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第22章一元二次方程精題精練
一、選擇題
1．下面關(guān)于x的方程中①ax2+bx+c=0；②3（x-9）2-（x+1）2=1；③x+3=；
④（a2+a+1）x2-a=0；④=x-1．一元二次方程的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．要使方程（a-3）x2+（b+1）x+c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）
A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠3
C．a(chǎn)≠1且b≠-1 D．a(chǎn)≠3且b≠-1且c≠0
3．若（x+y）（1-x-y）+6=0，則x+y的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
4．若關(guān)于x的一元二次方程3x2+k=0有實(shí)數(shù)根，則（ ）
A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0
5．下面對(duì)于二次三項(xiàng)式-x2+4x-5的值的判斷正確的是（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能為0
6．下面是某同學(xué)在九年級(jí)期中測(cè)試中解答的幾道填空題：（1）若x2=a2，則x= a ；
（2）方程2x（x-1）=x-1的根是 x=0 ；（3）若直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為 5 ．其中答案完全正確的題目個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某種商品因換季準(zhǔn)備打折出售，如果按原定價(jià)的七五折出售，將賠25元，而按原定價(jià)的九折出售，將賺20元，則這種商品的原價(jià)是（ ）
A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
8．利華機(jī)械廠四月份生產(chǎn)零件50萬(wàn)個(gè)，若五、六月份平均每月的增長(zhǎng)率是20%，則第二季度共生產(chǎn)零件（ ）
A．100萬(wàn)個(gè) B．160萬(wàn)個(gè) C．180萬(wàn)個(gè) D．182萬(wàn)個(gè)
二、填空題
9．若ax2+bx+c=0是關(guān)于x的一元二次方程，則不等式3a+6>0的解集是________．
10．已知關(guān)于x的方程x2+3x+k2=0的一個(gè)根是-1，則k=_______．
11．若x=2-，則x2-4x+8=________．
12．若（m+1）+2mx-1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是________．
13．若a+b+c=0，且a≠0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一個(gè)定根，它是_______．
14．若矩形的長(zhǎng)是6cm，寬為3cm，一個(gè)正方形的面積等于該矩形的面積，則正方形的邊長(zhǎng)是_______．
15．若兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積是224，則這兩個(gè)數(shù)的和是__________．
三、計(jì)算題（每題9分，共18分）
16．按要求解方程：
（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2-x-6=0（精確到0．1）
17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br/>（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0．
18．若方程x2-2x+（2-）=0的兩根是a和b（a>b），方程x-4=0的正根是c，試判斷以a、b、c為邊的三角形是否存在．若存在，求出它的面積；若不存在，說(shuō)明理由．
19．已知關(guān)于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的兩根之和為-1，兩根之差為1，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)．
（1）求方程的根；（2）試判斷△ABC的形狀．
20．某服裝廠生產(chǎn)一批西服，原來(lái)每件的成本價(jià)是500元，銷售價(jià)為625元，經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該產(chǎn)品銷售價(jià)第一個(gè)月將降低20%，第二個(gè)月比第一個(gè)月提高6%，為了使兩個(gè)月后的銷售利潤(rùn)達(dá)到原來(lái)水平，該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低百分之幾？
21．李先生乘出租車去某公司辦事，下午時(shí)，打出的電子收費(fèi)單為“里程11公里，應(yīng)收29.10元”．出租車司機(jī)說(shuō)：“請(qǐng)付29.10元．”該城市的出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)按下表計(jì)算，請(qǐng)求出起步價(jià)N（N<12）是多少元．
里程（公里）
03x>6
價(jià)格（元）
N

22.（2008。廣州）方程的根是（ ）
A B C D
23.（2008。襄樊）某種商品零售價(jià)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為降價(jià)前的，則平均每次降價(jià)（ ）
A． B． C． D．
24.（2008。威海）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
25．（2008。四川省資陽(yáng)）已知a、b、c分別是三角形的三邊，則方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情況是（　　）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
26．（2008年湖北省仙桃市潛江市江漢油田）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為1，則方程的另一根為 .
27.（2008。江蘇省淮安市）小華在解一元二次方程x2-4x=0時(shí)．只得出一個(gè)根是x=4,則被他漏掉的一個(gè)根是x=_____．
28．(2008年·東莞市)在長(zhǎng)為10cm，寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的80％，求所截去小正方形的邊長(zhǎng)。
29．(2008年湘潭)閱讀材料：
如果，是一元二次方程的兩根，那么有.
這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，我們利用它可以用來(lái)解題:
設(shè)是方程的兩根，求的值.
解法可以這樣：則
. 請(qǐng)你根據(jù)以上解法解答下題：
已知是方程的兩根，求：
（1）的值；（2）的值.
