資源簡(jiǎn)介

江蘇省泰興市第三高級(jí)中學(xué)虹橋校區(qū)校本化講義
編號(hào)：022 課題:§3.3.2.2 拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用
目標(biāo)要求
1、進(jìn)一步理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)．
2、理解并掌握直線與拋物線的位置關(guān)系．
3、理解并掌握與弦長(zhǎng)、中點(diǎn)有關(guān)的問題．
4、理解并掌握拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
本章內(nèi)容的處理方式與“直線與方程”“圓與方程”一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學(xué)目標(biāo)，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線性質(zhì)”為主線，從特殊到一般，在學(xué)生具有較多感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立一般曲線方程的概念．這種從感性到理性的學(xué)習(xí)過程符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律．
本章以橢圓、雙曲線、拋物線為載體，首先從生活實(shí)際和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中抽象出曲線的定義，進(jìn)而類比直線、圓的研究方法，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，得到圓錐曲線的方程，并利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)．在對(duì)三種曲線的研究過程中，雖然這三種曲線各有特點(diǎn)，但研究的思路和方法是一致的，這樣可以讓學(xué)生充分感受和理解解析幾何研究問題的基本思路．最后通過“鏈接”，從圓錐曲線的統(tǒng)一定義的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：與弦長(zhǎng)、中點(diǎn)有關(guān)的問題；
難點(diǎn)：拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用．
教學(xué)過程
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
1. 拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R _____，y∈R _____，x∈R _____，x∈R
對(duì)稱軸 x軸 ________ _______ ________
焦點(diǎn)坐標(biāo) F F_______ F_______ F_______
準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝_____ y＝______ y＝______
頂點(diǎn)坐標(biāo) O(0，0)
離心率 e＝_____
【課前預(yù)習(xí)思考】
(1)拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比有哪些不同？
(2)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)度是多少？
類型一　直線與拋物線的位置關(guān)系(邏輯推理)
【課堂題組訓(xùn)練】
題1. 已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p>0)，則(　　)
A.直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn) B.直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)
C.直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn) D.直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)
題2. 已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l過定點(diǎn)P(－2，1)，斜率為k，k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？
類型二　與弦長(zhǎng)、中點(diǎn)有關(guān)的問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【典例】題3. 已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2，2)為AB的中點(diǎn)，拋物線C的方程為________．
題4. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，過點(diǎn)A(－4，4)且焦點(diǎn)在x軸．
(1)求拋物線方程；
(2)直線l過定點(diǎn)B(－1，0)，與該拋物線相交所得弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程．
【課堂題組訓(xùn)練】
題5. (1)過點(diǎn)Q(4，1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點(diǎn)Q所平分，則AB所在直線的方程為________．
(2)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1①求該拋物線的方程；
②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值．
類型三　拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【典例】題6. 如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．
(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值．
【課堂跟蹤訓(xùn)練】
題7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝－1，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)記Q的軌跡為曲線E，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線交曲線E的弦為AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，求證：直線MN過定點(diǎn)(3，0).
【課后鞏固習(xí)題】
題8. 已知點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為 (　 　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
題9. 已知直線y＝kx＋m與拋物線y2＝4x相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，2)，則k等于________．
題10. 已知拋物線y2＝8x，過動(dòng)點(diǎn)M(a，0)，且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若AB≤8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
題11. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________.
編號(hào)：022 課題:§3.3.2.2 拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用
目標(biāo)要求
1、進(jìn)一步理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)．
2、理解并掌握直線與拋物線的位置關(guān)系．
3、理解并掌握與弦長(zhǎng)、中點(diǎn)有關(guān)的問題．
4、理解并掌握拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用.
