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(共37張PPT)
雙曲線及其標準方程
F佳
定義 圖 象
標準 方程
焦點
a,b,c的關系 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
x
y
o
F1
F2
·
·
·
M
y
o
x
F1
F2
·
M
·
a2=b2+c2
(－c,0), (c,0)
(0, －c) ,(0, c)
（a>b>0）
（a>b>0）
1.橢圓的定義
和
等于常數
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的點的軌跡.
平面內與兩定點F1、F2的距離的
2. 引入問題：
差
等于常數
的點的軌跡是什么呢？
平面內與兩定點F1、F2的距離的
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
復習引入
探求軌跡
平面內到兩個定點F1、F2的距離的差等于常數的動點的軌跡又是怎樣的？
數學實驗：
[1]取一條拉鏈；
[2]如圖把它固定在
板上的兩點F1、F2；
[3] 拉動拉鏈（M）。
思考：1、余下一段拉鏈的目的是什么？
2、誰是動點，誰是定點
3、給雙曲線下定義
雙曲線的形成過程
思考：1、余下一段拉鏈的目的是什么？
2、誰是動點，誰是定點
3、給雙曲線下定義
探究雙曲線的定義
①如圖(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如圖(B)，
上面 兩條合起來叫做雙曲線
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的絕對值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
① 兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;
② |F1F2|=2c ——焦距.
o
F
2
F
1
M
平面內與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于非零常數（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.
雙曲線定義
| |MF1| - |MF2| | = 2a
沒有“絕對值”這個條件時,僅表示雙曲線的一支.
③此常數記為2a，則a我們根據這個幾何性質來得出雙曲線的定義．
2
F
F
1
M
A
B
C
MF1=AC, MF2=BC
通過剛才的探究畫出的圖像就是雙曲線，它由兩條曲線組成，其中一條叫作雙曲線的一支．雙曲線由這兩支共同組成．
一條滿足|MF1|－|MF2| = |AB| = 2a；
另一條滿足|MF2|－|MF1| = |AB| = 2a．
全優P104 右邊 預習自測 1
1.思維辨析（對的畫"√"，錯的畫"×"）
（1）在雙曲線標準方程=1中，a>0，b>0且a≠b. ( )
（2）雙曲線標準方程中，a，b的大小關系是a>b. ( )
課本P121 練習 4
4.雙曲線=1（a>0）的兩個焦點分別是F1與F2,焦距為8;M是雙曲線上的一點，且|MF1|=5，求|MF2|的值.
作業：課本P127 習題3.2 1
（要寫解題過程）
【動手操作，感悟新知】
問：類比橢圓，這個幾何條件有沒有限制條件？
2a
理解定義
對雙曲線定義中的條件加以改變，則動點
M的軌跡是怎么樣的呢？
例如：
（
1
）
0
2
=
a
；
（
2
）
c
a
2
2
=
；
（
3
）
c
a
2
2
>
||MF1|－|MF2||=|F1F2|時，M點一定在上圖中的射線F1P，F2Q 上，此時點的軌跡為兩條射線F1P、F2Q。
②常數大于|F1F2 |時
①常數等于|F1F2|時
|MF1|－|MF2| >|F1F2|
F2
F1
P
M
Q
M
是不可能的，因為三角形兩邊之差小于第三邊。此時無軌跡。
此時點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線。
則|MF1|=|MF2|
F1
F2
M
③常數等于0時
∵若常數2a= |MF1|－|MF2| =0
【概念剖析，學以致用】
概念辨析
判斷下列點的軌跡是不是雙曲線？
①平面內兩定點距離為10，平面內到F 的距離與到F 距離差
為6的點的軌跡。
②平面內兩定點距離為10，平面內到F 的距離與到F 距離差
的絕對值為12的點的軌跡。
③平面直角坐標系內兩定點F (-5,0)，F (5,0)，平面內到F 的距離與到F 距離差的絕對值為6的點的軌跡。
×
×
√
1
2
1
1
1
2
2
2
【概念剖析，學以致用】
雙
曲
線
定
義
兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距
兩個定點 是焦點
全優P103 右邊 預習自測
