資源簡介

編號：034 課題:§5.2.2　函數的和、差、積、商的導數 §5.2.3　簡單復合函數的導數
目標要求
1、通過實例分析，了解利用定義求函數的導數．
2、掌握基本初等函數的導數公式，并會利用公式求簡單函數的導數．
3、能利用基本初等函數的導數公式求函數的導數、解決與曲線的切線有關的問題．
學科素養目標
通過具體背景與實例的抽象，經歷導數模型的建構和利用導數解決實際問題的過程，使學生對變量數學的思想方法（無窮小算法數學）有新的感悟．進一步發展學生的數學思維能力，感受和體會數學產生和發展的規律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．
導數與函數、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯．具有“集成”的特點，進而，學習本章節有助于學生從整體上理解和把握數學的結構，靈活運用數學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．
重點難點
重點：利用公式求簡單函數的導數；
難點：利用基本初等函數的導數公式求函數的導數、解決與曲線的切線有關的問題．
教學過程
基礎知識積累
1. 導數的四則運算法則
和、差的導數 [f(x)±g(x)]′＝_________________
積的導數 [f(x)·g(x)]′＝__________________________
商的導數 ′＝________________________________(g(x)≠0)
【課前預習思考】
(1)如果f(x)的導數為f′(x)，c為常數，則函數f(x)＋c的導數是什么？
(2)如果f(x)的導數為f′(x)，c為常數，則函數cf(x)的導數是什么？
(3)兩個函數的和(差)的導數運算法則能否推廣到多個函數的和(差)的導數情形？
2．復合函數及其導數
(1)定義：一般地，對于兩個函數y＝f和u＝g，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f和u＝g的復合函數，記作y＝f.
(2)求導法則：對于復合函數y＝f，y′x＝________，即y對x的導數等于______的導數與_____的導數的乘積．
【課前預習思考】
(1)對函數y＝求導時如何選取中間變量？
(2)函數y＝log2(x＋1)是由哪些函數復合而成的？
【課前小題演練】
題1．（多選）下列命題錯誤的是 ( ).
A.若y＝x＋，則y′＝1＋. B.若y＝x2cos x，則y′＝－2x sin x．
C.若y＝，則y′＝－cos x． D.若y＝3x2－e2x，則y′＝6x－2e2x.
題2．已知函數f(x)＝cos x＋ln x，則f′(1)的值為 (　 　)
A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
題3．函數y＝ln (x－2)的導數是________．
題4．函數y＝是由________三個函數復合而成的．
【課堂題組訓練】
類型一　利用運算法則求函數的導數(數學抽象、數學運算)
題5．設y＝－2exsin x，則y′等于 (　 　)
A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
題6．若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于 (　　 )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
題7．已知函數f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝ (　 　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
題8．設函數f(x)＝.若f′(1)＝，則a＝________．
題9.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值為 (　 　)
A． B． C． D．
題10.′＝________．
類型二　復合函數的導數(數學抽象、數學運算)
【典例】題11.求函數y＝x·e1－2x的導數．
題12．已知f(x)＝sin 2x＋e2x，則f′(x)＝ (　 　)
A．2cos 2x＋2e2x B．cos 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x
題13．已知f(x)＝ln (2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，則a＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
題14．下列求導運算正確的是 (　 　)
A．(2x2)′＝2x B．(ex)′＝ex C．(ln x)′＝－ D．′＝1＋
類型三　導數運算法則的綜合應用(數學抽象、數學運算)
角度1　與切線有關的問題　
【典例】題15.曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是 (　 　)
A． B．2 C．3 D．0
題16.曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋m＝0的最小距離為2，求m的值．
角度2　與參數有關的問題　
【典例】題17.設f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數)，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0，0)點相切．求a，b的值．
