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人教A版（2019） 第三章 圓錐曲線
專題一 雙曲線
知識梳理
1、雙曲線的概念
平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數（小于且不等于零）的點的軌跡叫做雙曲線.
2、雙曲線的性質
① 范圍：，。
② 對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。
③ 頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。
④ 漸近線： 漸近線方程：.
2、直線與雙曲線的位置關系
設直線l：y＝kx＋m(m≠0)， ①
雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
（1）當b2－a2k2＝0，即k＝±時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點．
（2）當b2－a2k2≠0，即k≠±時，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0 直線與雙曲線有兩個公共點；
Δ＝0 直線與雙曲線有一個公共點；
Δ<0 直線與雙曲線有0個公共點．
思考　直線與雙曲線只有一個交點，是不是直線與雙曲線相切？
答案　不是．當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個交點
3、弦長公式
若斜率為k(k≠0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則|AB|＝.
典型例題
題型1 求雙曲線的方程
例1 已知雙曲線的兩個焦點為F1(－，0)，F2(，0)，P是其上的一點，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，則該雙曲線的方程是(　　)
A. －＝1 B. －＝1 C. －y2＝1 D．x2－＝1
題型2 求雙曲線的離心率
例2 已知某雙曲線的方程為，則該雙曲線的離心率為　　
A． B． C． D．
題型3 求雙曲線的漸近線
例3 雙曲線的漸近線方程是　　
A． B． C． D．
題型4 雙曲線與橢圓的綜合應用
例3 若橢圓和雙曲線有相同的焦點、，是兩條曲線的一個交點，則的值是　　
A． B． C． D．
題型5 雙曲線的綜合應用
例4 （多選）已知雙曲線，則下列說法正確的是　　
A．漸近線方程為 B．焦點坐標為
C．頂點坐標為 D．實軸長為
題型6 求雙曲線的通徑
例5 過雙曲線－＝1的焦點且與x軸垂直的弦的長度為________。
題型7 求雙曲線的弦長
例7 過雙曲線x2－＝1的左焦點F1作傾斜角為的弦AB，則|AB|＝________。
題型8 雙曲線于直線的位置關系
例8 已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1。
（1）若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
（2）若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值。
題型9 與雙曲線有關的軌跡問題
例9 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其它兩觀測點晚4 s．已知各觀測點到該中心的距離是1 020 m．則該巨響發生在接報中心的(假定當時聲音傳播的速度為340 m/s，相關各點均在同一平面上)(　　)
A．北偏西45°方向，距離680 m B．南偏東45°方向，距離680 m
C．北偏西45°方向，距離680 m D．南偏東45°方向，距離680 m
道雖彌，不行不至；事雖小，不為不成！——《荀子·修身》
高二數學 圓錐曲線 雙曲線 1 / 3
專題二 拋物線
1、拋物線的概念
平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。方程叫做拋物線的標準方程。
2、拋物線的性質
一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：
標準方程
圖形
焦點坐標
準線方程
范圍
對稱性 軸 軸 軸 軸
頂點
離心率
要點詮釋：
① 通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；
② 拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；
③ 注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離。
3、直線和拋物線
（1）拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為2p.
（2）拋物線的焦點弦：過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的一條直線與它交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
① y1y2＝－p2，x1x2＝；
② ＝x1＋x2＋p；
③＋＝.
典型例題
題型1 動點軌跡問題
求軌跡問題的兩種方法
直接法：按照動點適合條件直接代入求方程．
定義法： 若動點滿足某種曲線定義，可按待定系數法列方程(組)求解的曲線方程
例1 若動點P與定點F(1,1)和直線l：3x＋y－4＝0的距離相等，則動點P的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線
例2 已知動圓M與直線y＝3相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
例3 設點P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標系xOy內的一個動點(其中O為坐標原點)，點P到定點M的距離比點P到x軸的距離大。
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線l：y＝kx＋1與點P的軌跡相交于A，B兩點，且|AB|＝2，求實數k的值。
題型2 拋物線與直線的綜合應用
例4 已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則的值為　　
A．8 B．6 C．4 D．2
題型3 拋物線的準線問題
例5 （多選）已知拋物線的焦點為，直線的斜率為且經過點，直線與拋物線交于點，兩點（點在第一象限）、與拋物線的準線交于點，若，則以下結論正確的是（ ）
A． B．為中點 C． D．
例6 （多選）設拋物線的焦點為．點在軸上，若線段的中點在拋物線上，且點到拋物線準線的距離為，則點的坐標為　　
A． B． C． D．
題型4 拋物線與橢圓的綜合應用
例7 已知拋物線與橢圓有公共焦點，并交于，兩點．不與軸垂直的直線交拋物線于，兩點，且的中點在橢圓上，的垂直平分線交軸于點。
（1）求拋物線的方程；
（2）求點橫坐標的取值范圍。
題型5 拋物線中的最值問題
求距離的最值，常見的解題思路：
一是利用拋物線的標準方程進行消元代換，得到有關距離的含變量的代數式，以計算函數最值來解決，體現了數學計算的核心素養；
二是利用數形結合轉化兩平行線間距離求得，體現了邏輯推理素養，提升直觀想象能力。
例8 求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小距離。
題型6 拋物線中的定值問題
例9 已知動圓E經過定點D(1,0)，且與直線x＝－1相切，設動圓圓心E的軌跡為曲線C。
（1）求曲線C的方程；
（2）設過點P(1,2)的直線l1，l2分別與曲線C交于A，B兩點，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補，證明：直線AB的斜率為定值。
高二數學 圓錐曲線 拋物線 2 / 2
課后鞏固練習
一、選擇題
1、已知雙曲線方程為x2－＝1，過點P(1,0)的直線l與雙曲線只有一個公共點，則l共有(　　)
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
2、若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]
3、過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|等于(　　)
A. B．2 C．3 D．4
4、已知等軸雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，與直線y＝x交于A，B兩點，若|AB|＝2，則該雙曲線的方程為(　　)
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
5、動點P(x，y)到點F(3,0)的距離比它到直線x＋2＝0的距離大1，則動點的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線
6、設A，B是拋物線x2＝4y上兩點，O為原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7、（多選）已知拋物線C：y＝的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，且|AF|＝2y0，則x0等于(　　)
A．2 B．－2 C．－4 D．4
二、填空題
8、若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的左支交于不同的兩點，則k的取值范圍為________。
9、已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1交于A，B兩點，則a的取值范圍是____________。
10、已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是________。
11、若直線x－y＝2與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標是________。
12、已知定點F(1,0)，動點P在y軸上運動，點M在x軸上，且·＝0，延長MP到點N，使得||＝||，則點N的軌跡方程是________________________________。
三、解答題
13、已知雙曲線的方程為x2－＝1，直線l過點P(1,1)，斜率為k. 當k為何值時，直線l與雙曲線有一個公共點？
14、斜率為2的直線l在雙曲線－＝1上截得的弦長為，求直線l的方程。
15、拋物線M:的焦點為F，過焦點F的直線l(與x軸不垂直)交拋物線M于點A，B，A關于x軸的對稱點為。
（1）求證:直線過定點，并求出這個定點；
（2）若的垂直平分線交拋物線于C，D，四邊形外接圓圓心N的橫坐標為19，求直線AB和圓N的方程。
高二數學 圓錐曲線 課后鞏固練習 2 / 2

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