資源簡介

泰興市第三高級中學虹橋校區校本化講義
編號：023 課題:§3 圓錐曲線與方程復習課
目標要求
1、理解并掌握圓錐曲線的定義及應用．
2、理解并掌握圓錐曲線的方程．
3、理解并掌握圓錐曲線的幾何性質．
4、理解并掌握直線與圓錐曲線的位置關系.
學科素養目標
本章以“圓”為載體，再次實踐和感悟運用解析幾何思想研究問題的一般思路．通過本章的學習，學生將在類比直線的研究方法的基礎上，進一步體會和掌握在平面直角坐標系中建立圓的方程，進而運用方程研究圓的幾何性質及直線和圓、圓和圓的相互位置關系，體會數形結合的思想，逐步形成用代數方法解決幾何問題的能力．
重點難點
重點：圓錐曲線的幾何性質；
難點：直線與圓錐曲線的位置關系．
教學過程
思維結構簡圖
基礎知識積累
1. 橢圓的定義
(1)文字語言：平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于 ____ (大于F1F2)的點的軌跡叫作 _____ ，兩個定點F1，F2叫作橢圓的 __ ，兩個焦點間的距離叫作橢圓的 __ ．
(2)集合語言：
P＝{M| ______________________ ，2a>F1F2}．
2．橢圓的標準方程
橢圓標準方程的兩種形式
焦點位置 標準方程 焦點 焦距
焦點在x軸上 ______________(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦點在y軸上 ____________(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
3. 橢圓的幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數____，即（）
第二定義 與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍 且 且
頂點 、、 、、
軸長 長軸的長 短軸的長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準線方程
焦半徑 左焦半徑：右焦半徑： 下焦半徑：上焦半徑：
焦點三角形面積
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
（焦點）弦長公式 ，
4．橢圓的離心率
(1)定義：焦距與長軸長的比______．
(2)記法：e＝____．
(3)范圍：_________．
(4)e與橢圓形狀的關系：e越接近_____，橢圓越扁平，e越接近______，橢圓越接近于圓.
5. 點與橢圓的位置關系
設P(x0，y0)，橢圓＋＝1(a>b>0)，則點P與橢圓的位置關系如表所示：
位置關系 滿足條件
P在橢圓外 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ___1
P在橢圓上 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ＝1
P在橢圓內 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ___1
6.直線與橢圓的位置關系
判斷直線和橢圓位置關系的方法
直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a＞b＞0)的位置關系的判斷方法：聯立消去y，得關于x的一元二次方程．
當Δ＞0時，方程有兩個不同解，直線與橢圓______；
當Δ＝0時，方程有兩個相同解，直線與橢圓_______；
當Δ＜0時，方程無解，直線與橢圓_______．
7．弦長公式
設直線l：y＝kx＋m(k≠0，m為常數)與橢圓＋＝1(a>b>0)相交，兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦長公式①：AB＝_____________________________．
弦長公式②：AB＝_____________________________．
8. 雙曲線的定義
(1)文字語言：平面內到兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于________(小于F1F2的正數)的點的軌跡叫作 _______ ，兩個定點F1，F2叫作雙曲線的 ___ ，兩個焦點間的距離叫作雙曲線的 _ ．
(2)集合語言：
P＝{M||MF1－MF2|＝ _ ，0< _ 9．雙曲線的標準方程
焦點所在的坐標軸 x軸 y軸
標準方程
圖形
焦點坐標
的關系式
10. 雙曲線的幾何性質
焦點所在的坐標軸 x軸 y軸
標準方程
圖形
性質 范圍
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標
軸長 實軸長： 虛軸長：
漸近線
離心率 ，其中
的關系式 （）
11.等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為 ，離心率為 .
