資源簡介

江蘇省泰興市第三高級中學虹橋校區校本化講義
編號：021 課題:§3.3.2.1 拋物線的幾何性質
目標要求
1、理解并掌握拋物線的幾何性質．
2、理解并掌握由拋物線的幾何性質求標準方程．
3、理解并掌握焦點弦問題．
4、理解并掌握拋物線幾何性質的簡單應用.
學科素養目標
本章內容的處理方式與“直線與方程”“圓與方程”一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學目標，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線性質”為主線，從特殊到一般，在學生具有較多感性認識的基礎上建立一般曲線方程的概念．這種從感性到理性的學習過程符合學生的認知發展規律．
本章以橢圓、雙曲線、拋物線為載體，首先從生活實際和數學實驗中抽象出曲線的定義，進而類比直線、圓的研究方法，建立恰當的直角坐標系，得到圓錐曲線的方程，并利用方程研究圓錐曲線的性質．在對三種曲線的研究過程中，雖然這三種曲線各有特點，但研究的思路和方法是一致的，這樣可以讓學生充分感受和理解解析幾何研究問題的基本思路．最后通過“鏈接”，從圓錐曲線的統一定義的角度進一步認識三種圓錐曲線的內在關系．
重點難點
重點：焦點弦問題；
難點：拋物線幾何性質的簡單應用．
教學過程
基礎知識點
1. 拋物線的幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R _______，y∈R ______，x∈R _____，x∈R
對稱軸 x軸 _______ ________ ________
焦點坐標 F F________ F________ F_______
準線方程 x＝－ x＝______ y＝_______ y＝_______
頂點坐標 O(0，0)
離心率 e＝________
【課前預習思考】
(1)拋物線的幾何性質與橢圓、雙曲線相比有哪些不同？
(2)過焦點垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段長度是多少？
【課前基礎演練】
題1.（多選）下列命題正確的是 ( )
A.拋物線焦點到準線的距離等于p. B.拋物線的范圍是x∈R，y∈R.
C.拋物線是軸對稱圖形． D.拋物線的對稱中心是坐標原點.
題2. 拋物線y＝－x2的焦點坐標為 (　　)
A． B．(－4，0) C． D．(0，－4)
題3. 已知過拋物線y2＝ax(a＞0)的焦點且垂直于x軸的弦長度為2，則實數a的值為 (　　)
A．4 B．2 C．1 D．0
題4. 已知正三角形的一個頂點位于坐標原點，另兩個頂點在拋物線y2＝2x上，則這個正三角形的邊長是________．
類型一　由拋物線的幾何性質求標準方程(數學運算)
【課堂題組訓練】
題5. 頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是 (　 　)
A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y
題6. 以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
題7. 已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為________．
類型二　焦點弦問題(邏輯推理)
【典例】題8. 已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．
(1)若直線l的傾斜角為60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求線段AB的中點M到準線的距離．
【課堂題組訓練】
題9. 過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，求弦長AB.
類型三　拋物線幾何性質的簡單應用(數學運算)
【典例】題10. 已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作直線AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標．
【課堂跟蹤訓練】
題11. 已知A，B是拋物線y2＝2px(p＞0)上兩點，O為坐標原點，若OA＝OB，且△ABO的垂心恰是此拋物線的焦點F，求直線AB的方程．
【教師備選類型】　拋物線中的最值問題(數學抽象、直觀想象)
【典例】題12. 求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小值．
【課后鞏固習題】
題13. 若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p＝ (　 　)
A．2 B．3 C．4 D．8
題14. 若拋物線x2＝8y上一點P(x0，y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的2倍，則y0＝ (　　)
A． B． C．1 D．2
題15. 若拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是 (　　)
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
題16. 設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0，2).若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．
題17. 已知定點A(－3，0)，B(3，0)，動點P在拋物線y2＝2x上移動，則的最小值等于________．
編號：021 課題:§3.3.2 拋物線的幾何性質
目標要求
1、理解并掌握拋物線的幾何性質．
2、理解并掌握由拋物線的幾何性質求標準方程．
3、理解并掌握焦點弦問題．
4、理解并掌握拋物線幾何性質的簡單應用.
