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編號(hào)：038 課題:§5.3.4　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——生活中的優(yōu)化問題舉例
目標(biāo)要求
1、理解生活中的優(yōu)化問題．
2、掌握用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟.
3、能利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的綜合問題．
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
通過具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟；
難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的綜合問題．
教學(xué)過程
基礎(chǔ)知識(shí)積累
1. 函數(shù)的最大值與最小值
前提 在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0
條件 對(duì)任意的x∈I，總有f(x)_______f(x0) 對(duì)任意的x∈I，總有f(x)_______f(x0)
結(jié)論 f(x0)為最大值 f(x0)為最小值
【友情提醒注意】函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最小者．
2.求f(x)在[a，b]上的最值的兩個(gè)步驟
第一步：求f(x)在(a，b)上的________；
第二步：將第一步中求得的極值與______________比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．
【友情提醒注意】最值不一定是極值，極值也不一定是最值．
【課前預(yù)習(xí)思考】
結(jié)合圖形觀察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出現(xiàn)在哪里．
【課堂題組訓(xùn)練】
類型一　平面幾何中的最值問題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【典例】題1.如圖所示，半徑為2的⊙M切直線AB于點(diǎn)O，射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB，旋轉(zhuǎn)過程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為S＝f(x)，那么f(x)的圖象是如圖中的 (　 　)
題2．將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，
記S＝，則S的最小值是 (　 　)
A． B． C． D．
題3．如圖所示，某廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌墻壁所用的材料最省時(shí)，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為________.
題4.如圖是一塊地皮OAB，其中OA，AB是直線段，曲線段OB是拋物線的一部分，且點(diǎn)O是該拋物線的頂點(diǎn)，OA所在的直線是該拋物線的對(duì)稱軸．經(jīng)測(cè)量，OA＝2 km，AB＝ km，∠OAB＝.現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個(gè)矩形CDEF來建造草坪，其中點(diǎn)C在曲線段OB上，點(diǎn)D，E在直線段OA上，點(diǎn)F在直線段AB上，設(shè)CD＝a km，矩形草坪CDEF的面積為f km2.
(1)求f，并寫出定義域．
(2)當(dāng)a為多少時(shí)，矩形草坪CDEF的面積最大？
類型二　立體幾何中的最值問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)
【典例】題5.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x cm.
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．
題6.如圖所示的某種容器的體積為90π cm3，它是由圓錐和圓柱兩部分組合而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為r cm.圓錐的高為h1 cm，母線與底面所成的角為45°；圓柱的高為h2 cm.已知圓柱底面造價(jià)為2a元/cm2，圓柱側(cè)面造價(jià)為a元/cm2，圓錐側(cè)面造價(jià)為a元/cm2.
(1)將圓柱的高h(yuǎn)2表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域．
(2)當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí)圓柱的底面圓半徑r為多少？
類型三　實(shí)際生活中的最值問題(數(shù)學(xué)建模)
角度1　用料最省、費(fèi)用最少問題
【典例】題7.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無蓋箱子，其容積為48 m3，高為3 m，如果箱底每平方米的造價(jià)為15元，箱壁每平方米的造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為 (　 　)
A．900元 B．840元 C．818元 D．816元
題8.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無蓋箱子，其容積為48 m3，高為3 m，如果箱底每平方米的造價(jià)為15元，箱壁每平方米的造價(jià)為8元， 則箱子的最低總造價(jià)為多少？
題9．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬元)與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站________千米處．
角度2　利潤(rùn)最大問題
【典例】題10.樹人中學(xué)2019級(jí)高一年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某商場(chǎng)銷售的商品A進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，通過對(duì)該商品一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量g(x)(單位：百件)與銷售價(jià)格x(元/件)近似滿足關(guān)系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函數(shù)g(x)的解析式．
(2)若該商品A的成本為2元/件，根據(jù)調(diào)研結(jié)果請(qǐng)你試確定該商品銷售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)(單位：百元)最大．
題11．做一個(gè)圓柱形鍋爐，容積為V，兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為a元，側(cè)面的材料每單位面積的價(jià)格為b元，當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的底面直徑與高的比為 (　 　)
A． B． C． D．
題12.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線(O′在AB上)，經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1＝a2；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2＝－b3＋6b.已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米．
(1)求橋AB的長(zhǎng)度；
(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF.且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬元)，橋墩CD每米造價(jià)k(萬元)(k>0)，問O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？
【課堂檢測(cè)達(dá)標(biāo)】
題13．有一長(zhǎng)為16 m的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則此矩形場(chǎng)地的最大面積為 (　 　)
A．4 m2 B．8 m2 C．12 m2 D．16 m2
題14．一個(gè)箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2·(0A．30 B．40 C．50 D．60
題15．有矩形鐵板，其長(zhǎng)為6，寬為4，現(xiàn)從四個(gè)角上剪掉邊長(zhǎng)為x的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，要使容積最大，則x＝________．
題16．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本C(x)＝1 200＋x2(單位：萬元)，又知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，則產(chǎn)量定為________件時(shí)總利潤(rùn)最大．
編號(hào)：038 課題:§5.3.4　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——生活中的優(yōu)化問題舉例
目標(biāo)要求
1、理解生活中的優(yōu)化問題．
2、掌握用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟.