12. 物線的定義
文字語言：平面內到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線，定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線．
13.拋物線的標準方程
由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標準方程有以下幾種形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
現將這四種拋物線對應的標準方程、圖形、焦點坐標及準線方程列表如下：
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
焦點坐標 ___________ ___________
準線方程 x＝_______ x＝ y＝________ y＝
p的幾何意義 __________________的距離
14. 拋物線的幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R _______，y∈R ______，x∈R _____，x∈R
對稱軸 x軸 _______ ________ ________
焦點坐標 F F________ F________ F_______
準線方程 x＝－ x＝______ y＝_______ y＝_______
頂點坐標 O(0，0)
離心率 e＝________
【課堂題組訓練】
題組訓練一　圓錐曲線的定義及應用
題1．已知動點M的坐標滿足方程5＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是 (　 　)
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．以上都不對
題2．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為__________．
題組訓練二　圓錐曲線的方程
題3．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于，則橢圓C的方程是 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
題4．拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，準線為l，點P在l上，線段PF與拋物線C交于點A，若，點A到y軸的距離為1，則拋物線C的方程為 (　　)
A．x2＝4y B．x2＝3y C．x2＝2y D．x2＝y
題5．已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________．
題組訓練三　圓錐曲線的幾何性質
題6．如圖所示，F1，F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是 (　 　)
A. B． C． D．
題7．已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為________．
題組訓練四　直線與圓錐曲線的位置關系
題8. 若點A為拋物線y＝x2的頂點，過拋物線焦點的直線交拋物線于B，C兩點，則 (　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
題9. 已知A，B分別為橢圓E：＋y2＝1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.
(1)求E的方程；
(2)證明：直線CD過定點．
編號：023 課題:§3 圓錐曲線與方程復習課
目標要求
1、理解并掌握圓錐曲線的定義及應用．
2、理解并掌握圓錐曲線的方程．
3、理解并掌握圓錐曲線的幾何性質．
4、理解并掌握直線與圓錐曲線的位置關系.
學科素養目標
本章以“圓”為載體，再次實踐和感悟運用解析幾何思想研究問題的一般思路．通過本章的學習，學生將在類比直線的研究方法的基礎上，進一步體會和掌握在平面直角坐標系中建立圓的方程，進而運用方程研究圓的幾何性質及直線和圓、圓和圓的相互位置關系，體會數形結合的思想，逐步形成用代數方法解決幾何問題的能力．
重點難點
重點：圓錐曲線的幾何性質；
難點：直線與圓錐曲線的位置關系．
教學過程
思維結構簡圖
基礎知識積累
1. 橢圓的定義
(1)文字語言：平面內到兩個定點F1，F2的距離之和等于 常數 (大于F1F2)的點的軌跡叫作 橢圓 ，兩個定點F1，F2叫作橢圓的 焦點 ，兩個焦點間的距離叫作橢圓的 焦距 ．
(2)集合語言：
P＝{M| MF1＋MF2＝2a ，2a>F1F2}．
2．橢圓的標準方程
橢圓標準方程的兩種形式
焦點位置 標準方程 焦點 焦距
焦點在x軸上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0) 2c(c>0)
焦點在y軸上 ＋＝1(a＞b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c(c>0)
3. 橢圓的幾何性質
焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
第一定義 到兩定點的距離之和等于常數2，即（）
第二定義 與一定點的距離和到一定直線的距離之比為常數，即
范圍 且 且
頂點 、、 、、
軸長 長軸的長 短軸的長
對稱性 關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱
焦點 、 、
焦距
離心率
準線方程
焦半徑 左焦半徑：右焦半徑： 下焦半徑：上焦半徑：
焦點三角形面積
通徑 過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：
（焦點）弦長公式 ，
4．橢圓的離心率
(1)定義：焦距與長軸長的比．
(2)記法：e＝．
(3)范圍：0(4)e與橢圓形狀的關系：e越接近 1 ，橢圓越扁平，e越接近 0 ，橢圓越接近于圓.