學科素養目標
本章內容的處理方式與“直線與方程”“圓與方程”一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學目標，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程，利用方程研究曲線性質”為主線，從特殊到一般，在學生具有較多感性認識的基礎上建立一般曲線方程的概念．這種從感性到理性的學習過程符合學生的認知發展規律．
本章以橢圓、雙曲線、拋物線為載體，首先從生活實際和數學實驗中抽象出曲線的定義，進而類比直線、圓的研究方法，建立恰當的直角坐標系，得到圓錐曲線的方程，并利用方程研究圓錐曲線的性質．在對三種曲線的研究過程中，雖然這三種曲線各有特點，但研究的思路和方法是一致的，這樣可以讓學生充分感受和理解解析幾何研究問題的基本思路．最后通過“鏈接”，從圓錐曲線的統一定義的角度進一步認識三種圓錐曲線的內在關系．
重點難點
重點：焦點弦問題；
難點：拋物線幾何性質的簡單應用．
教學過程
基礎知識點
1. 拋物線的幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸
焦點坐標 F F F F
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
頂點坐標 O(0，0)
離心率 e＝1
【課前預習思考】
(1)拋物線的幾何性質與橢圓、雙曲線相比有哪些不同？
提示：拋物線的離心率等于1，只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線；它沒有中心，也沒有漸近線．
(2)過焦點垂直于對稱軸的直線被拋物線截得的線段長度是多少？
提示：這條線段是拋物線的通徑，長度為2p，借助于通徑可以畫出較準確的拋物線．
【課前基礎演練】
題1.（多選）下列命題正確的是 ( )
A.拋物線焦點到準線的距離等于p. B.拋物線的范圍是x∈R，y∈R.
C.拋物線是軸對稱圖形． D.拋物線的對稱中心是坐標原點.
【答案】AC
【解析】A√.拋物線焦點到準線的距離等于＋＝p.
B×.拋物線的方程不同，其范圍就不一樣，如y2＝2px(p>0)的范圍是x≥0，y∈R，故此說法錯誤．
C√.拋物線y2＝±2px(p>0)的對稱軸為x軸，拋物線x2＝±2py(p>0)的對稱軸為y軸，故此說法正確．
D×.拋物線不是軸對稱圖形.
故選AC.
題2. 拋物線y＝－x2的焦點坐標為 (　　)
A． B．(－4，0) C． D．(0，－4)
【解析】選D.因為拋物線y＝－x2，所以x2＝－16y，所以拋物線的焦點坐標為(0，－4).
題3. 已知過拋物線y2＝ax(a＞0)的焦點且垂直于x軸的弦長度為2，則實數a的值為 (　　)
A．4 B．2 C．1 D．0
【解析】選B.
由題意可得焦點F，將x＝代入拋物線方程可得y2＝，解得y＝±，所以a＝2.
題4. 已知正三角形的一個頂點位于坐標原點，另兩個頂點在拋物線y2＝2x上，則這個正三角形的邊長是________．
【解析】由題意得，正三角形另外兩個頂點關于x軸對稱，設一個頂點坐標為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)，y0)) ，邊長為a，
則有tan ＝ eq \f(2y0,y) ，解得y0＝2，再由正弦定理sin ＝＝，解得a＝4.
答案：4
類型一　由拋物線的幾何性質求標準方程(數學運算)
【課堂題組訓練】
題5. 頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是 (　 　)
A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y
【解析】選D.頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)，由頂點到準線的距離為4，知p＝8，故所求拋物線的方程為x2＝16y或x2＝－16y.
題6. 以x軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標原點，則其方程為(　　)
A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
【解析】選C.設拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依題意將x＝或x＝－代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，所以2|y|＝2p＝8，p＝4.
所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.
題7. 已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為________．
【解析】因為雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以＝＝2，
所以b＝a，所以雙曲線的漸近線方程為x±y＝0.
所以拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為＝2，
所以p＝8，所以所求的拋物線方程為x2＝16y.
答案：x2＝16y
【解題策略提醒】
　用待定系數法求拋物線方程的步驟
提醒：求拋物線的方程時要注意拋物線的焦點位置，不同的焦點設出不同的方程．
類型二　焦點弦問題(邏輯推理)
【典例】題8. 已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點．
(1)若直線l的傾斜角為60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求線段AB的中點M到準線的距離．
四步 內容
理解題意 條件：已知拋物線方程及過拋物線焦點的直線結論：求弦長及線段的中點到準線的距離
思路探求 (1)寫出直線方程，把直線方程和拋物線方程聯立求得坐標，利用弦長公式求得弦長．(2)利用拋物線定義結合焦點弦的長度求得中點橫坐標．
書寫表達 (1)因為直線l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan 60°＝，又F，所以直線l的方程為y＝.聯立消去y得4x2－20x＋9＝0，解得x1＝，x2＝，故AB＝×＝2×4＝8.
