資源簡介

編號：036 課題:§5.3.2　導數在研究函數中的應用——極大值與極小值
目標要求
1、通過實例分析，了解函數的極值及相關的概念．
2、能利用導數求某些函數的極值．
3、體會導數在求極值中的應用.
4、能利用導數研究函數極值等相關的問題．
學科素養目標
通過具體背景與實例的抽象，經歷導數模型的建構和利用導數解決實際問題的過程，使學生對變量數學的思想方法（無窮小算法數學）有新的感悟．進一步發展學生的數學思維能力，感受和體會數學產生和發展的規律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．
導數與函數、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯．具有“集成”的特點，進而，學習本章節有助于學生從整體上理解和把握數學的結構，靈活運用數學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．
重點難點
重點：體會導數在求極值中的應用；
難點：能利用導數研究函數極值等相關的問題．
教學過程
基礎知識積累
極大值
（1）特征：函數在點的附近有意義，且函數圖象在點處從左側到右側由“上升”變為“下降”（函數由單調遞增變為單調遞減）.
（2）實質：，且在點附近的左側_______________，右側______________.
（3）極大值為___________.
【友情提醒注意】極大值是個局部的概念，是函數在某點處的值與其附近左右兩側的函數值比較的結果．
2．極小值
（1）特征：函數在點的附近有意義，且函數圖象在點處從左側到右側由“下降”變為“上升”（函數由單調遞減變為單調遞增）.
（2）實質：，且在點附近的左側_____________，右側_____________.
（3）極小值為_____________.
【友情提醒注意】函數的極值不是惟一的，極大值與極小值之間無確定的大小關系，一個函數的極大值未必大于極小值．
3．極值點、極值的定義
(1)極小值點、極大值點統稱為___________．
(2)極小值、極大值統稱為____________．
【課前預習思考】
(1)導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？
(2)極值刻畫的是函數的整體性質還是局部性質？
【課前小題演練】
題1．（多選）下列說法正確的是 ( )
A.一個函數在一個區間的端點不能取得極值． B.一個函數在給定的區間上一定有極值．
C.函數極大值一定比極小值大． D.極值刻畫的是函數的局部性質．
題2．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x) (　　 )
A．無極大值點，有四個極小值點 B．有三個極大值點，兩個極小值點
C．有兩個極大值點，兩個極小值點 D．有四個極大值點，無極小值點
題3．函數f(x)＝x＋2cos x在上的極大值點為 (　 　)
A．0 B． C． D．
【課堂題組訓練】
類型一　求函數的極值(點)(數學抽象、數學運算)
題4．函數y＝2－x2－x3的極值情況是 (　 　)
A．有極大值，沒有極小值 B．有極小值，沒有極大值
C．既無極大值也無極小值 D．既有極大值又有極小值
題5．(多選題)定義在R上的可導函數y＝f(x)的導函數的圖象如圖所示，以下結論正確的是(　 　)
A．－3是f(x)的一個極小值點 B．－2和－1都是f(x)的極大值點
C．f(x)的單調遞增區間是(－3，＋∞) D．f(x)的單調遞減區間是(－∞，－3)
題6．(多選題)下列四個函數中，在x＝0處取得極值的函數是 (　 　)
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x
題7.當x＝1時，三次函數有極大值4，當x＝3時有極小值0，且函數過原點，則此函數是(　 　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
題8．函數f(x)＝x3－3x2＋1的極小值點為________．
類型二　求含參數的函數的極值(數學抽象、數學運算)
【典例】題9.設函數f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).
(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函數f(x)的單調區間與極值點．
題10．若函數f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函數f(x)的極值．
題11．已知函數f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋(a∈R).
(1)若函數f(x)在x＝2處取得極小值1，求實數a的值；
(2)討論函數f(x)的單調性．
類型三　函數極值的綜合應用(數學運算、邏輯推理)
角度1　已知極值點求參數值　
【典例】題12.若函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＝________，b＝________．
題13.若函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，試求f(x)的極大值．
角度2　與參數相關的極值問題　
【典例】題14.已知函數f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是____．
題15．設a∈R，若函數y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點，則a的取值范圍為________．
題16．已知函數f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數)在區間(1，＋∞)內有兩個極值點，求實數m的取值范圍．
【課堂檢測達標】
題17．函數f(x)＝－的極值點為 (　 　)
A．0 B．－1 C．0或1 D．1
題18．如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下列說法正確的是 (　 　)
A．x＝a是函數y＝f(x)的極小值點 B．當x＝－a或x＝b時，函數f(x)的值為0
C．函數y＝f(x)關于點(0，c)對稱 D．函數y＝f(x)在(b，＋∞)上單調遞增
題19．設函數f(x)＝xex，則 (　 　)
A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點
C．x＝－1為f(x)的極大值點 D．x＝－1為f(x)的極小值點
題20．已知函數f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然對數的底數)在x＝0處取得極小值，則m＝________，這時f(x)的極大值是________．
題21．求函數f(x)＝的極大值．
編號：036 課題:§5.3.2　導數在研究函數中的應用——極大值與極小值
目標要求
1、通過實例分析，了解函數的極值及相關的概念．
2、能利用導數求某些函數的極值．
3、體會導數在求極值中的應用.
