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5.4.3 正切函數的性質與圖像重要考點歸納總結
考點一：正切函數的圖像識別與應用
1．在（0，）內，使成立的的取值范圍為（ ）
A．（，） B． C． D．
2．（1）若則x的取值范圍是______；（2）不等式的解集為______．
3．函數 在 ，)上的大致圖象依次是下圖中的(　　)
A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③
4．函數的圖象可能是（ ）
A． B．C． D．
5．函數在區間內的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
考點二：正切函數的定義域和值域
6．函數的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在區間上的最大值為，則（ ）
A． B． C． D．
8．函數，的值域為_________.
9．函數，的值域是______．
10．若，則的值域為______．
11．函數的值域是
A． B． C． D．
考點三：正切函數的周期性和對稱性
12．函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函數，則（ ）
A．的最小正周期為，對稱中心為
B．的最小正周期為，對稱中心為
C．的最小正周期為，對稱中心為
D．的最小正周期為，對稱中心為
14．函數圖象的對稱中心的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
15．給出下列函數：①；②；③；④.其中最小正周期為的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．①③
16．函數的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長為，則的值是（ ）
A．0 B．1
C．-1 D．
17．函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
考點四：正切函數的奇偶性
18．“”是“函數為奇函數”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
19．在下列函數中，同時滿足：①在上遞增；②以為周期；③是奇函數的是（ ）
A． B． C． D．.
20．有下列命題①是增函數；②是減函數；③是奇函數；④是偶函數.其中所有正確命題的序號是___________.
21．已知函數，且，則______．
22．已知函數的最大值為M，最小值為m，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
考點五：正切函數的單調性
23．函數的單調遞減區間為_______________.
24．函數的單調遞減區間為______.
25．，，，則的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
26．設，，，則（ ）
A． B． C． D．
27．若函數在區間上是增函數，則實數的取值范圍是______．
28．已知函數在內是減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
29．已知函數，點和是函數圖像的相鄰的兩個對稱中心，且函數在區間內單調遞減，則（ ）
A． B． C． D．
考點六：正切函數的綜合應用
30．關于函數的敘述中，正確的有（ ）
①的最小正周期為；②在區間內單調遞增；
③是偶函數；④的圖象關于點對稱．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
31．（多選）下列說法正確的是（ ）
A．函數在定義域內是增函數
B．函數的增區間是
C．函數的定義域是
D．函數在上的最大值為，最小值為0
32．（多選題）已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期為 B．的圖象關于中心對稱
C．在區間上單調遞增 D．的值域為
33．已知函數，其中．
（1）當時，求函數的最大值和最小值；
（2）若函數在區間上是單調函數，求的取值范圍．
34．已知函數的圖像與x軸相交的兩相鄰點的坐標分別為和，且過點.求：
（1）函數的解析式；
（2）滿足的x的取值范圍.
參考答案
1．B【詳解】
畫出和直線的圖象，
由圖象可得,在上解集為，
故選B.
2．
【詳解】
（1）根據正切函數的圖象，可知在上，滿足的x的取值范圍是，而正切函數的最小正周期是，故滿足的x的集合是；
（2）由正切函數的圖象，可知，所以原不等式的解集為．
故答案為：；
3．C【詳解】
對應的圖象為①， 對應的圖象為②， 對應的圖象為④，對應的圖象為③.故選C.
4．B
【詳解】
由，
則所以，即函數是偶函數故排除A，C，
當時，，排除D.故選：B
5．A【詳解】
函數，
當時，，所以，故排除C、D選項，
當時，，所以，故排除B選項，
故選：A.
6．A【詳解】
由
故選：A
7．A【詳解】
因為，即，
又，所以，所以，
所以，．
故選：A．
8．【詳解】
∵
∴
令,則,的圖象如圖所示
由圖知所求函數的值域為
故答案為:
9．
【詳解】
，
故答案為：
10．【詳解】
解：當時，可得，，此時，則；
當時，可得，，此時，則．
所以函數的值域為．
故答案為：
11．C【詳解】
設,則
,
函數在上為增函數，
,即.
故選C
12．A【詳解】
函數的最小正周期是 ，
故選：A.
13．D【詳解】
因為函數，
所以的最小正周期為，對稱中心為，
故選：D
14．D【詳解】
令，得，
故函數圖象的對稱中心的坐標為.
故選:D.
