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數(shù)列通項公式的求法集錦
累加法
形如 (n=2、3、4…...) 且可求，則用累加法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。
在數(shù)列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通項公式。
解：∵
這n-1個等式累加得：=
故 且也滿足該式 ∴ ().
例2．在數(shù)列{}中，=1， (),求。
解：n=1時, =1以上n-1個等式累加得
==，故 且也滿足該式 ∴ ()。
累乘法
形如 (n=2、3、4……)，且可求，則用累乘法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。
例3．在數(shù)列{}中，=1，，求。
解：由已知得 ，分別取n=1、2、3……(n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以時，故
且=1也適用該式 ∴ ().
例4．已知數(shù)列{}滿足=，，求。
解：由已知得，分別令n=1，2，3，….(n-1),代入
上式得n-1個等式累乘，即=
所以，又因為也滿足該式，所以。
三、構(gòu)造等比數(shù)列法
原數(shù)列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一項添上一個數(shù)或一個式子構(gòu)成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或= 其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式。
例5、（06福建理22）已知數(shù)列{}滿足=1，= ()，求數(shù)列{}的通項公式。
解：構(gòu)造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列
即= 整理得：=使之滿足= ∴p=1
即是首項為=2，q=2的等比數(shù)列∴= =
例6、（07全國理21）設(shè)數(shù)列{}的首項，=，n=2、3、4……
（）求{}的通項公式。
解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列
即= 整理得：=滿足=
得 = ∴p=-1 即新數(shù)列首項為，的
等比數(shù)列 ∴= 故 =+1
例7、（07全國理22）已知數(shù)列{}中，=2，=
（）求{}的通項公式。解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列
= 整理得：=+
使之滿足已知條件 =+2∴解得 ∴是首項為 的等比數(shù)列，由此得
= ∴=
例8、已知數(shù)列{}中，=1，=，求數(shù)列的通項公式。
分析：該數(shù)列不同于以上幾個數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應(yīng)構(gòu)造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。
解：構(gòu)造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列
即= 整理得：=
滿足 = 得 ∴新數(shù)列是首項為=，q=2的等比數(shù)列 ∴= ∴=
例9、（07天津文20）在數(shù)列{}中，=2，= ，求數(shù)列的通項。
解：構(gòu)造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則=
整理得：=滿足=，即得∴新數(shù)列的首項為，q=4的等比數(shù)列
∴ ∴
四、構(gòu)造等差數(shù)列法
數(shù)列{}既不等差，也不等比，遞推關(guān)系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構(gòu)造一個等差數(shù)列，從而間接求出。
例10．?dāng)?shù)列{}滿足且。求、、 是否存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及若不存在，說明理由。
解：由==81 得=33；又∵==33得=13；
又∵==13，∴=5
假設(shè)存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列
即= = = 該數(shù)為常數(shù)
∴= 即為首項，d=1的等差數(shù)列
∴=2+=n+1 ∴=
例11、數(shù)列{}滿足= ()，首項為，求數(shù)列{}的通項公式。
解：= 兩邊同除以得=+1
∴數(shù)列是首項為=1，d=1的等差數(shù)列∴=1+ 故=
例12．?dāng)?shù)列{}中，=5，且 （n=2、3、4……），試求數(shù)列{}的通項公式。
解：構(gòu)造一個新數(shù)列，為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列，即
整理得+3，讓該式滿足∴取，得，d=1 ，即是首項為，公差d=1的等差數(shù)列。
故 ∴=
例13、（07天津理21）在數(shù)列{}中，=2，且 （）其中＞0，求數(shù)列{}的通項公式。
解：的底數(shù)與的系數(shù)相同，則兩邊除以得
即∴是首項為，公差d=1的等差數(shù)
列。 ∴ ∴。
取倒數(shù)法
有些關(guān)于通項的遞推關(guān)系式變形后含有項，直接求相鄰兩項的關(guān)系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項的倒數(shù)的關(guān)系容易求得，從而間接求出。
例14、已知數(shù)列{}，= ， ，求=？
解：把原式變形得 兩邊同除以得
∴是首項為，d=的等差數(shù)列故∴。
例15、（06江西理22）已知數(shù)列{}滿足，且（）求數(shù)列{}的通項公式。
解：把原式變形成 兩邊同除以得
即 …… ⑴構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比q= 的等比數(shù)列
即整理得： 滿足⑴式使 ∴
∴數(shù)列是首項為，q= 的等比數(shù)列
∴ ∴。
例16．（06江西文22）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足：，且 求數(shù)列{}的通項公式。
解：把原式變形為
兩邊同除以得 移項得：
所以新數(shù)列是首項為 q=2的等比數(shù)列。
故 解關(guān)于的方程得。
六．利用公式求通項
有些數(shù)列給出{}的前n項和與的關(guān)系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導(dǎo)出與的遞推式，從而求出。
例17.(07重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項和為滿足＞1且6=
n∈ 求{}的通項公式。
解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得
=0 ∵＞0 ∴
從而{}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，故{}的通項為=2+3(n-1)=3n-1.