4、能利用導數研究函數極值等相關的問題．
學科素養目標
通過具體背景與實例的抽象，經歷導數模型的建構和利用導數解決實際問題的過程，使學生對變量數學的思想方法（無窮小算法數學）有新的感悟．進一步發展學生的數學思維能力，感受和體會數學產生和發展的規律以及人類智慧和文明的傳承，促進學生全面認識數學的價值．也為后繼進一步學習微積分等課程打好基礎．
導數與函數、方程、不等式及解析幾何等相關內容密切相聯．具有“集成”的特點，進而，學習本章節有助于學生從整體上理解和把握數學的結構，靈活運用數學的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．
重點難點
重點：體會導數在求極值中的應用；
難點：能利用導數研究函數極值等相關的問題．
教學過程
基礎知識積累
極大值
（1）特征：函數在點的附近有意義，且函數圖象在點處從左側到右側由“上升”變為“下降”（函數由單調遞增變為單調遞減）.
（2）實質：，且在點附近的左側 ，右側 .
（3）極大值為 .
【友情提醒注意】極大值是個局部的概念，是函數在某點處的值與其附近左右兩側的函數值比較的結果．
2．極小值
（1）特征：函數在點的附近有意義，且函數圖象在點處從左側到右側由“下降”變為“上升”（函數由單調遞減變為單調遞增）.
（2）實質：，且在點附近的左側 ，右側 .
（3）極小值為 .
【友情提醒注意】函數的極值不是惟一的，極大值與極小值之間無確定的大小關系，一個函數的極大值未必大于極小值．
3．極值點、極值的定義
(1)極小值點、極大值點統稱為 極值點 ．
(2)極小值、極大值統稱為 極值 ．
【課前預習思考】
(1)導數值為0的點一定是函數的極值點嗎？
提示：不一定．例如對于函數f(x)＝x3，雖有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的極值點，要使導數為0的點成為極值點，還必須滿足其他條件．
(2)極值刻畫的是函數的整體性質還是局部性質？
提示：極值反映了函數在某一點附近的函數值的大小情況，刻畫的是函數的局部性質．
【課前小題演練】
題1．（多選）下列說法正確的是 ( )
A.一個函數在一個區間的端點不能取得極值． B.一個函數在給定的區間上一定有極值．
C.函數極大值一定比極小值大． D.極值刻畫的是函數的局部性質．
【答案】AD
【解析】A√.函數在一個區間的端點處一定不可能取得極值，因為不符合極值點的定義．
B×.在一個給定的區間上，函數可能有若干個極值點，也可能不存在極值點．
C×.極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小．
D√.極值反映了函數在某一點附近的函數值的大小情況，刻畫的是函數的局部性質．
題2．函數f(x)的定義域為R，導函數f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x) (　　 )
A．無極大值點，有四個極小值點 B．有三個極大值點，兩個極小值點
C．有兩個極大值點，兩個極小值點 D．有四個極大值點，無極小值點
【解析】選C.由導數與函數極值的關系知，當f′(x0)＝0時，在x0的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0，則f(x)在x＝x0處取得極大值；若在x0的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0，則f(x)在x＝x0處取得極小值，
設y＝f′(x)圖象與x軸的交點從左到右橫坐標依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在x＝x1，x＝x3處取得極大值，在x＝x2，x＝x4處取得極小值．
題3．函數f(x)＝x＋2cos x在上的極大值點為 (　 　)
A．0 B． C． D．
【解析】選B.f′(x)＝1－2sin x．令f′(x)＝0，因為x∈，所以x＝，
當x∈時f′(x)＜0，當x∈時，f′(x)＞0.所以x＝是f(x)在上的極大值點．
【課堂題組訓練】
類型一　求函數的極值(點)(數學抽象、數學運算)
題4．函數y＝2－x2－x3的極值情況是 (　 　)
A．有極大值，沒有極小值 B．有極小值，沒有極大值
C．既無極大值也無極小值 D．既有極大值又有極小值
【解析】選D.
