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高一數學必修一第五章：三角函數（十）
恒等變換
設計師：寧永輝
第一部分：三角函數公式
知識點一：三角函數兩角和差公式
如下表所示：
正弦兩角和差公式 ① 正弦兩角和差展開之后由兩項組成，兩項都是正弦乘余弦，兩項之間和差與兩角和差相同。
②
余弦兩角和差公式 ① 余弦兩角和差展開之后第一項余弦乘余弦，第二項正弦乘正弦，兩項之間和差與兩角和差相反。
②
正切兩角和差公式 ① 正切兩角和差展開式為分式結構，分子是兩角正切的和差，和差與兩角和差相同，分母是和兩角正切的乘積，和差與兩角和差相反。
②
知識點二：三角函數二倍角公式
如下表所示：
正弦二倍角公式 。
余弦二倍角公式 。 ，。 。 。
正切二倍角公式 。
知識點三：三角函數半角公式
如下表所示：
。
。
。
知識點四：三角函數和差化積公式
如下表所示：
和差化積公式一：。 推理：； ； 。
和差化積公式二：。 推理：； ； 。
和差化積公式三：。 推理：； ； 。
和差化積公式四：。 推理：； ； 。
和差化積公式五：。 推理：。
和差化積公式六：。 推理：。
知識點五：三角函數輔助角公式
如下表所示：
輔助角公式一：，其中，，。 推理：。 假設：，。 原式。
輔助角公式二：，其中，，。 推理：。 假設：，。 原式。
輔助角公式三：，其中，，。 推理：。 假設：，。 原式。
輔助角公式四：，其中，，。 推理：。 假設：，。 原式。
第二部分：三角函數化簡
題型一：三角函數輔助角公式
一、三角函數輔助角公式化簡例題講解，如下表所示：
例題一：化簡：。 解：計算：。 。
例題二：化簡：。 解：計算：。 。
例題三：化簡：。 解：計算：。 。
例題四：化簡：。 解：計算：。 。
二、三角函數輔助角公式化簡跟蹤訓練，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解：
訓練二：化簡：。 解：
訓練三：化簡：。 解：
訓練四：化簡：。 解：
三、三角函數輔助角公式化簡跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解：計算：。 。
訓練二：化簡：。 解：計算：。 。
訓練三：化簡：。 解：計算：。 。
訓練四：化簡：。 解：計算：。 。
題型二：三角函數半角公式與誘導公式結合題型
一、三角函數半角公式與誘導公式結合例題講解，如下表所示：
例題一：化簡：。 解：。
例題二：化簡：。 解：。
例題三：化簡：。 解：。
二、三角函數半角公式與誘導公式結合跟蹤訓練，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解：
訓練二：化簡：。 解：
訓練三：化簡：。 解：
三、三角函數半角公式與誘導公式結合跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解：。
訓練二：化簡：。 解：。
訓練三：化簡：。 解：。
題型三：三角函數半角公式與輔助角公式結合題型
一、三角函數半角公式與輔助角公式結合例題講解，如下表所示：
例題一：化簡：。 解：。 計算：。 。
例題二：化簡：。 解：。 計算：。 。
例題三：。 解： 。
二、三角函數半角公式與輔助角公式結合跟蹤訓練，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解：
訓練二：化簡：。 解：
訓練三：化簡：。 解：
三、三角函數半角公式與輔助角公式結合跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解： 。 計算：。 。
訓練二：化簡：。 解：。 計算：。 。
訓練三：化簡：。 解： 。
題型四：三角函數兩角和差、半角公式與輔助角公式結合題型
一、三角函數兩角和差、半角公式與輔助角公式結合例題講解，如下表所示：
例題一：化簡：。 解： 。
例題二：化簡：。 解： 。
例題三：化簡：。 解： 。 計算：。 。
二、三角函數兩角和差、半角公式與輔助角公式結合跟蹤訓練，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解：
訓練二：化簡：。 解：
訓練三：化簡：。 解：
三、三角函數兩角和差、半角公式與輔助角公式結合跟蹤訓練參考答案，如下表所示：
訓練一：化簡：。 解： 。 計算：。 。
訓練二：化簡：。 解： 。
訓練三：化簡：。 解： 。 計算：。 。
第三部分：三角函數值計算
三角函數值計算高考真題講解
例題一：2021年高考文科數學全國乙卷第6題：（ ） A、 B、 C、 D、 解：誘導公式得到：。 。
例題二：2021年高考數學全國甲卷文科第11題理科第9題：若，，則 （ ） A、 B、 C、 D、 解： 。 ，。 。
例題三：2020年高考理科數學新課標1卷第9題：已知，且，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：余弦二倍角公式得到：。 或者，。 同角之間基本關系得到：，。
