資源簡介

2021年人教版數學九年級下冊
《相似三角形》同步培優卷
一、選擇題
1.若=，則的值為(　　)
A.1 B. C. D.
2.如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的長等于（　　）
A.7.2 B.4.8 C.7.5 D.4.5[來源:~中教
3.下面給出了一些關于相似的命題，其中真命題有（　　）
（1）菱形都相似；
（2）等腰直角三角形都相似；
（3）正方形都相似；
（4）矩形都相似；
（5）正六邊形都相似.
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
4.如圖，在正方形網格上，若使△ABC∽△PBD，則點P應在________處(　　)
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4
5.如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長線上的一點，連接AE交CD于點F，則圖中共有相似三角形(　　)
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
6.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F為CD邊的兩個三等分點，連接AE，BE交于點G，則S△EFG∶S△ABG=(　 　)
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
7.如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則的值為(　 　)
A.1 B. C.－1 D.＋1
8.如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，且DE∥AC，AE，CD相交于點O，
若S△DOE∶S△COA=1∶25，則BE∶CE=(　　)
A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶25
9.如圖，AB=4，射線BM和AB互相垂直，點D是AB上的一個動點，點E在射線BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，連接AF并延長交射線BM于點C.設BE=x，BC=y，則y關于x的函數解析式為(　　)
A.－ B.－ C.－ D.－
10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜邊AB上的一點O為圓心所作的半圓分別與AC，BC相切于點D，E，則AD為(　　)
A.2.5 B.1.6 C.1.5 D.1
11.如圖，在 ABCD中，AC，BD相交于點O，點E是OA的中點，連接BE并延長交AD于點F，
已知S△AEF=4.
則下列結論：①AF:FD=1:2；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD.
其中一定正確的是（　　）
A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②③
12.銳角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，兩動點M，N分別在邊AB，AC上滑動，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC得矩形MPQN.設MN的長為x，矩形MPQN的面積為y，則y關于x的函數圖象大致形狀是(　　)
A. B. C. D.
二、填空題
13.已知=，則=________.
14.如圖，在△ABC中，MN∥BC 分別交AB，AC于點M，N.若AM=1，MB=2，BC=3，則MN長為 .
15.如圖，在△ABC中，AB=6，點D是AB的中點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，點M在DE上，且ME=DM.當AM⊥BM時，則BC的長為 .
16.一副三角板疊放如圖所示，則△AOB與△DOC的面積之比為　 　.
17.在△ABC中，AB=9，AC=6.點M在邊AB上，且AM=3，點N在AC邊上.當AN=____時，△AMN與原三角形相似.
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18.如圖，正方形ABCD內有兩點E、F滿足AE=1，EF=FC=3，AE⊥EF，CF⊥EF，則正方形ABCD的邊長為　 　.
三、解答題
19.若,且2a－b+3c=21.試求a∶b∶c.
20.如圖所示，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，點F在邊CD上，且∠BEF=90°.
(1)求證：△ABE∽△DEF；
(2)若AB=4，延長EF交BC的延長線于點G，求BG的長.
21.如圖，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，且BP=1，D為AC上一點，若∠APD=60°，
求CD的長.
22.如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，點P在BD上由點B向點D方向移動，當點P移到離點B多遠時，△APB和△CPD相似？
23.如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連結OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E.
(1)求證：直線CD是⊙O的切線；
(2)若DE=2BC，AD=5，求OC的值.
24.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0＜t＜2)，連接PQ.若以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，求t的值.
25.如圖所示，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點E，將△BCE繞點C順時針旋轉到△DCF的位置，并延長BE交DF于點G.
(1) 求證：△BDG∽△DEG；
(2) 若EG·BG=4，求BE的長.
26.一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如圖①，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上.
(1) 求證：△AEF∽△ABC；
(2) 求這個正方形零件的邊長；
(3) 如果把它加工成矩形零件如圖②，問這個矩形的最大面積是多少？
參考答案
1.答案為：D
2.答案為：B
3.答案為：C
4.答案為：C.
5.答案為：C
6.答案為：C
7.答案為：C
8.答案為：B.
9.答案為：A
10.答案為：B
11.答案為：D.
12.答案為：B.
13.答案為：－.
14.答案為：1.
15.答案為：8.
16.答案為：1∶3
17.答案為：2或4.5.
18.答案為：.
19.答案為：a:b:c=4:8:7；
20.解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A=∠D=90°.
∴∠ABE＋∠AEB=90°.
∵∠BEF=90°，∴∠AEB＋∠DEF=90°.
∴∠ABE=∠DEF.∴△ABE∽△DEF.
(2)∵AB=AD=4，E為AD的中點，
∴AE=DE=2.
由(1)知，△ABE∽△DEF，
∴=，即=.
∴DF=1.∴CF=3.
∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF.
∴=，即=.
∴GC=6.
∴BG=BC＋GC=10.
21.解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，
∵∠APD=60°，
∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，
∴∠APB=∠PDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABP∽△PCD，
∴，即，
∴CD=.
22.解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴當或時，△PAB與△PCD是相似三角形，
∵AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
∴或，
解得：BP=2或12或8.4，
即BP=2或12或8.4時，△PAB與△PCD是相似三角形.
23. (1)證明：連結DO.
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB(SAS)，
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵點D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
(2)解：∵△COD≌△COB.
∴CD=CB.
∵DE=2BC，
∴ED=2CD.
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO.
∴，
∵AD=5，
∴OC=.
24.解：由題意，得BP=5t，QC=4t，AB=10 cm，BC=8 cm.
①∵∠PBQ=∠ABC，
∴若△BPQ∽△BAC，則還需=，
即=.解得t=1；
②∵∠PBQ=∠CBA，
∴若△BPQ∽△BCA，則還需=，
即=.解得t=.
綜上所述，當t=1或時，以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似.
25.解：(1)證明：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE=∠DBG，
∵∠CBE=∠CDF，
∴∠DBG=∠CDF，
∵∠BGD=∠DGE，
∴△BDG∽△DEG　
(2)∵△BDG∽△DEG，=，
∴DG2=BG·EG=4，∴DG=2，
∵∠EBC＋∠BEC=90°，∠BEC=∠DEG，∠EBC=∠EDG，
∴∠BGD=90°，
∵∠DBG=∠FBG，BG=BG，
∴△BDG≌△BFG，
∴FG=DG=2，
∴DF=4，
∵BE=DF，
∴BE=DF=4.
26.解：(1)∵四邊形EFHG為正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC　
(2)∵四邊形EFHG為正方形，
∴EF∥BC，EG⊥BC，
又∵AD⊥BC，∴EG∥AD，
設EG=EF=x，則KD=x，
∵BC=120 mm，AD=80 mm，
∴AK=80－x，
∵△AEF∽△ABC，
∴=，即=，解得x=48，
∴這個正方形零件的邊長是48 mm　
(3)設EG=KD=m，則AK=80－m，
∵△AEF∽△ABC，
∴=，即=，
∴EF=120－m，
∴S矩形EFHG=EG·EF=m·(120－m)=－m2＋120m=－(m－40)2＋2400，
故當m=40時，矩形EFHG的面積最大，最大面積為2400 mm2

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