15．A【詳解】
①，其最小正周期為；
②的圖象，如圖所示：
，
由圖象知的最小正周期為；
的最小正周期；
的圖象如圖所示：
，
由圖象知最小正周期.
故選：A.
16．A【詳解】
因函數的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長為，則的周期為，
則，解得，即，于是得，
所以的值是0.
故選：A
17．D【詳解】
函數的圖象是由的圖象先向右平移個單位長度，再把軸下方的圖象翻折到軸上方得到，故的最小正周期與的相同，為，
故選：D.
18．A【詳解】
當時，，此時為奇函數，
當函數為奇函數，,
故即，此時推不出，
故“”是“函數為奇函數”的充分不必要條件，
故選：A.
19．C【詳解】
選項A，的最小正周期為,不滿足②；
選項B，為偶函數,不滿足③；
選項D，在上單調遞減,不滿足①；
選項C，設,在上單調遞增,則,即,即在上單調遞增,故滿足①；的最小正周期為,故滿足②；,故滿足③
故選：C．
20．④
【詳解】
由正切，余切函數的定義域知，兩個函數均是不連續的，即不是單調函數，故①、②錯誤；
對于函數，在時，，在時，函數無意義，定義域不對稱，則其是非奇非偶函數，故③錯誤；
由知，函數是偶函數，故④正確；
故答案為：④
21．0
【詳解】
由，所以
又
故答案為：0
22．B
【詳解】
解:，令，，于是
，所以是奇函數，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.
故選：B
23．
【詳解】
由題意可知，則要求函數的單調遞減區間只需求的單調遞增區間，
由得，
所以函數的單調遞減區間為.
故答案為：.
24．
【詳解】
,
解得，,
當時，
是增函數，
是減函數，
即的單調遞減區間為，
故答案為：
25．B【詳解】
解：因為，
所以，，
所以，又，
所以.故選：B.
26．D【詳解】
∵ 指數函數在上為增函數，又，
∴ ，
又∵ 對數函數在上為增函數，又
∴ ，
函數在上為增函數，
∴ ，
∴，
故選：D．
27．【詳解】
因為，所以，
所以，，
因為在上單調遞增，
所以，解得：．
所以實數的取值范圍是，故答案為：.
28．B【詳解】
因為函數在內是減函數，所以,
又因為為奇函數，圖像關于原點對稱，
所以圖像關于對稱，
所以函數在內也是減函數，
所以，
所以，即.
又，所以.
故選：B.
29．A【詳解】
點和是函數圖像的相鄰的兩個對稱中心
且正切函數圖像相鄰兩個對稱中心的距離，
函數的最小正周期，
即，解得.
又在區間內單調遞減，
，
.
由，，
得，.
，
當時，；
當時，.
①當時，，
由，，
得，，
即函數的單調遞減區間為，.
當時，函數的單調遞減區間為，滿足條件.
②當時，.
由，，
得，，
即函數的單調遞減區間為，，
當，時，函數單調遞減區間分別為，，
不符合題意，故舍去.
綜上所述，.
故選：A.
30．C【詳解】
由題意，函數
函數的最小正周期，故①錯誤；
令，解得，故函數在單調遞增，當時，為區間，故②正確；
，令為奇函數，故③錯誤；
令，故，故的圖象關于點對稱，當時，為，故④正確
故選：C
31．BD【詳解】
函數在定義域內不具有單調性，故A錯誤；
由，得，故B正確；
由，解得，故C錯誤；
因為函數在上是增函數，所以函數在時取得最大值，在時取得最小值0，故D正確．故選：BD．
32．BC【詳解】
解：函數，
畫出函數的圖象，如圖所示：
，的最小正周期是，
的值域為，
在區間上單調遞增，
根據的圖象，的圖象關于中心對稱，
說法正確的是BC．故選：BC．
（1）最小值，最大值（2）
（1）當時，，對稱軸為
因為，
所以當時，取得最小值，
當時，取得最大值,
所以函數的最大值為，最小值為.
（2）
是關于的二次函數，
它的圖象的對稱軸為直線．
因為在區間上是單調函數，
所以或，
即或，
又，
所以的取值范圍是.
34．（1）；（2）
【詳解】
（1）由題意可得的周期為，所以，所以，
因為它的圖像過點，所以，即，
所以，即.又，所以，于是.
又它的圖像過點，所以，得.
所以.
（2）由（1）得，所以，即.
解得.
所以滿足的x的取值范圍是

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