3、能利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的綜合問題．
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
通過具體背景與實(shí)例的抽象，經(jīng)歷導(dǎo)數(shù)模型的建構(gòu)和利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)的思想方法（無窮小算法數(shù)學(xué)）有新的感悟．進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受和體會(huì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的規(guī)律以及人類智慧和文明的傳承，促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值．也為后繼進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分等課程打好基礎(chǔ)．
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式及解析幾何等相關(guān)內(nèi)容密切相聯(lián)．具有“集成”的特點(diǎn)，進(jìn)而，學(xué)習(xí)本章節(jié)有助于學(xué)生從整體上理解和把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法，提高分析問題、解決問題的能力．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的方法和步驟；
難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)有關(guān)的綜合問題．
教學(xué)過程
基礎(chǔ)知識(shí)積累
1. 函數(shù)的最大值與最小值
前提 在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0
條件 對(duì)任意的x∈I，總有f(x) ≤ f(x0) 對(duì)任意的x∈I，總有f(x) ≥ f(x0)
結(jié)論 f(x0)為最大值 f(x0)為最小值
【友情提醒注意】函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念，最大值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最大者，最小值必須是定義域內(nèi)所有函數(shù)值中的最小者．
2.求f(x)在[a，b]上的最值的兩個(gè)步驟
第一步：求f(x)在(a，b)上的 極值 ；
第二步：將第一步中求得的極值與 f(a)，f(b) 比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．
【友情提醒注意】最值不一定是極值，極值也不一定是最值．
【課前預(yù)習(xí)思考】
結(jié)合圖形觀察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出現(xiàn)在哪里．
提示：最值可能出現(xiàn)在極值點(diǎn)或者區(qū)間端點(diǎn)處．
【課堂題組訓(xùn)練】
類型一　平面幾何中的最值問題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【典例】題1.如圖所示，半徑為2的⊙M切直線AB于點(diǎn)O，射線OC從OA出發(fā)繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OB，旋轉(zhuǎn)過程中，OC交⊙M于P，記∠PMO為x，弓形PnO的面積為S＝f(x)，那么f(x)的圖象是如圖中的 (　 　)
【解析】選A.由所給的圖示可得，當(dāng)x≤π時(shí)，弓形PnO的面積為S＝f(x)＝
S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sin x，其導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2－2cos x，由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，此值越來越大，即f(x)的圖象上升得越來越快，由此可以排除B，C；再由所給圖示的對(duì)稱性知，弓形PnO的面積先是增加得越來越快，然后是增加得越來越慢，直到增加率為0，由此可以排除D.
題2．將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，
記S＝，則S的最小值是 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】選A.如圖所示，設(shè)AD＝x m(0＜x＜1)，則DE＝AD＝x m，
所以梯形的周長(zhǎng)為x＋2(1－x)＋1＝(3－x)m，
又S△ADE＝x2(m2)，所以梯形的面積為(m2)，所以S＝×(0于是S′＝－×，
令S′＝0得x＝或3(舍去)，當(dāng)x∈時(shí)，S′＜0，S遞減，當(dāng)x∈時(shí)，S′＞0，S遞增．故當(dāng)x＝時(shí)，S的最小值是.
題3．如圖所示，某廠需要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌墻壁所用的材料最省時(shí)，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為________.
【思路導(dǎo)引】建立函數(shù)模型，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值．
【解析】要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短，設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則長(zhǎng)為米，
因此新墻壁總長(zhǎng)度L＝2x＋(x>0)，則L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.
因?yàn)閤>0，所以x＝16.當(dāng)x>16時(shí)，L′>0，L遞增，當(dāng)0所以當(dāng)x＝16時(shí)，Lmin＝64，此時(shí)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為32米．
答案：32米，16米
【解題策略提醒】
1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路
2.關(guān)于平面圖形中的最值問題
平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值．
題4.如圖是一塊地皮OAB，其中OA，AB是直線段，曲線段OB是拋物線的一部分，且點(diǎn)O是該拋物線的頂點(diǎn)，OA所在的直線是該拋物線的對(duì)稱軸．經(jīng)測(cè)量，OA＝2 km，AB＝ km，∠OAB＝.現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個(gè)矩形CDEF來建造草坪，其中點(diǎn)C在曲線段OB上，點(diǎn)D，E在直線段OA上，點(diǎn)F在直線段AB上，設(shè)CD＝a km，矩形草坪CDEF的面積為f km2.