例題四：2020年高考文科數學新課標2卷第13題：若，則 。 解：余弦二倍角公式得到：。
例題五：2020年高考數學江蘇卷第8題：已知，則的值是 。 解：三角函數半角公式得到： 。 三角函數誘導公式得到：。
例題六：2020年高考數學浙江卷第13題：已知，則 ， 。 解：。 。
例題七：2020年高考理科數學新課標3卷第9題：已知，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：。 。
例題八：2020年高考文科數學新課標3卷第5題：已知，則（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
例題九：2019年高考理科數學新課標2卷第10題：已知，，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：。 。 。
例題十：2019年高考數學江蘇卷第13題：已知，則的值是 。 解： 或者。 。 分類討論：（1）當時：。（2）當時：。 所以：。
例題十一：2018年高考理科數學新課標2卷第15題：已知，，則 。 解：①。 ②。 ①②相加得到： 。
例題十二：2018年高考文科數學新課標2卷第15題：已知，則 。 解：。
三角函數值計算高考真題跟蹤訓練
訓練一：2018年高考數學新課標3卷理科第4題文科第4題：若，則（ ） A、 B、 C、 D 、 解：
訓練二：2018年高考數學江蘇卷第16題：已知，為銳角，，。 （1）求的值； （2）求的值。 解：
訓練三：2018年高考數學浙江卷第18題：已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點。 （1）求的值； （2）若角滿足，求的值。 解：
訓練四：2017年高考文科數學新課標1卷第15題：已知，，則 。 解：
訓練五：2017年高考文科數學新課標3卷第4題：已知，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：
訓練六：2017年高考數學江蘇卷第5題：若，則 。 解：
訓練七：2017年高考文科數學山東卷第4題：已知，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：
訓練八：2016年高考理科數學新課標3卷第5題：若，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：
訓練九：2016年高考理科數學新課標2卷第9題：若，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：
訓練十：2016年高考理科數學四川卷第11題： 。 解：
訓練十一：2016年高考文科數學新課標1卷第14題：已知是第四象限角，且，則 。 解：
訓練十二：2016年高考文科數學新課標3卷第6題：若，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：
三角函數值計算高考真題跟蹤訓練參考答案
訓練一：2018年高考數學新課標3卷理科第4題文科第4題：若，則（ ） A、 B、 C、 D 、 解：。
訓練二：2018年高考數學江蘇卷第16題：已知，為銳角，，。 （1）求的值； （2）求的值。 解：（1）。 。 。 （2），，為銳角 。。 。 。
訓練三：2018年高考數學浙江卷第18題：已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點。 （1）求的值； （2）若角滿足，求的值。 解：（1）。 。 根據三角函數誘導公式得到：。 （2）。 分類討論： ①當時： 。 ②當時： 。
訓練四：2017年高考文科數學新課標1卷第15題：已知，，則 。 解：。 。 。。 。
訓練五：2017年高考文科數學新課標3卷第4題：已知，則（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
訓練六：2017年高考數學江蘇卷第5題：若，則 。 解：。
訓練七：2017年高考文科數學山東卷第4題：已知，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：。
訓練八：2016年高考理科數學新課標3卷第5題：若，則（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
訓練九：2016年高考理科數學新課標2卷第9題：若，則（ ） A、 B、 C、 D、 解： 。
訓練十：2016年高考理科數學四川卷第11題： 。 解：根據余弦二倍角得到：。
訓練十一：2016年高考文科數學新課標1卷第14題：已知是第四象限角，且，則 。 解：。 是第四象限角。 。 。
訓練十二：2016年高考文科數學新課標3卷第6題：若，則（ ） A、 B、 C、 D、 解：。

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