資源簡介

（浙江省2020屆高考模擬試題匯編（一模））
不等式、數列小題
一、單選題
1．（浙江省溫州市平陽中學2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題）已知實數，，，則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（浙江省寧波市華茂外國語學校2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題）已知，，是等差數列中的三項，同時，，是公比為的等比數列中的三項，則的最大值為
A． B． C． D．無法確定
3．（浙江省杭州市2020屆高三下學期教學質量檢測數學試題）若實數滿足不等式組，則
A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值2
C．有最大值2，無最小值 D．有最小值，無最大值
4．（浙江省臺州市2020屆溫嶺中學高三下學期3月模擬測試數學試題）設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值是
A．7 B．5 C．3 D．2
5．（浙江省紹興市2020屆高三下學期4月第一次高考模擬考試數學試題）數列滿足.若存在實數.使不等式對任意恒成立，當時，=（ ）
A． B． C． D．
6．浙江省嘉興市、海寧市、桐鄉市2020屆高三下學期3月開學模擬考試數學試題）設、，數列滿足，，，則（ ）
A．對于任意，都存在實數，使得恒成立
B．對于任意，都存在實數，使得恒成立
C．對于任意，都存在實數，使得恒成立
D．對于任意，都存在實數，使得恒成立
7．（浙江省嘉興市、桐鄉市高級中學2020屆高三下學期3月模擬測試數學試題）設，是方程的兩個不等實數根，記（）.下列兩個命題（ ）
①數列的任意一項都是正整數；
②數列存在某一項是5的倍數.
A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確
C．①②都正確 D．①②都錯誤
8．（浙江省溫州中學2020屆高三下學期3月高考模擬測試數學試題）已知數列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
9．（浙江省衢州二中2020屆高三下學期第一次模擬考試數學試題）若存在正實數y，使得，則實數x的最大值為（　　）
A． B． C．1 D．4
10．（2020屆浙江省高三高考模擬試題）已知非常數列滿足，若，則
A．存在，，對任意，，都有為等比數列
B．存在，，對任意，，都有為等差數列
C．存在，，對任意，，都有為等差數列
D．存在，，對任意，，都有為等比數列
二、雙空題
11．（浙江省溫州市平陽中學2020屆高三小學期3月高考模擬數學試題）已知正實數，滿足，則的最大值為________，的最小值為________．
12．（浙江省寧波市華茂外國語學校2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題）設等差數列的前項和為，若，，則______，的最大值是______.
三、填空題
13．（浙江省杭州市2020屆高三下學期教學質量檢測數學試題）若，則的最小值為________．
14．（浙江省臺州市2020屆溫嶺中學高三下學期3月模擬測試數學試題）已知是等差數列的前項和，若，，則的最大值是______
15．（浙江省紹興市2020屆高三下學期4月第一次高考模擬考試數學試題）已知實數a，b，c滿足，則的最小值是______.
16．（2020·浙江·寧波華茂外國語學校一模）設，，則的最大值為______.
17．（浙江省嘉興市、海寧市、桐鄉市2020屆高三下學期3月開學模擬考試數學試題）等比數列的相鄰兩項，是方程的兩個實根，記是數列的前項和，則________．
18．（浙江省嘉興市、桐鄉市高級中學2020屆高三下學期3月模擬測試數學試題）已知，，且，則最小值為__________．（浙江省2020屆高考模擬試題匯編（一模））
不等式、數列小題
一、單選題
1．（浙江省溫州市平陽中學2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題）已知實數，，，則的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】
根據已知條件，將變換為，利用基本不等式，即可求得其最小值.
【詳解】
∵，
∴
，
當且僅當，即，時取等號.
故選：B
【點睛】
本題考查利用基本不等式求和的最小值，注意對目標式的配湊，屬基礎題.
2．（浙江省寧波市華茂外國語學校2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題）已知，，是等差數列中的三項，同時，，是公比為的等比數列中的三項，則的最大值為
A． B． C． D．無法確定
【答案】B
【分析】
由題意可得，，要使最大，則最小，結合等式求得的最小值，則的最大值可求.
【詳解】
解：由題意，數列不是常數列.
由，，是等差數列中的三項，
得，即，
得.
由，，是公比為的等比數列中的三項，
得，
則，要使最大，則最小，
由，得，(舍)；
，；，；，；…；
由上可知，當與均增加時，由于的系數小于的系數，則要使等式成立，比增加要快.
的最小值為.
則的最大值為.
故選：B.
【點睛】
本題考查等差數列與等比數列的性質，考查數列的函數特性，屬于中檔題.
