于 21 35% 60（ cm2）．
19．【表面積計算】如圖，棱長分別為1厘米、 2 厘米、 3厘米、5 厘米的四個正方體緊貼
在一起，則所得到的多面體的表面積是多少平方厘米？
【解析】(法 1)四個正方體的表面積之和為：
(12 22 32 52 ) 6 39 6 234(平方厘米)，
重疊部分的面積為：
12 3 (22 2 12) (32 22 12) (32 22 12) 3 9 14 14 40 (平方厘米)，
所以，所得到的多面體的表面積為： 234 40 194(平方厘米)．
7
學習改變命運，思考成就未來! 第 2講
(法 2)三視圖法．從前后面觀察到的面積為52 32 22 38平方厘米,從左右
兩個面觀察到的面積為52 32 34平方厘米，從上下能觀察到的面積為
52 25平方厘米．
表面積為 38 34 25 2 194 (平方厘米)．
20．【表面積計算】用棱長是 1 厘米的立方塊拼成如右圖所示的立體圖形，問該圖形的表
面積是多少平方厘米
【解析】該圖形的上、左、前三個方向的表面分別由 9、7、7塊正方形組成．
該圖形的表面積等于 (9 7 7) 2 46個小正方形的面積，所以該圖形表面積
為 46 平方厘米．
21．【取特殊點】長方形 ABCD的面積為 36， E 、 F 、G 為各邊中點， H 為 AD 邊上任
意一點，問陰影部分面積是多少？
A (H) D
A H D
E G
E G
B B F CF C
【解析】特殊點法．由于 H 為 AD 邊上任意一點，找 H 的特殊點，把 H 點與 A 點重合
（如左上圖），那么陰影部分的面積就是 AEF 與 ADG的面積之和，而這兩個三角形
1 1
的面積分別為長方形 ABCD面積的 和 ，所以陰影部分面積為長方形 ABCD面積的
8 4
1 1 3 3
，為36 13.5．
8 4 8 8
22．【共高模型】如圖，長方形 ABCD的面積是 2 平方厘米， EC 2DE ， F 是 DG 的中
點．陰影部分的面積是多少平方厘米？
A D A D
F E x F
E
y
x
B C y
G B CG
【解析】如下圖，連接 FC ， DBF 、 BFG 的面積相等，設為 x 平方厘米; FGC 、
8
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1
DFC的面積相等，設為 y 平方厘米，那么 DEF 的面積為 y 平方厘米．
3
1 1 1 x y 0.5 ①
S BCD 2x 2y 1，S BDE =x+ y=l ．所以有 ．比較②、①式，②
3 3 3 3x y 1 ②
式左邊比①式左邊多 2x ，②式右邊比①式右邊大 0.5，有 2x 0.5，即
2 5 5
x 0.25 , y 0.25．而陰影部分面積為 y y 0.25 平方厘米．
3 3 12
23．【周長與面積】如圖，大長方形的面積是小于 200的整數，內部有三個邊長為整數的
正方形 A、B、C，正方形 B的邊長是長方形長的 7/16，正方形 C的邊長是長方形寬的
1/4，那么剩余黑色區域的面積是多少？
16 3
【解析】如圖，長方形長的 =寬的 ，可求出長與寬的比，再根據面積小于 200 確定面
9 4
9 3
積大小，從長方形面積中減去 A、B、C 就是陰影部分面積。長× =寬× ，長：寬=4:3
10 4
9
面積＜200 的整數，所以長 2=16，寬=12，面積=192SA =（16 ）=81，
16
7 1
SB =（16 ）
2=49 SC =（12 ）
2=9 S陰影=192-81-19-9=53。
16 4
24．【梯形蝴蝶】如圖所示， BD、CF 將長方形 ABCD分成 4 塊， DEF 的面積是 5 平
方厘米， CED的面積是 10平方厘米．問：四邊形 ABEF 的面積是多少平方厘米？
A F D A F D
5 5
E 10 E 10
B C B C
【解析】連接 BF ，根據梯形模型，可知三角形 BEF 的面積和三角形DEC 的面積相等，
即其面積也是 10 平方厘米，再根據蝴蝶定理，三角形 BCE 的面積為10 10 5 20 (平
方厘米)，所以長方形的面積為 20 10 2 60 (平方厘米)．四邊形 ABEF 的面積為
60 5 10 20 25(平方厘米)．
9
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25．【面積與重疊】奧運會的會徽是五環圖，一個五環圖是由內圓直徑為 6 厘米，外圓直
徑為 8 厘米的五個環組成，其中兩兩相交的小曲邊四邊形(陰影部分)的面積都相等，已知
五個圓環蓋住的面積是77.1平方厘米，求每個小曲邊四邊形的面積．( π 3.14 )