由y′＝－2x－3x2，令y′＝0，得x1＝－，x2＝0.當x<－時，y′<0；當－0；
當x>0時，y′<0.故當x＝－時，函數y有極小值；當x＝0時，函數y有極大值．
題5．(多選題)定義在R上的可導函數y＝f(x)的導函數的圖象如圖所示，以下結論正確的是(　 　)
A．－3是f(x)的一個極小值點 B．－2和－1都是f(x)的極大值點
C．f(x)的單調遞增區間是(－3，＋∞) D．f(x)的單調遞減區間是(－∞，－3)
【解析】選ACD.當x＜－3時，f′(x)＜0，x∈(－3，＋∞)時，f′(x)≥0，所以－3是極小值點，無極大值點，單調遞增區間是(－3，＋∞)，單調遞減區間是(－∞，－3).
題6．(多選題)下列四個函數中，在x＝0處取得極值的函數是 (　 　)
A．y＝x3 B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x
【解析】選BC.對于A，y′＝3x2≥0，所以y＝x3單調遞增，無極值；對于B，y′＝2x，x＞0時y′＞0，x＜0時y′＜0，所以x＝0為極值點；對于C，根據圖象，在(0，＋∞)上單調遞增，在(－∞，0)上單調遞減，所以C符合；對于D，y＝2x單調遞增，無極值．
【解題策略提醒】
函數極值和極值點的求解步驟
(1)確定函數的定義域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況．
提醒：當實數根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然．
題7.當x＝1時，三次函數有極大值4，當x＝3時有極小值0，且函數過原點，則此函數是(　 　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
【解析】選B.因為三次函數過原點，故可設為y＝x3＋bx2＋cx，所以y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1，3是y′＝0的兩個根，所以 即
所以y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，且當x＝1時，y極大值＝4，
當x＝3時，y極小值＝0，滿足條件．
題8．函數f(x)＝x3－3x2＋1的極小值點為________．
【解析】由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.列表：
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以當x＝2時，f(x)取得極小值．
答案：2
類型二　求含參數的函數的極值(數學抽象、數學運算)
【典例】題9.設函數f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).
(1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函數f(x)的單調區間與極值點．
四步 內容
理解題意 條件:函數f(x)=x3-3ax+b(a≠0)結論:(1)y=f(x)在點(2,f(2))處與直線y=8相切,求a,b的值;(2)函數f(x)的單調區間與極值點.
思路探求 (1)根據導數的幾何意義及已知條件建立關于a,b的方程組,從而可求出a,b的值;(2)求單調區間時,要注意對參數a的討論.
四步 內容
書寫表達 (1)f′(x)＝3x2－3a，因為曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，所以即解得(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，當a<0時，f′(x)>0恒成立，即函數在(－∞，＋∞)上單調遞增，此時函數沒有極值點．當a>0時，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞增f(－)單調遞減f()單調遞增因此，函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)，單調遞減區間為(－，)，此時x＝－是f(x)的極大值點，x＝是f(x)的極小值點．
題后反思 利用導數求極值，要先討論函數的單調性，涉及參數時，必須對參數的取值情況進行討論，在存在極值的情況下，求出極值．
【解題策略提醒】
已知函數的極值情況求參數時的注意問題
(1)待定系數法：根據極值點處導數為0和極值兩條件列出方程組，用待定系數法求解．
(2)驗證：因為導數值為0不一定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證．
題10．若函數f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函數f(x)的極值．
【解析】函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝.
(1)當a≤0時，f′(x)＞0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，函數f(x)無極值．
(2)當a＞0時，令f′(x)＝0，解得x＝a.當0＜x＜a時，f′(x)＜0；當x＞a時，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝a處取得極小值，且f(a)＝a－a ln a，無極大值．
綜上可知，當a≤0時，函數f(x)無極值；
當a＞0時，函數f(x)在x＝a處取得極小值a－a ln a，無極大值．
題11．已知函數f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋(a∈R).
(1)若函數f(x)在x＝2處取得極小值1，求實數a的值；
(2)討論函數f(x)的單調性．
【解析】(1)因為f(x)在x＝2時的極小值是1，
所以f(2)＝1，即f(2)＝×23－(a＋2)×22＋4a＋＝1，解得a＝1.
當a＝1時，f(x)＝x3－x2＋2x＋，則f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).
當x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)時，f′(x)>0，當x∈(1，2)時，f′(x)<0.