3．（浙江省杭州市2020屆高三下學期教學質量檢測數學試題）若實數滿足不等式組，則
A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值2
C．有最大值2，無最小值 D．有最小值，無最大值
【答案】C
【分析】
畫出不等式組表示的平面區域，設，則直線是一組平行線，找出最優解，求出z有最大值，且z無最小值．
【詳解】
畫出不等式組表示的平面區域，如圖陰影所示；
設，則直線是一組平行線；
當直線過點時，有最大值，由，得；
所以的最大值為，且無最小值.
故選：C.
【點睛】
本題考查了簡單的線性規劃應用問題，也考查了數形結合思想，是中檔題．
4．（浙江省臺州市2020屆溫嶺中學高三下學期3月模擬測試數學試題）設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值是
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，把最優解的坐標代入目標函數得結論.
【詳解】
畫出約束條件，表示的可行域，如圖，
由可得，
將變形為，
平移直線，
由圖可知當直經過點時，
直線在軸上的截距最大，
最大值為，故選B.
【點睛】
本題主要考查線性規劃中，利用可行域求目標函數的最值，屬于簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.
5．（浙江省紹興市2020屆高三下學期4月第一次高考模擬考試數學試題）數列滿足.若存在實數.使不等式對任意恒成立，當時，=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
計算，，，根據，排除ACD，再利用數學歸納法證明成立得到答案.
【詳解】
，故，，，，，
取得到，即，故排除ACD，
現證明成立，
當時，成立，
假設時成立，即，
當時，，
易知函數在上單調遞增，
故，即成立，
故恒成立，同理可證.
故選：B.
【點睛】
本題考查根據數列的遞推公式判斷數列性質，數學歸納法，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.
6．浙江省嘉興市、海寧市、桐鄉市2020屆高三下學期3月開學模擬考試數學試題）設、，數列滿足，，，則（ ）
A．對于任意，都存在實數，使得恒成立
B．對于任意，都存在實數，使得恒成立
C．對于任意，都存在實數，使得恒成立
D．對于任意，都存在實數，使得恒成立
【答案】D
【分析】
取，可排除AB；由蛛網圖可得數列的單調情況，進而得到要使，只需，由此可得到答案.
【詳解】
取，，數列恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；
由蛛網圖可知，存在兩個不動點，且，，
因為當時，數列單調遞增，則；
當時，數列單調遞減，則；
所以要使，只需要，故，化簡得且.
故選：D．
【點睛】
本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題．
7．（浙江省嘉興市、桐鄉市高級中學2020屆高三下學期3月模擬測試數學試題）設，是方程的兩個不等實數根，記（）.下列兩個命題（ ）
①數列的任意一項都是正整數；
②數列存在某一項是5的倍數.
A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確
C．①②都正確 D．①②都錯誤
【答案】A
【分析】
利用韋達定理可得,,結合可推出,再計算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計算數列中的各項,以此判斷②的正誤.
【詳解】
因為,是方程的兩個不等實數根,
所以,,
因為,
所以
,
即當時,數列中的任一項都等于其前兩項之和,
又,,
所以,,,
以此類推,即可知數列的任意一項都是正整數,故①正確;
若數列存在某一項是5的倍數,則此項個位數字應當為0或5,
由,,依次計算可知,
數列中各項的個位數字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,
故數列中不存在個位數字為0或5的項,故②錯誤;
故選:A.
【點睛】
本題主要考查數列遞推公式的推導,考查數列性質的應用,考查學生的綜合分析以及計算能力.
8．（浙江省溫州中學2020屆高三下學期3月高考模擬測試數學試題）已知數列的前n項和為，，且對于任意，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用數列的遞推關系式判斷求解數列的通項公式，然后求解數列的和，判斷選項的正誤即可．
【詳解】
當時，．
所以數列從第2項起為等差數列，，
所以，，．
，，
．
故選：．
【點睛】
本題考查數列的遞推關系式的應用、數列求和以及數列的通項公式的求法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．
9．（浙江省衢州二中2020屆高三下學期第一次模擬考試數學試題）若存在正實數y，使得，則實數x的最大值為（　　）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】
轉化為4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，以y為自變量的方程有正根，根據根與系數關系確定實數x的范圍即可.
【詳解】
∵，
∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，
∴y1 y20，
∴y1+y20，
∴，或，
∴0＜x或x①，
△＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，
∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，
解得：﹣1≤x②，
綜上x的取值范圍是：0＜x；
x的最大值是，
故選：A．
【點睛】
本題考查了一元二次方程根的分布問題，考查了學生綜合分析，轉化化歸，數學運算的能力，屬于中檔題.
10．（2020屆浙江省高三高考模擬試題）已知非常數列滿足，若，則
A．存在，，對任意，，都有為等比數列
B．存在，，對任意，，都有為等差數列
C．存在，，對任意，，都有為等差數列
D．存在，，對任意，，都有為等比數列
【答案】B
【分析】
本題先將遞推式進行變形，然后令，根據題意有常數，且，將遞推式通過換元法簡化為，兩邊同時減去，可得，此時逐步遞推可得.根據題意有，則當，時，可得到數列是一個等差數列，由此可得正確選項.
