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“模型構建連接體問題”專題講解
【動力學的極值和臨界問題】
1．對臨界問題和極值問題的認識
(1)極值問題：在滿足一定的條件下，某物理量出現極大值或極小值的問題。
在動力學問題中出現的“最大”“最小”“剛好”“恰能”等詞語，一般都暗示了臨界狀態的出現，隱含了相應的臨界條件。
(2)臨界問題：某種物理現象(或物理狀態)剛好要發生或剛好不發生的問題。
2．動力學中常見的臨界問題的類型
(1)摩擦力發生突變
摩擦力是由于互相擠壓的物體間有相對運動趨勢或相對運動產生的，根據靜摩擦力和滑動摩擦力的特點，可知摩擦力的突變情況有以下幾種：
①靜摩擦力為零是運動趨勢的方向發生變化的臨界條件。
②靜摩擦力最大是物體恰好保持相對靜止或相對滑動的臨界條件。
(2)彈力發生突變
彈力是由物體間的擠壓或拉伸產生的，對研究對象產生彈力的常見的接觸物有輕繩、輕桿、彈簧、接觸面。依據接觸物產生彈力的特點，可知彈力的突變情況有以下幾種：
①彈力為零是物體與接觸面脫離的臨界條件。
②彈力為零是彈簧(輕桿)對物體產生壓力還是拉力的臨界條件，也是輕繩松弛與繃緊的臨界條件。
③輕繩的張力(或彈簧的拉力、輕桿承受的拉力或壓力)達到最大是輕繩崩斷(彈簧發生非彈性形變、輕桿斷裂)的臨界條件。
3．處理臨界問題的三種方法
極限法 把物理問題(或過程)推向極端情況，從而使臨界現象(或狀態)暴露出來，以達到正確解決問題的目的
假設法 臨界問題存在多種可能，特別是非此即彼兩種可能，或變化過程中可能出現臨界條件也可能不出現臨界條件時，往往用假設法解決問題，假設是某種可能，或假設出現臨界條件，會出現什么情況
數學法 將物理量間關系用數學式子表達出來，結合已知量的取值范圍和其他物理條件，根據數學表達式解出臨界值(此方法也可用于求解極值問題)
【技巧點撥】
處理動力學中的臨界問題的關鍵是臨界條件的挖掘。繩斷與不斷的臨界條件是繩中的張力等于繩所能承受的最大拉力；兩物體接觸與分離的臨界條件是兩物體間的彈力等于零；兩物體即將發生相對滑動的臨界條件是兩物體間的摩擦力等于最大靜摩擦力；加速度逐漸減小的變加速運動速度最大的臨界條件是加速度等于零。
【典例示范】
1.如圖所示，質量均為m的A、B兩物體疊放在豎直彈簧上并保持靜止，用大小等于mg的恒力F向上拉B，運動距離h時，B與A分離。下列說法正確的是(　　)
A．B和A剛分離時，彈簧長度等于原長
B．B和A剛分離時，它們的加速度為g
C．彈簧的勁度系數等于
D．在B與A分離之前，它們做勻加速直線運動
[答案]　C
[解析]　A、B分離前，A、B共同做加速運動，由于F是恒力，而彈簧彈力是變力，故A、B做變加速直線運動，故D錯誤；當兩物體要分離時，A、B間彈力FAB＝0，且F＝mg，對B：F－mg＝ma，對A：kx－mg＝ma，可得a＝0，故A、B分離時，彈簧仍處于壓縮狀態，A、B錯誤；設用恒力F拉B前彈簧壓縮量為x0，則2mg＝kx0，A、B剛分離時，x＝，h＝x0－x，解以上各式得k＝，C正確。
2.如圖所示，細線的一端固定在傾角為45°的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細線的另一端拴一質量為m的小球。
(1)當滑塊至少以多大的加速度向右
運動時，線對小球的拉力等于零？
(2)當滑塊至少以多大的加速度向左運動時，小球對滑塊的壓力等于零？
(3)當滑塊以a′＝2g的加速度向左運動時，線中拉力為多大？
答案　(1)g　(2)g　(3)mg
解析　
(1)當線對小球的拉力FT＝0時，小球受重力mg和斜面支持力FN作用，如圖甲所示，則