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
本章內(nèi)容的處理方式與“直線與方程”“圓與方程”一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學(xué)目標(biāo)，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線性質(zhì)”為主線，從特殊到一般，在學(xué)生具有較多感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上建立一般曲線方程的概念．這種從感性到理性的學(xué)習(xí)過程符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律．
本章以橢圓、雙曲線、拋物線為載體，首先從生活實(shí)際和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中抽象出曲線的定義，進(jìn)而類比直線、圓的研究方法，建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，得到圓錐曲線的方程，并利用方程研究圓錐曲線的性質(zhì)．在對(duì)三種曲線的研究過程中，雖然這三種曲線各有特點(diǎn)，但研究的思路和方法是一致的，這樣可以讓學(xué)生充分感受和理解解析幾何研究問題的基本思路．最后通過“鏈接”，從圓錐曲線的統(tǒng)一定義的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：與弦長(zhǎng)、中點(diǎn)有關(guān)的問題；
難點(diǎn)：拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用．
教學(xué)過程
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
1. 拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對(duì)稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸
焦點(diǎn)坐標(biāo) F F F F
準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
頂點(diǎn)坐標(biāo) O(0，0)
離心率 e＝1
【課前預(yù)習(xí)思考】
(1)拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比有哪些不同？
提示：拋物線的離心率等于1，只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、一條準(zhǔn)線；它沒有中心，也沒有漸近線．
(2)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)度是多少？
提示：這條線段是拋物線的通徑，長(zhǎng)度為2p，借助于通徑可以畫出較準(zhǔn)確的拋物線．
類型一　直線與拋物線的位置關(guān)系(邏輯推理)
【課堂題組訓(xùn)練】
題1. 已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p>0)，則(　　)
A.直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn) B.直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)
C.直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn) D.直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)
【解析】選C.直線方程可化為y＝k(x－1)，因此直線恒過定點(diǎn)(1，0)，點(diǎn)(1，0)在拋物線y2＝2px(p>0)的內(nèi)部，因此直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)．
題2. 已知拋物線的方程為y2＝4x，直線l過定點(diǎn)P(－2，1)，斜率為k，k為何值時(shí)，直線l與拋物線y2＝4x只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒有公共點(diǎn)？
【解析】由題意，直線l的方程為y－1＝k(x＋2)，
由方程組可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①.
Ⅰ：當(dāng)k＝0時(shí)，由方程①得y＝1，把y＝1代入y2＝4x，得x＝，
這時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).
Ⅱ：當(dāng)k≠0時(shí)，方程①的判別式為Δ＝－16(2k2＋k－1).
a.由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，所以方程①只有一個(gè)解，從而方程組(*)只有一個(gè)解，這時(shí)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
b.由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1于是，當(dāng)－1c.由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>.于是k<－1或k>時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，從而方程組(*)沒有解，直線l與拋物線無公共點(diǎn)．
綜上，當(dāng)k＝0或k＝－1或k＝時(shí)，直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)－1時(shí)，直線l與拋物線無公共點(diǎn)．
【解題策略提醒】
　直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法
設(shè)直線l：y＝kx＋b，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，該直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合．
(2)若k2≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與拋物線相離，無公共點(diǎn)．
類型二　與弦長(zhǎng)、中點(diǎn)有關(guān)的問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【典例】題3. 已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2，2)為AB的中點(diǎn)，拋物線C的方程為________．
【思路導(dǎo)引】
設(shè)出拋物線方程，列方程組求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得所設(shè)拋物線方程中的參數(shù)．
【解析】設(shè)拋物線的方程為y2＝ax(a≠0)，由方程組得交點(diǎn)為A(0，0)，B(a，a)，
而點(diǎn)P(2，2)是AB的中點(diǎn)，從而有a＝4，故所求拋物線的方程為y2＝4x.
答案：y2＝4x
題4. 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，過點(diǎn)A(－4，4)且焦點(diǎn)在x軸．
(1)求拋物線方程；
(2)直線l過定點(diǎn)B(－1，0)，與該拋物線相交所得弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程．
【思路導(dǎo)引】
(1)設(shè)出拋物線方程，求出其中的參數(shù)．
(2)分斜率存在與不存在兩種情況求解．
【解析】 (1)設(shè)拋物線方程為y2＝－2px，拋物線過點(diǎn)(－4，4)，42＝－2p(－4)，得p＝2，則y2＝－4x.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l：x＝－1
與拋物線交于(－1，－2)，(－1，2)，弦長(zhǎng)為4，不合題意．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線為y＝k(x＋1)，代入y2＝－4x，消去y得
k2x2＋(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝1.
弦長(zhǎng)為×＝8，解得k2＝1，
得k＝±1，所以直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x－1.