題18．已知函數f(x)＝aex＋x＋b，若函數f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝2x＋3，則ab的值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
題19．設P是曲線y＝x－x2－ln x上的一個動點，記此曲線在P點處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是________．
【課堂檢測達標】
題20．函數f(x)＝ex＋x sin x－7x在x＝0處的導數等于 (　 　)
A．－6 B．6 C．－4 D．－5
題21．下列函數不是復合函數的是 (　 　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
題22．(多選題)已知函數f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，其導函數為f′(x)，
則下列正確的是 (　 　)
A．f(0)＝－1 B．f′(0)＝1 C．f(0)＝1 D．f′(0)＝－1
題23．已知f(x)＝ln (3x－1)，則f′(1)＝________．
題24．設曲線y＝eax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．
題25.曲線y＝2sin x＋cos x在點(π，－1)處的切線方程為 (　 　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
題26．求函數y＝sinnx cosnx的導數．
編號：034 課題:§5.2.2　函數的和、差、積、商的導數 §5.2.3　簡單復合函數的導數
目標要求
1、通過實例分析，了解利用定義求函數的導數．
2、掌握基本初等函數的導數公式，并會利用公式求簡單函數的導數．
3、能利用基本初等函數的導數公式求函數的導數、解決與曲線的切線有關的問題．
學科素養目標
通過具體背景與實例的抽象，經歷導數模型的建構和利用導數解決實際問題的過程，使學生對變量數學的思想方法（無窮小算法數學）有新的感悟．進一步發展學生的數學思維能力，感受和體會數學產生和發展的規律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．
導數與函數、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯．具有“集成”的特點，進而，學習本章節有助于學生從整體上理解和把握數學的結構，靈活運用數學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．
重點難點
重點：利用公式求簡單函數的導數；
難點：利用基本初等函數的導數公式求函數的導數、解決與曲線的切線有關的問題．
教學過程
基礎知識積累
1. 導數的四則運算法則
和、差的導數 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
積的導數 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
商的導數 ′＝(g(x)≠0)
【課前預習思考】
(1)如果f(x)的導數為f′(x)，c為常數，則函數f(x)＋c的導數是什么？
提示：由于常函數的導數為0，即(c)′＝0，由導數的運算法則1，得[f(x)＋c]′＝f′(x).
(2)如果f(x)的導數為f′(x)，c為常數，則函數cf(x)的導數是什么？
提示：由于常函數的導數為0，即(c)′＝0，由導數的運算法則2，得[cf(x)]′＝cf′(x).
(3)兩個函數的和(差)的導數運算法則能否推廣到多個函數的和(差)的導數情形？
提示：能推廣．容易證明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x).
2．復合函數及其導數
(1)定義：一般地，對于兩個函數y＝f和u＝g，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f和u＝g的復合函數，記作y＝f.
(2)求導法則：對于復合函數y＝f，y′x＝y′u·u′x，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
【課前預習思考】
(1)對函數y＝求導時如何選取中間變量？
提示：對于函數y＝，可令u＝3x＋1，y＝u－4；也可令u＝(3x＋1)4，y＝.
顯然前一種形式更有利于計算．
(2)函數y＝log2(x＋1)是由哪些函數復合而成的？
提示：函數y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1兩個函數復合而成的．
【課前小題演練】
題1．（多選）下列命題錯誤的是 ( ).
A.若y＝x＋，則y′＝1＋. B.若y＝x2cos x，則y′＝－2x sin x．
C.若y＝，則y′＝－cos x． D.若y＝3x2－e2x，則y′＝6x－2e2x.
【答案】ABC
【解析】A×.由y＝x＋，得y′＝1－.
B×.由y＝x2 cos x，得y′＝2x cos x－x2 sin x.
C×.由y＝，得y′＝.
D√.根據導數四則運算法則，y′＝(3x2)′－(e2x)′＝6x－2e2x.
題2．已知函數f(x)＝cos x＋ln x，則f′(1)的值為 (　 　)
A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
【解析】選A.因為f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.
題3．函數y＝ln (x－2)的導數是________．
【解析】因為y＝ln (x－2)，所以y′＝[ln (x－2)]′＝·(x－2)′＝.