答案:
一、
1．B 點(diǎn)撥：方程①與a的取值有關(guān)；方程②經(jīng)過(guò)整理后，二次項(xiàng)系數(shù)為2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過(guò)配方后可化為（a+）2+．不論a取何值，都不為0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程．也可排除，故一元二次方程僅有2個(gè)．
2．B 點(diǎn)撥：由a-3≠0，得a≠3．
3．C 點(diǎn)撥：用換元法求值，可設(shè)x+y=a，原式可化為a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-2．
4．D 點(diǎn)撥：把原方程移項(xiàng)，變形為：x2=-．由于實(shí)數(shù)的平方均為非負(fù)數(shù)，故-≥0，則k≤0．
5．B 點(diǎn)撥：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1．
由于不論x取何值，-（x-2）2≤0，所以-x2+4x-5<0．
6．A 點(diǎn)撥：第（1）題的正確答案應(yīng)是x=±a；第（2）題的正確答案應(yīng)是x1=1，x2=．第（3）題的正確答案是5或．
7．C 點(diǎn)撥：設(shè)商品的原價(jià)是x元．則0.75x+25=0.9x-20．解之得x=300．
8．D 點(diǎn)撥：五月份生產(chǎn)零件：50（1+20%）=60（萬(wàn)個(gè)）
六月份生產(chǎn)零件50（1+20%）2=72（萬(wàn)個(gè)）
所以第二季度共生產(chǎn)零件50+60+72=182（萬(wàn)個(gè)），故選D．
二、
9．a(chǎn)>-2且a≠0 點(diǎn)撥：不可忘記a≠0．
10．± 點(diǎn)撥：把-1代入方程：（-1）2+3×（-1）+k2=0，則k2=2，所以k=±．
11．14 點(diǎn)撥：由x=2-，得x-2=-．兩邊同時(shí)平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以x2-4x+8=14．注意整體代入思想的運(yùn)用．
12．-3或1 點(diǎn)撥：由 解得m=-3或m=1．
13．1 點(diǎn)撥：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化為ax-（a+c）x+c=0，
解得x1=1，x2=．
14．3cm 點(diǎn)撥：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則x2=6×3，解之得x=±3，由于邊長(zhǎng)不能為負(fù)，故x=-3舍去，故正方形的邊長(zhǎng)為3cm．
15．30或-30 點(diǎn)撥：設(shè)其中的一個(gè)偶數(shù)為x，則x（x+2）=224．解得x1=14，x2=-16，則另一個(gè)偶數(shù)為16，-14．這兩數(shù)的和是30或-30．
三、
16．解：（1）4x2-3x-1=0，稱 ，得4x2-3x=1，
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2-x=，
配方，得x2-x+（）2=+（）2，
（x-）2=，x-=±，x=±，
所以x1=+=1，x2=-=．
（2）5x2-x-6=0
原方程可化為（x+2）（x-3）=0，
+2=0或-3=0，
所以x1=≈=0.9，x2=≈1.3．
點(diǎn)撥：不要急于下手，一定要審清題，按要求解題．
17．解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）
整理，得4x2-7x-9=0，因?yàn)閍=4，b=-7，c=-9．
所以x=．
即x1=，x2=．
（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得2x2-7x-9=0，
（x+1）（2x-9）=0，即x+1=0或2x-9=0，
所以x1=-1，x2=．
（3）設(shè)x2-3=y，則原方程可化為y2+3y+2=0．
解這個(gè)方程，得y1=-1，y2=-2．
當(dāng)y1=-1時(shí)，x2-3=-1．x2=2，x1=，x2=-．
當(dāng)y2=-2時(shí)，x2-3=-2，x2=1，x3=1，x4=-1．
點(diǎn)撥：在解方程時(shí)，一定要認(rèn)真分析，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ粲龅奖容^復(fù)雜的方程，審題就顯得更重要了．方程（3）采用了換元法，使解題變得簡(jiǎn)單．
18．解：解方程x2-2x+（2-）=0，得x1=，x2=2-．
方程x2-4=0的兩根是x1=2，x2=-2．
所以a、b、c的值分別是，2-，2．
因?yàn)?2-=2，所以以a、b、c為邊的三角形不存在．
點(diǎn)撥：先解這兩個(gè)方程，求出方程的根，再用兩邊的和與第三邊相比較等來(lái)判斷．
19．解：（1）設(shè)方程的兩根為x1，x2（x1>x2），則x1+x1=-1，x1-x2=1，解得x1=0，x2=-1．
（2）當(dāng)x=0時(shí)，（a+c）×02+2b×0-（c-a）=0．
所以c=a．當(dāng)x=-1時(shí)，（a+c）×（-1）2+2b×（-1）-（c-a）=0．a(chǎn)+c-2b-c+a=0，
所以a=b．即a=b=c，△ABC為等邊三角形．
點(diǎn)撥：先根據(jù)題意，列出關(guān)于x，x的二元一次方程組，可以求出方程的兩個(gè)根0和-1．進(jìn)而把這兩個(gè)根代入原方程，判斷a、b、c的關(guān)系，確定三角形的形狀．
20．解：設(shè)該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低x．
625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500
整理，得500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81．
1-x=±0.9，x=1±0.9，
x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%．
答：該產(chǎn)品的成本價(jià)平均每月應(yīng)降低10%．
點(diǎn)撥：題目中該產(chǎn)品的成本價(jià)在不斷變化，銷售價(jià)也在不斷變化，要求變化后的銷售利潤(rùn)不變，即利潤(rùn)仍要達(dá)到125元，關(guān)鍵在于計(jì)算和表達(dá)變動(dòng)后的銷售價(jià)和成本價(jià)．
21．解：依題意，N+（6-3）×+（11-6）×=29.10，
整理，得N2-29.1N+191=0，解得N1=19.1，N2=10，
由于N<12，所以N1=19.1舍去，所以N=10．
答：起步價(jià)是10元．
點(diǎn)撥：讀懂表格是正確列出方程的基礎(chǔ)，表格中的含義是：當(dāng)行車?yán)锍滩怀^(guò)3公里時(shí)，價(jià)格是10元，當(dāng)行車?yán)锍坛^(guò)了3公里而不超過(guò)6公里時(shí)，除付10元外，超過(guò)的部分每公里再付元；若行車?yán)锍坛^(guò)6公里，除了需付以上兩項(xiàng)費(fèi)用外，超過(guò)6公里的部分，每公里再付元．
22．C　　23。 A　　24。B　　25。A　　　26。-2　　27。0
28．.解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為.
由題意得，.
解得，.
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，不符合題意舍去.
∴ .
答：截去的小正方形的邊長(zhǎng)為.
29．解：
（1）
（2）

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