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(共21張PPT)
北師版九年級下冊 圓
§3.4.1 圓周角與圓心角的關系
1、理解圓周角的概念．
2、掌握圓周角的兩個特征、定理和推論一的內容及簡單應用．
3、繼續培養學生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力．
4、滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的數學思想方法．
情境導入
足球射門小常識：
在左邊比較好射門，因為用右腳踢，力道大，也很準，
在右面比較難射門，力道小.
不考慮其他因素，僅考慮射點到球門AB的張角大小時，張角越大，射門越好.
在射門游戲中（如圖 3-14）、球員射口球門的難易程度與他所處的位置B
對球門AC的張角（∠ABC）有關．當球員在B、D、E處射門時、他所處的
位置對球門AC分別形成三個張角 ∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個角的大小
有什么關系
情境導入
新知講解
分析： 通過觀察圖形。我們可以猜想出來 ∠AEC=∠ABC=∠ADC.
可為什么它們能相等？它們又叫什么角？
之前我們學習過圓心角，它有什么特征？
新知講解
o
A
B
頂點在圓心的角叫圓心角。
o
A
B
C
頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
判斷下列各圖中，哪些是圓周角，為什么？
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
o
A
B
C
C
C
C
C
C
C
C
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
圖8
圖9
跟蹤練習
圓周角.GSP
如圖，觀察變動點D在圓周上的位置，圓周角的度數有沒有變化？你能發現什么規律嗎？
再分別量出圖中弧AB所對的圓心角的度數，比較一下兩個角的度數大小關系，你什么發現？
新知講解
同弧所對的圓周角的度數沒有變化，并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半．
同弧所對圓周角與圓心角的關系
合作探究
將圓對折，使折痕經過圓心O和圓周角的頂點C，你能畫出幾種同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角和圓心角
折痕是圓周角的一條邊，
折痕在圓周角的內部
折痕在圓周角的外部
（1）在圓周角的一條邊上；
即
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠C．
又∠BOA=∠OBC+∠C
∴∠BOA=2∠C
（2）在圓周角的內部．
圓心O在∠BAC的內部，作直徑AD，利用（１）的結果，有
（3）在圓周角的外部．
圓心O在∠BAC的外部，作直徑AD，利用（１）的結果，有
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
圓周角定理
新知講解
·
A
B
C
D
E
O
如圖：
1、如圖：在圓O中，∠O=50°，則∠A= .
2、如圖：那個角與∠BAC相等？你還能找到哪些相等的角？
跟蹤練習
25°
∠ADC。略
如圖：OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC.
∠ACB與∠BAC的大小有什么關系？為什么？
典例精講
A
O
B
C
∠AOB=2∠BOC
∠ACB=2∠BAC
解：∠ACB=2∠BAC
∠BAC= ∠BOC
∠ACB= ∠AOB
如圖（1），在足球比賽中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置的射門角度的大小有關．如果在一次比賽中，小華和小勇分別處在圖（2）中的A，B兩點，球門的位置在線段CD，如果球在小華的腳下，此時他應該選擇傳給小勇還是自己射門較好？（通過尺規作圖說明原因）
分析：結合圖形，可以作出過點A，C，D三點的圓，則此時點B在圓外．根據三角形的外角的性質可以證明∠CAD＞∠CBD．
解：設BC與圓的交點是E，則∠CAD=∠CED＞∠DBE，所以還是自己射門較好．
典例精講
船在航行過程中,船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁,如圖,A
船在航行過程中,船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁.如圖A,B表示燈塔,暗礁分布在經過A,B兩點的一個圓形區域內,C表示一個危險臨界點,∠ACB就是“危險角”,當船與兩個燈塔的夾角大于“危險角”時,就有可能觸礁.弓形所含的圓周角∠C=50°,問船在航行時怎樣才能保證不進入暗礁區
（1）當船與兩個燈塔的夾角∠α大于“危險角”時,
船位于哪個區域 為什么
（2）當船與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”時,
船位于哪個區域 為什么
典例精講
解：（1）當船與兩個燈塔的夾角α大于“危險角”時，船位于⊙O內，
如圖（1），延長AP交⊙O于點F，連接BF，
∵∠C=∠F，∠APB＞∠F，
∴∠APB＞∠C，即α＞∠C，
∴當船與兩個燈塔的夾角α大于“危險角”時，船位于⊙O內；
（2）當船與兩個燈塔的夾角α小于“危險角”時，船位于⊙O外．
如圖（2），連接BE，
∵∠AEB=∠C，∠AEB＞∠P，
∴∠C＞∠P，即α＜∠C，
∴當船與兩個燈塔的夾角α小于“危險角”時，船位于⊙O外．
,則 。
1、 如圖，點A，B，C，D在⊙O上， ， ，
2．(2020·淮安)如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ACB＝54°，則∠ABO的度數是( )
A．54° B．27° C．36° D．108°
C
70°
課堂練習
3．(2019·河南一模)如圖，邊長為1的小正方形網格中，⊙O的圓心在格點上，則∠AED的正切值是 ．
4．如圖，點A，B，C是⊙O上的三點，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交⊙O于點F，則∠BAF等于( )
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
B
課堂練習
(1)一個概念（圓周角）
課堂小結
(2)一個定理：一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半；
(3)一個推論：
同圓內，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧相等。

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