【解析】⑴每個圓環的面積為： π 42 π 32 7π 21.98 (平方厘米)；
⑵五個圓環的面積和為： 21.98 5 109.9 (平方厘米)；
⑶八個陰影的面積為：109.9 77.1 32.8 (平方厘米)；
⑷每個陰影的面積為：32.8 8 4.1(平方厘米)．
26．【圓柱體表面積】如圖是一個半徑為 4 厘米，高為 4厘米的圓柱體，在它的中間依次
向下挖半徑分別為 3厘米、2 厘米、1 厘米，高分別為 2厘米、1 厘米、0.5厘米
的圓柱體，則最后得到的立體圖形表面積是多少平方厘米？
【解析】圓柱挖掉 3 個小圓柱，表面積會增 3 個圓柱的側面積，底面積總和不變。
總表面積為：2×3π×2+2×2π×1+2×1π×0.5=12π+4π+1π=17π
27．【等積變形】輸液 100 毫升，每分鐘輸 2.5毫升．如圖，請你觀察第 12 分鐘時圖中的
數據，問：整個吊瓶的容積是多少毫升？
10
學習改變命運，思考成就未來! 第 2講
【解析】100 毫升的吊瓶在正放時，液體在 100 毫升線下方，上方是空的，容積是多
少不好算．但倒過來后，變成圓柱體，根據標示的格子就可以算出來．
由于每分鐘輸 2.5毫升，12 分鐘已輸液 2.5 12 30 (毫升)，因此開始輸液時
液面應與 50 毫升的格線平齊，上面空的部分是 50 毫升的容積．所以整個吊瓶的容積
是100 50 150(毫升)．
28．【表面積變化】如圖，有一個邊長為 20 厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、
面上各挖掉一個大小相同的小立方體后，表面積變為 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方
體的邊長是多少厘米？
【解析】大立方體的表面積是 20 20 6 2400 平方厘米．在角上挖掉一個小正方體后，
外面少了 3 個面，但里面又多出 3 個面；在棱上挖掉一個小正方體后，外面少了 2 個面，
但里面多出 4 個面；在面上挖掉一個小正方體后，外面少了 1 個面，但里面多出 5 個
面．所以，最后的情況是挖掉了三個小正方體，反而多出了 6 個面，可以計算出每個面的
面積：(2454 2400) 6 9 平方厘米，說明小正方體的棱長是 3 厘米．
29．【燕尾模型】如圖，已知 BD 3DC， EC 2AE， BE 與 AD 相交于點O ,則△ABC
被分成的 4 部分面積各占△ABC 面積的幾分之幾？
A A
1
1
E 9 E
O O 2
2
13.5 4.5
B D C B 3 D 1 C
【解析】連接CO ,設 S△ 1份，則其他部分的面積如圖所示，所以AEO
S△ABC 1 2 9 18 30份，所以四部分按從小到大各占△ABC 面積的
1 2 4.5 13 9 3 13.5 9
, , ,
30 30 60 30 10 30 20
30．【格點與面積】如圖(a)，有 21 個點，每相鄰三個點成“∵”或“∴”，所形成的三
角形都是等邊三角形．計算三角形 ABC 的面積．
11
學習改變命運，思考成就未來! 第 2講
A A A A H
Ⅱ'
E E
Ⅰ Ⅱ
C D C ' C CF Ⅰ' Ⅲ F D
R
Ⅲ
B B B B G
(a) (b) (c) (d)
【解析】方法一：如圖(b)所示，在 ABC 內連接相鄰的三個點成 DEF，再連接 DC、
EA、FB后是 ABC
可看成是由 DEF分別延長 FD、DE、EF 邊一倍、一倍、二倍而成的，由等積變
換不難得到 S ACD 2， S AEB 3， S FBC 4，所以 S 1 2 3 4 10 (面積單位)．
方法二：如圖(c)所示，作輔助線把圖Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分別移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位
置，這樣可以通過數小正三角形的方法，求出 ABC 的面積為 10．
方法三：如圖(d)所示：作輔助線可知：平行四邊形 ARBE中有 6 個小正三角形，
而 ABE的面積是平行四邊形 ARBE面積的一半，即 S AEB 3，平行四邊形
ADCH中有 4 個小正三角形，而 ADC的面積是平行四邊形 ADCH面積的一半，
即 S ACD 2．平行四邊形 FBGC中有 8 個小正三角形，而 FBC的面積是平行四
邊形 FBGC的一半，即： S FBC 4．所以 S 1 2 3 4 10 (面積單位)．
12

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