FNcos45°＝mg
FNsin45°＝ma
解得a＝g，故當滑塊向右的加速度為g時線對小球的拉力為0。
(2)假設滑塊以加速度a1向左運動時，小球對滑塊的壓力恰好為0。小球受重力mg、線的拉力FT1作用，如圖乙所示，由牛頓第二定律得
水平方向：FT1cos45°＝ma1，
豎直方向：FT1sin45°－mg＝0。
由上述兩式解得a1＝g，
即當滑塊至少以大小為g的加速度向左運動時，小球對滑塊的壓力為0。
(3)當滑塊以加速度a′＝2g向左運動時，小球將“飄”離斜面而只受線的拉力FT′和重力mg的作用，如圖丙所示，此時細線與水平方向間的夾角α＜45°。
由牛頓第二定律得
FT′cosα＝ma′，
FT′sinα＝mg，
解得FT′＝m＝mg。
【隔離法、整體法解決連接體問題】
1．“連接體”問題
所謂“連接體”，是指運動中的幾個物體或上下疊放在一起或前后擠靠在一起或通過細繩、輕彈簧連在一起的物體組。在求解連接體問題時常常用到整體法與隔離法。
2．隔離法與整體法
(1)整體法：在分析連接體問題時，將整個物體系統作為整體分析研究的方法。在分析整體受外力時常采用整體法。
(2)隔離法：在分析連接體問題時，從研究問題的方便性出發，將物體系統中的某一部分物體隔離出來，單獨分析研究的方法。
3．整體法、隔離法的選用
(1)整體法、隔離法的選取原則
當連接體內各物體具有相同的加速度(或運動情況一致)時，可以采用整體法；當連接體內各物體加速度不相同(或運動情況不一致)時，采用隔離法。
一般來說，求整體的外力時優先采用整體法，整體法分析時不要考慮各物體間的內力；
求連接體內各物體間的內力時只能采用隔離法。
(2)整體法、隔離法的交替運用
若連接體內各物體具有相同的加速度，且要求物體之間的作用力時，可以先用整體法求出加速度，然后再用隔離法選取合適的研究對象，應用牛頓第二定律求作用力，即“先整體求加速度，后隔離求內力”。
4．運用隔離法解題的基本步驟
(1)明確研究對象。
(2)將研究對象從系統中隔離出來。
(3)對隔離出的研究對象進行受力分析，注意只分析其他物體對研究對象的作用力。
(4)尋找未知量與已知量之間的關系，選擇適當的物理規律列方程求解。
【技巧點撥】
整體法、隔離法交替運用是解決連接體問題的關鍵。若外力F未知，用隔離法求得物體的加速度，因系統內物體加速度完全相同，故再選擇整體法求得F的大小；若F已知，用整體法求加速度，再用隔離法求相互作用力。
【典例示范】
1.如圖所示，質量為m2的物塊B放置在光滑水平桌面上，其上放置質量為m1的物塊A，A通過跨過定滑輪的細線與質量為M的物塊C連接，釋放C，A和B一起以加速度a從靜止開始運動，已知A、B間的動摩擦因數為μ1，則細線中的拉力大小為(　　)
A．Mg B．Mg＋Ma
C．Mg－Ma D．m1a＋μ1m1g
[答案]　C
[解析]　對物塊A、B組成的整體，由牛頓第二定律得，T＝(m1＋m2)a，對物塊C，Mg－T＝Ma，解得T＝Mg
－Ma，A、B錯誤，C正確；對物塊A，T－f＝m1a，則T＝m1a＋f，因f為靜摩擦力，故不一定等于μ1m1g，D錯誤。
2.如圖所示，質量分別為m1和m2的物塊A、B，用勁度系數為k的輕彈簧相連。當用力F沿傾角為θ的固定光滑斜面向上拉物塊B，使兩物塊以相同的加速度共同加速運動時，彈簧的伸長量為________。
答案　
解析　對物塊A、B和彈簧組成的整體分析得
F－(m1＋m2)gsinθ＝(m1＋m2)a①
隔離A得kx－m1gsinθ＝m1a②
聯立①②式得x＝。

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