答案：y′＝
題4．函數y＝是由________三個函數復合而成的．
【解析】設v＝sinx，則y＝，設u＝v2＋1，則y＝.而y＝為基本初等函數．
答案：y＝，u＝v2＋1，v＝sin x
【課堂題組訓練】
類型一　利用運算法則求函數的導數(數學抽象、數學運算)
題5．設y＝－2exsin x，則y′等于 (　 　)
A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
【解析】選D.因為y＝－2exsin x，所以y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x).
題6．若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)等于 (　　 )
A．－1 B．－2 C．2 D．0
【解析】選B.
因為f′(x)＝4ax3＋2bx，所以f′(1)＝4a＋2b＝2，所以f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
題7．已知函數f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝ (　 　)
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【解析】選A.由f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，
則f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，令x＝0，所以f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝－4.
題8．設函數f(x)＝.若f′(1)＝，則a＝________．
【解析】由函數的解析式可得：f′＝＝，
則f′＝＝，所以＝，所以a2－2a＋1＝0，解得：a＝1.
答案：1
【解題策略提醒】
利用導數運算法則的策略
(1)分析待求導式子符合哪種求導法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數組合成的，確定求導法則，基本公式．
(2)如果待求導式子比較復雜，則需要對式子先變形再求導，常用的變形有乘積式展開變為和式求導，商式變乘積式求導，三角函數恒等變換后求導等．
(3)利用導數運算法則求導的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導法則求導的，盡量少用積、商的求導法則求導．
題9.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值為 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】選B.因為f(x)＝ax3＋3x2＋2，所以f′(x)＝3ax2＋6x，又f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝.
題10.′＝________．
【解析】′＝＝.
答案：
類型二　復合函數的導數(數學抽象、數學運算)
【典例】題11.求函數y＝x·e1－2x的導數．
四步 內容
理解題意 條件：①函數是兩個函數的積②其中一個函數是復合函數結論：求函數的導函數
思路探求 利用導數的四則運算法則以及復合函數的求導法則，逐步求導
書寫表達 y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x
題后反思 解決本題關鍵是正確區分所給函數是怎樣構成的，以及是否存在復合函數
【解題策略提醒】
求復合函數的導數的步驟
提醒：(1)內、外層函數通常為基本初等函數．
(2)求每層函數的導數時注意分清是對哪個變量求導，這是求復合函數的導數時的易錯點．
(3)逐層求導結束后對結果進行化簡整理，使導數式盡量簡潔．
題12．已知f(x)＝sin 2x＋e2x，則f′(x)＝ (　 　)
A．2cos 2x＋2e2x B．cos 2x＋e2x C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x
【解析】選A.根據題意，f(x)＝sin 2x＋e2x，則f′(x)＝2cos 2x＋2e2x.
題13．已知f(x)＝ln (2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，則a＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
【解析】選A.f′(x)＝－a，所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝.
題14．下列求導運算正確的是 (　 　)
A．(2x2)′＝2x B．(ex)′＝ex C．(ln x)′＝－ D．′＝1＋
【解析】選B.(2x2)′＝4x，(ex)′＝ex，(ln x)′＝，′＝1－，只有B正確．
類型三　導數運算法則的綜合應用(數學抽象、數學運算)
角度1　與切線有關的問題　
【典例】題15.曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是 (　 　)
A． B．2 C．3 D．0
【思路導引】可先設出曲線的切點坐標，求出與直線2x－y＋3＝0平行的切線方程，這兩直線間的距離即為所求．
【解析】選A.設曲線y＝ln (2x－1)在點(x0，y0)處的切線與直線2x－y＋3＝0平行．
因為y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝ln (2－1)＝0，
即切點坐標為(1，0).所以切點(1，0)到直線2x－y＋3＝0的距離為d＝＝，
即曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是.