【詳解】
解：由題意，得.
令，則，
為非零常數且，
均為非零常數，
∴常數，且.
故.
兩邊同時減去，可得
，
∵常數，且，
，且.
，
∵數列是非常數數列，
，
則當，即，即，即時，
.
此時數列很明顯是一個等差數列.
∴存在，只要滿足為非零，且時，對任意，都有數列為等差數列.
故選：B.
【點睛】
本題主要考查遞推式的基本知識，考查了等差數列的基本性質，換元法的應用，邏輯思維能力和數學運算能力，是一道難度較大的題目.
二、雙空題
11．（浙江省溫州市平陽中學2020屆高三小學期3月高考模擬數學試題）已知正實數，滿足，則的最大值為________，的最小值為________．
【答案】 ．
【分析】
（1）已知兩數和求兩數積的最值，直接應用基本不等式即可；
（2）利用常數3把分子的多項式都變為二次，構作齊次式對其分離常數再由基本不等式求最值．
【詳解】
由題可知，對正實數，有（當且僅當時取等號），所以xy的最大值為；
因為（當且僅當時取等號），所以的最小值為．
故答案為：(1).；(2).．
【點睛】
本題考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．
12．（浙江省寧波市華茂外國語學校2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題）設等差數列的前項和為，若，，則______，的最大值是______.
【答案】
【分析】
利用等差數列前項和公式，列出方程組，求出首項和公差的值，利用等差數列的通項公式可求出數列的通項公式，可求出的表達式，然后利用雙勾函數的單調性可求出的最大值.
【詳解】
（1）設等差數列的公差為，則，解得，
所以，數列的通項公式為；
（2），，
令，則且，，
由雙勾函數的單調性可知，函數在時單調遞減，在時單調遞增，
當或時，取得最大值為.
故答案為：；.
【點睛】
本題考查等差數列的通項公式、前項和的求法，考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
三、填空題
13．（浙江省杭州市2020屆高三下學期教學質量檢測數學試題）若，則的最小值為________．
【答案】
【分析】
利用基本不等式，求得所求表達式的最小值.
【詳解】
由于，
所以，
當且僅當且時等號成立，
即時等號成立.
所以的最小值為.
故答案為：
【點睛】
本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.
14．（浙江省臺州市2020屆溫嶺中學高三下學期3月模擬測試數學試題）已知是等差數列的前項和，若，，則的最大值是______
【答案】
【分析】
計算得到，代入計算得到答案.
【詳解】
，，
故.
故答案為：5.
【點睛】
本題考查了數列項的最值，確定是解題的關鍵.
15．（浙江省紹興市2020屆高三下學期4月第一次高考模擬考試數學試題）已知實數a，b，c滿足，則的最小值是______.
【答案】
【分析】
先分離出，應用基本不等式轉化為關于c的二次函數，進而求出最小值.
【詳解】
解：若取最小值，則異號，，
根據題意得：，
又由，即有，
則，
即的最小值為，
故答案為：
【點睛】
本題考查了基本不等式以及二次函數配方求最值，屬于中檔題.
16．（2020·浙江·寧波華茂外國語學校一模）設，，則的最大值為______.
【答案】
【分析】
利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案；
【詳解】
，
由，
，
以上兩式中，等號成立分別當且僅當
，，此時，
所以所求式子的最大值為，
故答案為：.
【點睛】
本題考查柯西不等式及和差角公式的運用，考查邏輯推理能力、運算求解能力，綜合性較強.
17．（浙江省嘉興市、海寧市、桐鄉市2020屆高三下學期3月開學模擬考試數學試題）等比數列的相鄰兩項，是方程的兩個實根，記是數列的前項和，則________．
【答案】．
【分析】
利用韋達定理，得到關于，與的兩個恒等式，由其中一個求得等比數列的公比與首項，帶入另一個可表示數列的通項公式，進而由等比數列求和公式求得答案．
【詳解】
因為，是方程的兩個實根，
則由韋達定理得，，，
因為數列是等比數列，則數列的公比，又，所以首項，故
所以，
故數列是以為首項，4為公比的等比數列，
所以．
故答案為：
【點睛】
本題考查等比數列定義，通項公式與求和公式等知識，屬于較難題．
18．（浙江省嘉興市、桐鄉市高級中學2020屆高三下學期3月模擬測試數學試題）已知，，且，則最小值為__________．
【答案】
【分析】
首先整理所給的代數式，然后結合均值不等式的結論即可求得其最小值.
【詳解】
，
結合可知原式，
且
，
當且僅當時等號成立.
即最小值為.
【點睛】
在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．

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