書寫表達 (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義，知AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，又準線方程是x＝－，所以M到準線的距離等于3＋＝.易錯關注點：①聯立方程組，消元時一定要確保正確性；②會應用根與系數的關系求弦長或解決中點弦問題，避免求解交點的煩瑣運算．
題后反思 提示：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)AB＝x1＋x2＋p，AF＝x1＋.(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．
【解題策略提醒】
1．拋物線的焦半徑
定義 拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點與拋物線焦點為端點的線段．
焦半徑公式 P(x0，y0)為拋物線上一點，F為焦點．①若拋物線y2＝2px(p＞0)，則PF＝x0＋；②若拋物線y2＝－2px(p＞0)，則PF＝－x0；③若拋物線x2＝2py(p＞0)，則PF＝y0＋；④若拋物線x2＝－2py(p＞0)，則PF＝－y0.
2.過焦點的弦長的求解方法
設過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯立、消元，由根與系數的關系求出x1＋x2即可．
【課堂題組訓練】
題9. 過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，求弦長AB.
【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得拋物線的焦點是F(1，0)，p＝2，所以直線AB的方程是y＝x－1，
聯立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
類型三　拋物線幾何性質的簡單應用(數學運算)
【典例】題10. 已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作直線AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標．
【思路導引】(1)利用拋物線的定義求出p；
(2)求出直線FA和MN的方程，聯立解方程組．
【解析】(1)拋物線y2＝2px的準線為x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x.
(2)因為點A的坐標是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2).
又因為F(1，0)，所以kFA＝，因為MN⊥FA，所以kMN＝－.又FA的方程為y＝(x－1)，①
MN的方程為y－2＝－x，② 聯立①②，解得x＝，y＝，所以點N的坐標為.
【解題策略提醒】
　利用拋物線的性質可以解決的問題
(1)對稱性：解決拋物線的內接三角形問題．
(2)焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題．
(3)范圍：解決與拋物線有關的最值問題．
(4)焦點：解決焦點弦問題．
【課堂跟蹤訓練】
題11. 已知A，B是拋物線y2＝2px(p＞0)上兩點，O為坐標原點，若OA＝OB，且△ABO的垂心恰是此拋物線的焦點F，求直線AB的方程．
【解析】拋物線的焦點F，因為拋物線關于x軸對稱，OA＝OB，所以△ABO為等腰三角形，所以A，B兩點關于x軸對稱，設A(x0，y0)，則B(x0，－y0)，因為△ABO的垂心恰為拋物線的焦點，所以BF⊥OA.則kBF·kOA＝－1，即·＝－1.又因為y＝2px0，所以x0＝p，所以直線AB的方程為x＝.
【教師備選類型】　拋物線中的最值問題(數學抽象、直觀想象)
【典例】題12. 求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小值．
【思路導引】方法一：(代數法)設出拋物線上的動點，轉化為函數求最值；
方法二：(幾何法)數形結合思想轉化為兩條平行線間的距離求解．
【解析】方法一：設A(t，－t2)為拋物線上的點，
則點A到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝＝＝＝×3(t－)2＋×＝＋.所以當t＝時，d有最小值.
方法二：如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，所以Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－.
所以最小距離為＝＝.
【解題策略提醒】
　與拋物線相關的最值的求法
(1)若曲線和直線相離，在曲線上求一點到直線的距離最小問
題，可找到與已知直線平行的直線，使其與曲線相切，則切點為所要求的點．
(2)以上問題一般轉化為“兩點之間線段最短”或“點到直線的垂線段最短”來解決．
【課后鞏固習題】
題13. 若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點是橢圓＋＝1的一個焦點，則p＝ (　 　)
A．2 B．3 C．4 D．8
【解析】選D.因為橢圓的焦點為(±，0)，拋物線的焦點為，由已知可得＝，解得p＝8.
題14. 若拋物線x2＝8y上一點P(x0，y0)到焦點的距離是該點到x軸距離的2倍，則y0＝ (　　)
A． B． C．1 D．2
【解析】選D.因為P(x0，y0)到焦點的距離d＝y0＋2，則y0＋2＝2y0，解得y0＝2.
題15. 若拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點到焦點的距離恒大于1，則p的取值范圍是 (　　)
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
【解析】選D.設P點為拋物線上的任意一點，則P到焦點的距離等于到準線：x＝－的距離，
顯然當P為拋物線的頂點時，P到準線的距離取得最小值，所以＞1，即p＞2.
題16. 設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0，2).若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________．
【解析】由拋物線y2＝2px(p>0)，得焦點F的坐標為，則FA的中點B的坐標為，
代入拋物線方程得，2p×＝1，所以p＝，所以B點到準線的距離為＋＝p＝.
答案：
題17. 已知定點A(－3，0)，B(3，0)，動點P在拋物線y2＝2x上移動，則的最小值等于________．
【解析】設P，則y2＝2x，因為A，B，
所以，
故當x＝0時，取得最小值為－9.
答案：－9
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高二數學備課組 jin_ailiu

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