題16.曲線y＝ln (2x－1)上的點到直線2x－y＋m＝0的最小距離為2，求m的值．
【解析】由題意可知，設切點P(x0，y0)，則y′|x＝x0＝＝2，所以x0＝1，即切點P(1，0)，
所以＝2，解得m＝8或－12.
即實數m的值為8或－12.
角度2　與參數有關的問題　
【典例】題17.設f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數)，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0，0)點相切．求a，b的值．
【思路導引】由曲線過(0，0)點可求得b的值；利用導數的幾何意義求出切線的斜率，結合已知條件列等式可求得a的值．
【解析】由曲線y＝f(x)過(0，0)點，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln (x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，則f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即為曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線的斜率．由題意，得＋a＝，故a＝0.
【解題策略提醒】
利用導數的幾何意義解題時的注意點
(1)求曲線過某一定點的切線方程或斜率時，首先應判斷所給定點是不是切點，如果不是，需將切點坐標設出．
(2)切點既在原函數的圖象上也在切線上，可將切點坐標代入兩者的函數解析式建立方程組．
(3)如果切線的斜率存在，那么函數在切點處的導數值等于切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件．
(4)與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個．
題18．已知函數f(x)＝aex＋x＋b，若函數f(x)在(0，f(0))處的切線方程為y＝2x＋3，則ab的值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】選B.因為f′(x)＝aex＋1，所以f′(0)＝a＋1＝2，解得a＝1，f(0)＝a＋b＝1＋b＝3，
所以b＝2，所以ab＝2.
題19．設P是曲線y＝x－x2－ln x上的一個動點，記此曲線在P點處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是________．
【解析】由y＝x－x2－ln x，得y′＝1－x－(x＞0)，
因為1－x－＝1－≤1－2＝－1，
當且僅當x＝1時等號成立．所以y′≤－1，即曲線在P點處的切線的斜率小于或等于－1，
所以tan θ≤－1，又θ∈[0，π)，所以θ∈.
答案：
【課堂檢測達標】
題20．函數f(x)＝ex＋x sin x－7x在x＝0處的導數等于 (　 　)
A．－6 B．6 C．－4 D．－5
【解析】選A.f′(x)＝(ex)′＋(x sin x)′－(7x)′＝ex＋sin x＋x cos x－7，所以f′(0)＝e0－7＝－6.
題21．下列函數不是復合函數的是 (　 　)
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
【解析】選A.A中的函數是一個代數式函數，運用導數的四則運算求導，B中的函數可看作
函數u＝x＋，y＝cos u的復合函數，C中的函數可看作函數u＝ln x，y＝的復合函數，
D中的函數可看作函數u＝2x＋3，y＝u4的復合函數．
題22．(多選題)已知函數f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，其導函數為f′(x)，
則下列正確的是 (　 　)
A．f(0)＝－1 B．f′(0)＝1 C．f(0)＝1 D．f′(0)＝－1
【解析】選BC.因為f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos x＋2，所以f(0)＝2－f′(0)，
因為f′(x)＝2x＋f(0)＋f′(0)·sin x，所以f′(0)＝f(0)，故f′(0)＝f(0)＝1.
題23．已知f(x)＝ln (3x－1)，則f′(1)＝________．
【解析】因為f′(x)＝，所以f′(1)＝＝.
答案：
題24．設曲線y＝eax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________．
【解析】令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(0，1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因為f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，a＝2.
答案：2
題25.曲線y＝2sin x＋cos x在點(π，－1)處的切線方程為 (　 　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
【解析】選C.因為y′＝2cos x－sin x，所以y′|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，則y＝2sin x＋cos x在
點(π，－1)處的切線方程為y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
題26．求函數y＝sinnx cosnx的導數．
【解析】y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′＝n sinn－1x·(sinx)′·cos nx＋sinnx·(－sinnx)·(nx)′
＝n sinn－1x·cosx·cos nx－sinnx·sinnx·n＝n sinn－1x(cosx cos nx－sin x sin nx)
＝n sinn－1x cos[(n＋1)x].

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