5. 點與橢圓的位置關系
設P(x0，y0)，橢圓＋＝1(a>b>0)，則點P與橢圓的位置關系如表所示：
位置關系 滿足條件
P在橢圓外 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) >1
P在橢圓上 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) ＝1
P在橢圓內 eq \f(x,a2) ＋ eq \f(y,b2) <1
6.直線與橢圓的位置關系
判斷直線和橢圓位置關系的方法
直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a＞b＞0)的位置關系的判斷方法：聯立消去y，得關于x的一元二次方程．
當Δ＞0時，方程有兩個不同解，直線與橢圓相交；
當Δ＝0時，方程有兩個相同解，直線與橢圓相切；
當Δ＜0時，方程無解，直線與橢圓相離．
7．弦長公式
設直線l：y＝kx＋m(k≠0，m為常數)與橢圓＋＝1(a>b>0)相交，兩個交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦長公式①：AB＝·．
弦長公式②：AB＝·．
8. 雙曲線的定義
(1)文字語言：平面內到兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數(小于F1F2的正數)的點的軌跡叫作 雙曲線 ，兩個定點F1，F2叫作雙曲線的 焦點 ，兩個焦點間的距離叫作雙曲線的 焦距 ．
(2)集合語言：
P＝{M||MF1－MF2|＝ 2a ，0< 2a 9．雙曲線的標準方程
焦點所在的坐標軸 x軸 y軸
標準方程
圖形
焦點坐標
的關系式
10. 雙曲線的幾何性質
焦點所在的坐標軸 x軸 y軸
標準方程
圖形
性質 范圍
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點坐標
軸長 實軸長： 虛軸長：
漸近線
離心率 ，其中
的關系式 （）
11.等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線，其漸近線方程為 y＝±x ，離心率為 .
12. 物線的定義
文字語言：平面內到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線，定點F叫作拋物線的焦點，定直線l叫作拋物線的準線．
13.拋物線的標準方程
由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標準方程有以下幾種形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
現將這四種拋物線對應的標準方程、圖形、焦點坐標及準線方程列表如下：
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
焦點坐標
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
p的幾何意義 焦點到準線的距離
14. 拋物線的幾何性質
標準方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸
焦點坐標 F F F F
準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
頂點坐標 O(0，0)
離心率 e＝1
【課堂題組訓練】
題組訓練一　圓錐曲線的定義及應用
題1．已知動點M的坐標滿足方程5＝|3x＋4y－12|，則動點M的軌跡是 (　 　)
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．以上都不對
【解析】選C.把軌跡方程5＝|3x＋4y－12|寫成＝.
所以動點M到原點的距離與它到直線3x＋4y－12＝0的距離相等．
所以點M的軌跡是以原點為焦點，直線3x＋4y－12＝0為準線的拋物線．
題2．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為__________．
【解析】設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，
因為AB過點F1且A，B在橢圓上，如圖所示，則△ABF2的周長為AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，所以a＝4. 又離心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
答案：＋＝1
【解題策略提醒】
　“回歸定義”解題的三點應用
應用一：在求軌跡方程時，若所求軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；
應用二：涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個定點構成的三角形問題時，常用定義結合解三角形的知識來解決；
應用三：在求有關拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離，結合幾何圖形，利用幾何意義去解決．
題組訓練二　圓錐曲線的方程
題3．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，離心率等于，則橢圓C的方程是 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】選D.由題意得，解得，則b2＝a2－c2＝3，故橢圓C的方程為＋＝1.
題4．拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，準線為l，點P在l上，線段PF與拋物線C交于點A，若，點A到y軸的距離為1，則拋物線C的方程為 (　　)
A．x2＝4y B．x2＝3y C．x2＝2y D．x2＝y
【解析】選C.由題可知點F，P，因為點A到y軸的距離為1，且A在拋物線上，
所以不妨設點A，因為，所以－＝，解得p＝或－(舍去).
所以拋物線的方程為x2＝2y.
題5．已知拋物線y2＝8x的準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為________．
【解析】由題意得，解得，則b2＝c2－a2＝3，因此雙曲線方程為x2－＝1.
答案：x2－＝1
【解題策略提醒】
求圓錐曲線方程的一般步驟
一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定型，后定式，再定量”的步驟．
(1)定型——二次曲線的焦點位置與對稱軸的位置．
(2)定式——根據“型”設方程的形式，注意曲線系方程的應用，如當橢圓的焦點不確定在哪個坐標軸上時，可設方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).
