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“相遇追及問題與運動圖像”專題講解
【相遇追及問題】
1．什么是追及相遇問題？
當兩個物體在同一直線上運動時，由于兩物體的運動情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發生變化，兩物體間距離越來越大或越來越小，這時就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題。需要注意只要后面物體的速度有可能大于前面物體的速度都可以談追及問題。
2．相遇追及問題情況概述
(1)相遇問題
①同向運動的兩物體的追及即相遇。
②相向運動的兩物體，當各自發生的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時即相遇。
(2)追及問題
①若后者能追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
②若后者追不上前者，則當后者的速度與前者相等時，兩者相距最近。
3．常見的三種追及相遇情況
(1)勻速直線運動的物體追勻加速直線運動的物體。
①若當v加＝v勻時，兩者仍沒到達同一位置，則不能追上，且此時有最小距離。
②若當v加＝v勻時，兩者恰好到達同一位置，則只能相遇一次。
③若當兩者到達同一位置時v加(2)勻減速直線運動的物體追勻速直線運動的物體。
①若當v減＝v勻時，兩者仍沒到達同一位置，則不能追上，且此時有最小距離。
②若當v減＝v勻時，兩者正在同一位置，則恰能追上，這種情況也是避免兩者相撞的臨界條件。
③若當兩者到達同一位置時v減>v勻，則有兩次相遇的機會。
(3)勻加速直線運動的物體追勻速直線運動的物體。
肯定能追上，且只能相遇一次。兩者在追上前相距最遠的條件是v加＝v勻。
4．解題思路
(1)根據對兩物體運動過程的分析，畫出兩物體運動的示意圖或v t圖像，找到臨界狀態和臨界條件。
(2)根據兩物體的運動性質，分別列出兩物體的位移方程，注意要將兩物體運動時間的關系反映在方程中。
(3)由運動示意圖找出兩物體位移間的關聯方程，這是解題關鍵。
(4)聯立方程求解，并對結果進行簡單分析。
5．追及問題中的“兩個關系”“一個條件”
(1)兩個關系：時間關系和位移關系。
時間關系指兩物體運動時間是否相等，兩物體是同時運動還是一先一后運動；位移關系指兩物體是同地開始運動還是一前一后開始運動，其中通過畫運動示意圖找到兩物體間的位移關系是解題的突破口，因此在學習中一定要養成畫運動示意圖分析問題的良好習慣，運動示意圖對幫助我們理解題意、啟迪思維大有好處。
(2)一個條件：兩物體速度相等時滿足的臨界條件，如兩物體的距離是最大還是最小，以及是否恰好追上等。
【特別注意】
判斷同向運動兩物體是否相撞與判斷同向運動兩物體能否追及相遇的方法相同。
【技巧點撥】
求解追及和相遇問題的兩點技巧
1．牢記“一個思維流程”
2．掌握“三種分析方法”
(1)圖像法：將兩個物體運動的速度—時間關系在同一圖像中畫出，然后利用圖像分析求解相關問題。
起點在同一點的追及相遇問題最適合用圖像解決，因為其圖線和時間軸所圍成的面積就是位移。
(2)物理分析法：抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含條件，畫出兩物體運動關系的示意圖。
(3)數學極值法：設相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于時間t的一元二次方程，用根的判別式進行討論。若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好能追上或相遇一次；若Δ<0，無解，說明追不上或不能相遇。
【典例示范】
1.甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻同時經過公路旁的同一個路標。在描述兩車運動的v t圖像中(如圖所示)，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20 s的運動情況。關于兩車之間的位移關系，下列說法正確的是(　　)
A．在0～10 s內兩車逐漸靠近
B．在10～20 s內兩車逐漸遠離
C．在5～15 s這段時間兩車運動的位移相等
D．在t＝10 s時兩車在公路上相遇
答案　C
解析　甲車做速度為5 m/s的勻速直線運動，乙車做初速度為10 m/s的勻減速直線運動。在t＝10 s時，兩車的速度相同，在此之前，甲車的速度小于乙車的速度，兩車的距離越來越大；在此之后，甲車的速度大于乙車的速度，兩車的距離又逐漸減小，在t＝20 s時兩車相遇，故A、B、D均錯誤。5～15 s這段時間，兩圖線與時間軸所圍成的面積相等，故兩車運動的位移相等，C正確。
2.一輛汽車在十字路口等候紅綠燈，當綠燈亮時汽車以a＝3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這一時刻一輛自行車以v自＝6 m/s的速度勻速駛來，從旁邊超過汽車。試求：
(1)汽車從路口開動后，在追上自行車之前，經過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？