(1)求f，并寫出定義域．
(2)當(dāng)a為多少時(shí)，矩形草坪CDEF的面積最大？
【解析】(1)以O(shè)為原點(diǎn)，OA邊所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)B作BG⊥OA于點(diǎn)G，在直角△ABG中，AB＝，∠OAB＝，所以AG＝BG＝1，又因?yàn)镺A＝2，所以O(shè)G＝1，則B，設(shè)拋物線OCB的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，得p＝，所以拋物線的方程為y2＝x. 因?yàn)镃D＝a，所以AE＝EF＝a，則DE＝2－a－a2，
所以f＝a＝－a3－a2＋2a，定義域?yàn)?
(2)f′＝－3a2－2a＋2，令f′＝0，得a＝.當(dāng)00，f在上單調(diào)遞增；
當(dāng)類型二　立體幾何中的最值問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)
【典例】題5.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x cm.
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應(yīng)取何值？
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．
【解析】設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)，
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)因?yàn)镾＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．
(2)根據(jù)題意有V＝(x)2(60－2x)＝2x2(30－x)(0由V′＝0得，x＝0(舍)或x＝20.
所以當(dāng)x∈時(shí)V′＞0；當(dāng)x∈時(shí)V′＜0，所以當(dāng)x＝20時(shí)取得極大值，也是最大值，此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為＝＝，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為.
【解題策略提醒】
關(guān)于立體幾何中的最值問題
(1)立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際問題相關(guān)的問題．
(2)解決此類問題必須熟悉簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行拆分或組合，以便簡(jiǎn)化求值過程．
題6.如圖所示的某種容器的體積為90π cm3，它是由圓錐和圓柱兩部分組合而成的，圓柱與圓錐的底面圓半徑都為r cm.圓錐的高為h1 cm，母線與底面所成的角為45°；圓柱的高為h2 cm.已知圓柱底面造價(jià)為2a元/cm2，圓柱側(cè)面造價(jià)為a元/cm2，圓錐側(cè)面造價(jià)為a元/cm2.
(1)將圓柱的高h(yuǎn)2表示為底面圓半徑r的函數(shù)，并求出定義域．
(2)當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí)圓柱的底面圓半徑r為多少？
【解析】(1)因?yàn)閳A錐的母線與底面所成的角為45°，所以h1＝r，
圓錐的體積為V1＝πr2h1＝πr3，圓柱的體積為V2＝πr2h2.因?yàn)閂1＋V2＝90π，所以V2＝πr2h2＝90π－πr3，所以h2＝＝－.因?yàn)閂1＝πr3<90π，所以r<3.因此0所以h2＝－，定義域?yàn)閧r|0(2)圓錐的側(cè)面積S1＝πr·r＝πr2，圓柱的側(cè)面積S2＝2πrh2，底面積S3＝πr2.
容器總造價(jià)為y＝aS1＋aS2＋2aS3＝2πr2a＋2πrh2a＋2πr2a＝2πa(r2＋rh2＋r2)
＝2πa＝.令f(r)＝r2＋，
則f′(r)＝2r－.令f′(r)＝0，得r＝3.
當(dāng)00，f(r)在(3，3)上為單調(diào)遞增的．因此，當(dāng)且僅當(dāng)r＝3時(shí)，f(r)有最小值，即y有最小值，為90πa元．
所以總造價(jià)最低時(shí)，圓柱的底面圓半徑為3 cm.
類型三　實(shí)際生活中的最值問題(數(shù)學(xué)建模)
角度1　用料最省、費(fèi)用最少問題
【典例】題7.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無蓋箱子，其容積為48 m3，高為3 m，如果箱底每平方米的造價(jià)為15元，箱壁每平方米的造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為 (　 　)
A．900元 B．840元 C．818元 D．816元
【思路導(dǎo)引】結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．
【解析】選D.設(shè)箱底一邊的長(zhǎng)度為x m，箱子的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，得
l＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，l′＝72，
令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，當(dāng)04時(shí)，l′>0.
故當(dāng)x＝4時(shí)，l取得最小值為816.
題8.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體狀的無蓋箱子，其容積為48 m3，高為3 m，如果箱底每平方米的造價(jià)為15元，箱壁每平方米的造價(jià)為8元， 則箱子的最低總造價(jià)為多少？
【解析】設(shè)箱底一邊的長(zhǎng)度為x m，箱子的總造價(jià)為l元，根據(jù)題意，
得l＝15×＋8×2＝240＋48，l′＝48，令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，
當(dāng)04時(shí)，l′>0.故當(dāng)x＝4時(shí)，l取得最小值為624.