(3)定量——由題設中的條件找到“式”中待定系數的等量關系，通過解方程得到量的大小．
題組訓練三　圓錐曲線的幾何性質
題6．如圖所示，F1，F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是 (　 　)
A. B． C． D．
【解析】選D.由橢圓可知AF1＋AF2＝4，F1F2＝2.
因為四邊形AF1BF2為矩形，所以AF＋AF＝F1F＝12，
所以2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF＋AF)＝16－12＝4，
所以(AF2－AF1)2＝AF＋AF－2AF1·AF2＝12－4＝8，所以AF2－AF1＝2，
因此對于雙曲線有a＝，c＝，所以C2的離心率e＝＝.
題7．已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為________．
【解析】設橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為e1和e2，則e1＝，e2＝.
因為e1·e2＝，所以＝，即＝，所以＝.
故雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，即x±y＝0.
答案：x±y＝0
【解題策略提醒】
　求解離心率的三種方法
(1)定義法：由橢圓(雙曲線)的標準方程可知，不論橢圓(雙曲線)的焦點在x軸上還是y軸上都有關系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意兩個參數，可以求其他的參數，這是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立參數a與c之間的齊次關系式，從而求出其離心率，這是求離心率的十分重要的思路及方法．
(3)幾何法：求與過焦點的三角形有關的離心率問題，根據平面幾何性質以及橢圓(雙曲線)的定義、幾何性質，建立參數之間的關系，通過畫出圖形，觀察線段之間的關系，使問題更形象、直觀．
題組訓練四　直線與圓錐曲線的位置關系
題8. 若點A為拋物線y＝x2的頂點，過拋物線焦點的直線交拋物線于B，C兩點，則 (　　)
A．－3 B．3 C．－4 D．4
【解析】選A.由題意可得A(0，0)，拋物線的焦點為(0，1)，所以直線BC的方程為：y＝kx＋1，聯立可得x2－kx－1＝0，設B，C，則x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，
所以y1y2＝＝k2x1x2＋k＋1，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋k＋1＝×＋4k2＋1＝－3.
題9. 已知A，B分別為橢圓E：＋y2＝1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.
(1)求E的方程；
(2)證明：直線CD過定點．
【解析】(1)依據題意作圖如圖所示：
由題設得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).則＝(a，1)，＝(a，－1).
由得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程為＋y2＝1.
(2)設P，則直線AP的方程為：y＝，即：y＝，
聯立直線AP的方程與橢圓方程可得：整理得： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋9)) x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得：x＝－3或x＝ eq \f(－3y＋27,y＋9) ，
將x＝ eq \f(－3y＋27,y＋9) 代入直線y＝可得：y＝ eq \f(6y0,y＋9) ，所以點C的坐標為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3y＋27,y＋9)，\f(6y0,y＋9))) .
同理可得：點D的坐標為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3y－3,y＋1)，\f(－2y0,y＋1))) ，
所以直線CD的方程為：y－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1))) ＝ eq \f(\f(6y0,y＋9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1))),\f(－3y＋27,y＋9)－\f(3y－3,y＋1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1))) ，
整理可得：y＋ eq \f(2y0,y＋1) ＝ eq \f(8y0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋3)),6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1))) ＝ eq \f(8y0,6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1))) ，
整理得：y＝ eq \f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y))) x＋ eq \f(2y0,y－3) ＝ eq \f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) 故直線CD過定點.
【解題策略提醒】
　直線與圓錐曲線的三種位置關系
將直線方程與圓錐曲線方程聯立，化簡后得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線的位置關系有三種情況：
(1)相交：Δ>0 直線與橢圓相交；Δ>0 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有Δ>0，如當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故Δ>0是直線與雙曲線相交的充分不必要條件；Δ>0 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有Δ>0，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故Δ>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，而不是必要條件．
(2)相切：Δ＝0 直線與橢圓相切；Δ＝0 直線與雙曲線相切；Δ＝0 直線與拋物線相切．
(3)相離：Δ<0 直線與橢圓相離；Δ<0 直線與雙曲線相離；Δ<0 直線與拋物線相離．
高二數學備課組 jin_ailiu

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