滿足函數f(x)在x＝2處取得極小值．故a＝1.
(2)由f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋，得f′(x)＝x2－(a＋2)x＋2a.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝a.
當a＝2時，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增；
當a<2時，由f′(x)>0，解得x2，由f′(x)<0，解得a所以函數f(x)在(－∞，a)，(2，＋∞)上單調遞增，在(a，2)上單調遞減；
當a>2時，由f′(x)>0，解得x<2或x>a，由f′(x)<0，解得2所以函數f(x)在(－∞，2)，(a，＋∞)上單調遞增，在(2，a)上單調遞減．
綜上：當a＝2時，函數f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增；
當a<2時，函數f(x)在(－∞，a)，(2，＋∞)上單調遞增，在(a，2)上單調遞減；
當a>2時，函數f(x)在(－∞，2)，(a，＋∞)上單調遞增，在(2，a)上單調遞減．
類型三　函數極值的綜合應用(數學運算、邏輯推理)
角度1　已知極值點求參數值　
【典例】題12.若函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＝________，b＝________．
【思路導引】先由x＝1處取得極值10，即f′(1)＝0且f(1)＝10，進而即可求出a，b的值．
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意得即解得或
但由于當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上單調遞增，不可能在x＝1處取得極值，所以不符合題意，應舍去．
而當時，經檢驗知符合題意，故a，b的值分別為4，－11.
答案：4　－11
題13.若函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，試求f(x)的極大值．
【解析】由典例可知f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
f′(x)＝3x2＋8x－11，顯然，當x∈時，f′(x)>0，當x∈時，f′(x)<0，所以x＝－是f(x)的極大值點，其極大值為f＝60.
角度2　與參數相關的極值問題　
【典例】題14.已知函數f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是____．
【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因為函數f(x)既有極大值又有極小值，
所以方程f′(x)＝0有兩個不相等的實根，所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
【解題策略提醒】
1．速度是路程對時間的導數，加速度是速度對時間的導數．
2．根據導數的幾何意義，可直接得到曲線上某一點處的切線的斜率．當問題中涉及相切但未出現切點坐標時要設出切點坐標，然后根據已知條件求出切點坐標．
題15．設a∈R，若函數y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點，則a的取值范圍為________．
【解析】因為y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，則ex＝－a，
即x＝ln (－a)，又因為x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
答案：(－∞，－1)
題16．已知函數f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數)在區間(1，＋∞)內有兩個極值點，求實數m的取值范圍．
【解析】f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.因為函數f(x)在(1，＋∞)內有兩個極值點，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)內與x軸有兩個不同的交點，如圖所示．
所以解得m>3.故實數m的取值范圍是(3，＋∞).
【課堂檢測達標】
題17．函數f(x)＝－的極值點為 (　 　)
A．0 B．－1 C．0或1 D．1
【解析】選D.因為f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又當x＞1時f′(x)＞0，0＜x＜1時f′(x)＜0，所以1是f(x)的極小值點．
又x＜0時f′(x)＜0，故x＝0不是函數的極值點．
題18．如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，則下列說法正確的是 (　 　)
A．x＝a是函數y＝f(x)的極小值點 B．當x＝－a或x＝b時，函數f(x)的值為0
C．函數y＝f(x)關于點(0，c)對稱 D．函數y＝f(x)在(b，＋∞)上單調遞增
【解析】選D.結合導數與函數單調性的關系可知，A中，在x＝a附近，f′(x)<0，故x＝a不是極小值點；B中，導數為0時，函數值不一定為0；C中，導函數的對稱性與原函數的對稱性沒有關系；D中，
當x＞b時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增．
題19．設函數f(x)＝xex，則 (　 　)
A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點
C．x＝－1為f(x)的極大值點 D．x＝－1為f(x)的極小值點
【解析】選D.令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.當x＜－1時，y′＜0；當x＞－1時，y′＞0.故當x＝－1時，y取得極小值．
題20．已知函數f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然對數的底數)在x＝0處取得極小值，則m＝________，這時f(x)的極大值是________．
【解析】由題意知f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex.
由f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0.則f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，
故函數f(x)的單調遞增區間是(－∞，－2)，(0，＋∞)，單調遞減區間是(－2，0)，
所以函數f(x)在x＝－2處取得極大值，且有f(－2)＝4e－2.
答案：0　4e－2
題21．求函數f(x)＝的極大值．
【解析】函數定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝，當00，當x>時，f′(x)<0，
所以f(x)在x＝處取得極大值f()＝.

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