(2)什么時候汽車能追上自行車？此時汽車的速度是多少？
[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
[解析]　 (1)解法一(物理分析法)：汽車與自行車的速度相等時兩車相距最遠，設此時經過的時間為t1，兩車間的距離為Δx，則有
v汽＝v自＝at1
所以t1＝＝2 s
Δx＝x自－x汽＝v自t1－at＝6 m。
解法二(極值法)：設汽車在追上自行車之前，經過時間t兩車相距Δx，則Δx＝x自－x汽＝v自t－at2
代入已知數據得Δx＝6t－t2
由二次函數求極值的條件知：t1＝2 s時，Δx有最大值6 m。
所以經過t1＝2 s后，兩車相距最遠，此時距離為Δx＝6 m。
解法三(圖像法)：自行車和汽車的v t圖像如圖所示，由圖像可以看出，在相遇前，t1時刻兩車速度相等，兩車相距最遠，此時的距離為陰影三角形的面積，所以有
t1＝＝ s＝2 s
Δx＝＝ m＝6 m。
(2)解法一(物理分析法)：當兩車位移相同時，汽車追上自行車，設此時經過的時間為t2，
則有v自t2＝at
解得t2＝＝ s＝4 s
此時汽車的速度v1′＝at2＝12 m/s。
解法二(圖像法)：由前面畫出的v t圖像可以看出，在t1時刻之后，當由圖線v自、v汽和t＝t2構成的三角形的面積與陰影部分的三角形面積相等時，汽車與自行車的位移相同，即汽車與自行車相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。
3.甲、乙兩物體在同一條直線上同時同地沿同一方向運動，甲初速度為6 m/s，由于摩擦做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2；乙做初速度為零，加速度為1 m/s2的勻加速直線運動。求：
(1)甲物體能運動多遠？
(2)乙經多長時間追上甲？
(3)乙追上甲之前兩物體的最大距離是多少？
答案　(1)9 m　(2)4.2 s　(3)6 m
解析　(1)甲做勻減速直線運動直至停止，
由v＝2a甲x甲，得x甲＝＝ m＝9 m。
(2)甲的運動時間為：t＝＝ s＝3 s
此過程中乙的位移
x乙＝a乙t2＝×1×32 m＝4.5 m<9 m
說明甲停止后，過一段時間乙才追上甲
所以乙追上甲所用時間：
t乙＝ ＝ s＝3 s≈4.2 s。
(3)當甲、乙的速度相等時，二者距離最大，
即a乙t′＝v甲－a甲t′，
得：t′＝＝2 s
在這2 s內，甲的位移：
x甲′＝v甲t′－a甲t′2＝ m＝8 m
乙的位移：x乙′＝a乙t′2＝ m＝2 m
二者間的最大距離：Δx＝x甲′－x乙′＝6 m。
【運動圖像的分析】
運動學中，位移—時間圖像(x t圖像)和速度—時間圖像(v t圖像)是兩種最典型的圖像。
【技巧點撥】
(1)解決常規運動的圖像問題時要根據物理情景中遵循的規律，由圖像提取信息和有關數據，根據對應的規律公式對問題做出正確的解答。以速度圖像為例，具體分析過程如下：
(2)解答非常規運動圖像問題的“三個”步驟：一審、二列、三判：
【典例示范】
1.一汽車從靜止開始做勻加速直線運動，然后剎車做勻減速直線運動，直到停止。下列速度的平方v2和位移x的關系圖像中，能描述該過程的是(　　)
答案　B
解析　汽車做初速度為零的勻加速直線運動時，由v2＝2ax可知，v2與x成正比，即這段時間內的v2和位移x的關系圖像為過原點的一條傾斜直線，設勻加速直線運動的末速度為v1，位移為x1，則在做勻減速直線運動過程中，v2－v＝2a′(x－x1)，B正確，A、C、D錯誤。
2.如圖所示，x t圖像反映了甲、乙兩車在同一條直道上行駛的位移隨時間變化的關系，已知乙車做勻變速直線運動，其圖線與t軸相切于10 s處，則(　　)
A．甲車的加速度大小為4.0 m/s2
B．乙車的加速度大小為1.6 m/s2
C．5 s時兩車速度相等
D．乙車的初位置在x0＝75 m處
答案　B
解析　位移—時間圖像的斜率等于速度，可知甲車做勻速運動，加速度為零，A錯誤；乙車做勻變速直線運動，其圖線與t軸相切于10 s處，則t＝10 s時，速度為零，將其0～10 s的運動逆向看成初速度為0的勻加速直線運動，則s＝at2，根據圖像有：x0＝a·(10 s)2,20 m＝a·(5 s)2，解得a＝1.6 m/s2，x0＝80 m，B正確，D錯誤；5 s時，v甲＝ m/s＝4 m/s，v乙＝at＝8 m/s，C錯誤。
3.物體a、b從同一位置沿同一直線運動的v t圖像如圖所示，下列說法正確的是(　　)
A．t＝2 s時，a、b的速度方向均發生改變
B．t＝4 s時，a、b相距20 m
C．前4 s，a、b均做勻變速直線運動
D．前4 s，a與b的加速度始終相同
[答案]　B
[解析]　由圖像可知，前4 s，a的速度都為正方向，b的速度都為負方向，所以t＝2 s時，a、b的速度方向均沒有發生改變，A錯誤；圖線與時間軸圍成的面積表示位移，則t＝4 s時，a、b相距Δx＝×4×5 m－ m＝20 m，B正確；圖像的斜率表示加速度，由圖像可知，前4 s，a、b的加速度方向都發生了變化，不是勻變速直線運動，C錯誤；圖像的斜率表示加速度，由圖像可知，前4 s，a與b的加速度方向始終相反，D錯誤。

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