已知M（-3，0）;N（3，0），|PM|-|PN|=6，則動點P的軌跡是（ ）
A.一條射線 B. 雙曲線右支
C.雙曲線 D.雙曲線左支
生活中的雙曲線
雙曲線型自然通風冷卻塔
法拉利主題公園
生活中的雙曲線
雙曲線在現實中的應用十分廣泛，如：發電廠泠卻塔的外形、廣州塔的外形，通過聲音時差測定位等都要用到雙曲線。
[問題]：根據雙曲線的定義如何用坐標法來探究雙曲線的標準方程呢？
（一）建立平面直角坐標系
如圖，取過焦點F1、 F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系．
設雙曲線的焦距|F1F2|=2c，雙曲線上的點與兩定點的距離之差的絕對值為2a (a > 0)，則F1、 F2的坐標分別為(－c，0)，(c，0)．
（二）設曲線上任意一點（或動點）的坐標為(x，y)
設M(x，y)為雙曲線上任意一點．
x
O
y
F2
F1
M
（三）找出限制動點的幾何條件
因為||MF1|－|MF2||=2a，即|MF1|－|MF2| = ±2a，
（四）將坐標代入幾何關系
所以
（五）化簡式子
由雙曲線的定義知 2c>2a，即c>a，所以c －a >0．設c －a = b (b>0)，
則 b x －a y = a2b ，
上式兩邊同時除以a2b ，得
這稱為雙曲線的標準方程，它所表示的雙曲線焦點在x軸上．坐標分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，c =a ＋ b ．而雙曲線上的點到兩焦點的距離之差的絕對值等于2a．
雙曲線的標準方程
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
雙曲線的標準方程：
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
方程
叫做雙曲線的標準方程
它表示的雙曲線焦點在x軸上，焦點為F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
y
x
y
x
F2
F1
M
y
x
o
y
x
y
x
F2
F1
M
y
o
x
y
x
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
x2
y2
方程
叫做雙曲線的標準方程
它表示的雙曲線焦點在y軸上，焦點為F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2
雙曲線的標準方程
焦點在坐標軸上，且關于原點對稱的雙曲線的標準方程為：
焦點在x軸上：
焦點在y軸上：
雙曲線的標準方程的特點：
（1）左邊是兩個分式的平方差，方程用“-”號連接；右邊是1；
（2）三個參數a、b、c滿足 c =a ＋ b , a、b大小不定；
（3）系數為正的項的分母是a ，系數為負的項的分母就是 b ；
（4）如果x 的系數是正的，則焦點在x軸上； 如果y 的系數是正的，則焦點在y軸上．
如果x2的系數是正時，那么焦點在x軸上
P
如果y2的系數是正時，那么焦點在y軸上
判斷焦點在哪條坐標軸上：
橢圓看分母，
雙曲線看正負。
例1 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(－4，0)，F2(4，0)，雙曲線上任一點到兩個焦點的距離之差的絕對值等于6，求該雙曲線的標準方程．
解：由于雙曲線的焦點在x軸上，故可設它的標準方程為
由雙曲線的定義知2a = 6，所以a = 3．
又因為c = 4，所以 b = c －a = 16－9= 7．
因此，所求雙曲線的標準方程為
求標準方程時,
先定向,后定量.
課本P121 練習 2
2.求證∶雙曲線x -15y =15與橢圓的焦點相同.
課本P121 練習 3
3.已知方程=1表示雙曲線，求m的取值范圍.
課本P121 練習 1
1.求適合下列條件的雙曲線的標準方程∶
（1）焦點在x軸上，a=4，b=3;
（2）焦點在x軸上，經過點（-，-），（，）；
（3）焦點為（0，-6），（0，6），且經過點（2，-5）.
全優P104 左邊 題型1 例1
例1.（1）求經過點P（-，2），Q（，-2）且焦點在坐標軸上的雙曲線的標準方程;
（2）求與雙曲線有公共焦點，且過點（，）的雙曲線的標準方程.
作業：課本P127 習題3.2 2
使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合
解: 由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.
例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.
如圖所示,建立直角坐標系
x
y
o
P
B
A
即 2a=680，a=340
因此炮彈爆炸點的軌跡方程為
設爆炸點P的坐標為(x,y)，則
本小節結束
F佳

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