【解題策略提醒】
　中點(diǎn)弦問題解題策略
【課堂題組訓(xùn)練】
題5. (1)過點(diǎn)Q(4，1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點(diǎn)Q所平分，則AB所在直線的方程為________．
(2)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1①求該拋物線的方程；
②O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若＝＋λ，求λ的值．
【解析】(1)方法一：設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y＝8x1，y＝8x2，
所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，所以k＝4.
所以所求弦AB所在直線的方程為y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
方法二：設(shè)弦AB所在直線的方程為y＝k(x－4)＋1.
聯(lián)立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的兩根就是線段端點(diǎn)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝.又y1＋y2＝2，所以k＝4.
所以所求弦AB所在直線的方程為4x－y－15＝0.
(2)①直線AB的方程是y＝2·，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，
由拋物線定義得：AB＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.
②由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，
從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，
B(4，4)；設(shè)＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
類型三　拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【典例】題6. 如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．
(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；
(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，證明：直線AB的斜率為定值．
【思路導(dǎo)引】第(1)問可以利用待定系數(shù)法解決；第(2)問關(guān)鍵是如何將PA與PB兩條直線的傾斜角互補(bǔ)與直線AB的斜率聯(lián)系起來．
【解析】(1)由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，則由點(diǎn)P(1，2)在拋物線上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求拋物線的方程是y2＝4x，準(zhǔn)線方程是x＝－1.
(2)因?yàn)镻A與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，所以kPA＝－kPB，即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，所以x1＝ eq \f(y,4) ，x2＝ eq \f(y,4) ，
從而有 eq \f(y1－2,\f(y,4)－1) ＝－ eq \f(y2－2,\f(y,4)－1) ，即＝－，得y1＋y2＝－4，
故直線AB的斜率kAB＝＝＝－1.
【解題策略提醒】
應(yīng)用拋物線性質(zhì)解題的常用技巧
(1)拋物線的中點(diǎn)弦問題用點(diǎn)差法較簡(jiǎn)便．
(2)軸對(duì)稱問題，一是抓住對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，二是抓住兩點(diǎn)連線的斜率與對(duì)稱軸所在直線斜率的關(guān)系．
(3)在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點(diǎn)問題．解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化．
(4)圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要研究問題中的幾何量，通過運(yùn)算找到定點(diǎn)、定值，說明與參數(shù)無關(guān)，也常用特值探路法找定點(diǎn)、定值．
【課堂跟蹤訓(xùn)練】
題7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝－1，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
(2)記Q的軌跡為曲線E，過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線交曲線E的弦為AB，CD，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，求證：直線MN過定點(diǎn)(3，0).
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)F(1，0)，直線l：x＝－1，所以點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，由此及RQ⊥FP知，RQ是線段FP的垂直平分線．因?yàn)镻Q是點(diǎn)Q到直線l的距離，而PQ＝QF，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y2＝4x(x>0).
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直線AB：x＝my＋1(m≠0)，
則消去x得y2－4my－4＝0.于是，有yM＝＝2m，
xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m).同理，N.
因此，直線MN的斜率kMN＝＝，直線MN的方程為y－2m＝(x－2m2－1)，
即mx＋(1－m2)y－3m＝0.顯然，不論m為何值，(3，0)均滿足方程，所以直線MN過定點(diǎn)(3，0).
【課后鞏固習(xí)題】
題8. 已知點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為 (　 　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
【解析】選C.因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－，且點(diǎn)A(－2，3)在準(zhǔn)線上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，0)，這時(shí)直線AF的斜率kAF＝＝－.
題9. 已知直線y＝kx＋m與拋物線y2＝4x相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，2)，則k等于________．
【解析】由題意，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入拋物線的方程，可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1,y＝4x2)) ，
兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，所以k＝＝＝＝1.
答案：1
題10. 已知拋物線y2＝8x，過動(dòng)點(diǎn)M(a，0)，且斜率為1的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若AB≤8，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】將l的方程y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，則Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，
所以a>－2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
所以AB＝＝≤8，即≤1.又AB>0，所以－2答案：(－2，－1]
題11. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________.
【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1，0)，設(shè)A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0)) ，則，
由得y0＝±2，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)或(1，－2).
答案：(1，2)或(1，－2)
PAGE
- 5 -
高二數(shù)學(xué)備課組 jin_ailiu

展開更多......

收起↑