例18.(07陜西理22)已知各項全不為0的數(shù)列{}的前k項和為，且=(k∈)其中=1，求數(shù)列{}的通項公式。
解：當(dāng)k=1時，=及=1得=2； 當(dāng)k≥2時，
由==得=2∵≠0∴=2
從而=1+(m-1)2=2m-1 =2+(m-1)2=2m (m∈) 故=k (k∈).
例19.(07福建文21)數(shù)列{}的前n項和為，=1， ( n∈),求{}的通項公式。
解：由=1，=2，當(dāng)n≥2時==得=3，因此{}是首項為=2，q=3的等比數(shù)列。故= (n≥2),而=1不滿足該式
所以=。
例20.(06全國Ⅰ理22)該數(shù)列{}的前n項和 (n=1、2、3……) 求{}的通項公式。
解：由 (n=1、2、3……)…①得=
所以=2 再= （n=2、3…）…②
將①和②相減得：==
整理得 （n=2、3…）因而數(shù)列{}是首項為,q=4
的等比數(shù)列。即==，因而。
七．重新構(gòu)造新方程組求通項法
有時數(shù)列{}和{}的通項以方程組的形式給出，要想求出與必須得重新構(gòu)造關(guān)于和的方程組，然后解新方程組求得和。
例21.（07遼寧第21題）：已知數(shù)列{}，{}滿足=2，=1且（）,求數(shù)列{}，{}的通項公式。
解析：兩式相加得 則{}是首項為，d=2的等差數(shù)列，故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)
而兩式相減得== 則{}是首項為=1，q=的等比數(shù)列，故=…………(2)
聯(lián)立(1)、(2)得 由此得，。
分析該題條件新穎,給出的數(shù)據(jù)比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構(gòu)造成等差或等比數(shù)列，從而 再通過解方程組很順利求出{}、{}的通項公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。
例22.在數(shù)列{}、{}中=2，=1，且（n∈）求數(shù)列{}和{}的通項公式。
解析：顯然再把與做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列{}其中為的常數(shù)。則==+=令得=2或=3 則{}為首項，q=+2的等比數(shù)列。
即=2時，{}是首項為4，q=4的等比數(shù)列，故=4×=；
=3時，{}是首項為5，q=5的等比數(shù)列，故=5×=
聯(lián)立二式解得，。
注：該法也可適用于例21，下面給出例21的該種解法
解：構(gòu)造新數(shù)列{}，則
=++=
令得=1或=即=1時，新數(shù)列{}中，=
∴（） 新數(shù)列{}是首項為，d=2的等差數(shù)列 ∴==………(1)
當(dāng)=時，新數(shù)列{}是首項為=1，q=的等比數(shù)列
∴=………(2)
聯(lián)立(1)、(2) 得 ，。
例23.在數(shù)列{}、{}中，，且（n∈），求{}、{}的通項公式。
解：構(gòu)造新數(shù)列{}，則
=+=，令得 =或 =5 {}為首項，q=+5的等比數(shù)列
即=-3時，{}是首項為=，q=5+ =2的等比數(shù)列，故==；
當(dāng) =5時，{}是首項為=6，q=+5=10的等比數(shù)列，故=6×
聯(lián)立二式得，。

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