題9．某公司租地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬元)與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站________千米處．
【思路導(dǎo)引】結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解．
【解析】設(shè)倉庫與車站相距x千米，依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1＝，每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2＝k2x，其中x是倉庫到車站的距離，k1，k2是比例系數(shù)，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).
當(dāng)05時(shí)，y′>0.所以當(dāng)x＝5時(shí)，y取得極小值，也是最小值．所以當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小．
答案：5
角度2　利潤(rùn)最大問題
【典例】題10.樹人中學(xué)2019級(jí)高一年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某商場(chǎng)銷售的商品A進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，通過對(duì)該商品一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷售量g(x)(單位：百件)與銷售價(jià)格x(元/件)近似滿足關(guān)系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函數(shù)g(x)的解析式．
(2)若該商品A的成本為2元/件，根據(jù)調(diào)研結(jié)果請(qǐng)你試確定該商品銷售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)(單位：百元)最大．
【思路導(dǎo)引】(1)由題意將(3，10)代入函數(shù)解析式，建立方程，即可求出g(x)的解析式．
(2)商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)＝每日的銷售量×銷售該商品的單利潤(rùn)，可得日銷售量的利潤(rùn)函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對(duì)應(yīng)的x值．
【解析】(1)由題意，10＝＋2(3－5)2，解得a＝2，故g(x)＝＋2(x－5)2(2＜x＜5).
(2)商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2＜x＜5)，y′＝4(x－5)(x－2)＋ 2(x－5)2＝6(x－3)(x－5).列表得x，y，y′的變化情況：
x (2，3) 3 (3，5)
y′ ＋ 0 －
y 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減
由表可得，x＝3是函數(shù)h(x)在區(qū)間(2，5)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．
【解題策略提醒】
解決優(yōu)化問題時(shí)應(yīng)注意的問題
(1)列函數(shù)解析式時(shí)，注意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．
(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值．如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則根據(jù)實(shí)際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較．
題11．做一個(gè)圓柱形鍋爐，容積為V，兩個(gè)底面的材料每單位面積的價(jià)格為a元，側(cè)面的材料每單位面積的價(jià)格為b元，當(dāng)造價(jià)最低時(shí)，鍋爐的底面直徑與高的比為 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】選A.設(shè)鍋爐的高h(yuǎn)與底面直徑d的比為k＝，由V＝h＝·kd＝kd3，
可得d＝，h＝kd＝，
設(shè)造價(jià)為y，則y＝2π··a＋πdh·b＝··k－＋πb··，
則y′＝··k－＋πb··，令y′＝0，解得k＝，可得此時(shí)y取得最小值．故當(dāng)造價(jià)最低時(shí)鍋爐的高與底面直徑的比為.
題12.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線(O′在AB上)，經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1(米)與D到OO′的距離a(米)之間滿足關(guān)系式h1＝a2；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2(米)與F到OO′的距離b(米)之間滿足關(guān)系式h2＝－b3＋6b.已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米．
(1)求橋AB的長(zhǎng)度；
(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF.且CE為80米，其中C，E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬元)，橋墩CD每米造價(jià)k(萬元)(k>0)，問O′E為多少米時(shí)，橋墩CD與EF的總造價(jià)最低？
【解析】(1)過A，B分別作MN的垂線，垂足為A′，B′，
則AA′＝BB′＝－×403＋6×40＝160(米).
令a2＝160，得a＝80，所以AO′＝80，AB＝AO′＋BO′＝80＋40＝120(米).
(2)設(shè)O′E＝x，則CO′＝80－x，由，得0設(shè)總造價(jià)為y，則y＝＋k＝(x3－30x2＋160×800)，
y′＝(3x2－60x)＝x(x－20)，因?yàn)閗>0，所以令y′＝0，得x＝0或x＝20，
所以當(dāng)00，y單調(diào)遞增．
所以，當(dāng)x＝20時(shí)，y取最小值，即當(dāng)O′E為20米時(shí)，造價(jià)最低．
【課堂檢測(cè)達(dá)標(biāo)】
題13．有一長(zhǎng)為16 m的籬笆，要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，則此矩形場(chǎng)地的最大面積為 (　 　)
A．4 m2 B．8 m2 C．12 m2 D．16 m2
【解析】選D.設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為x(0題14．一個(gè)箱子的容積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2·(0A．30 B．40 C．50 D．60
【解析】選B.V(x)＝－x3＋30x2，V′(x)＝－x2＋60x，
令V′(x)＝0，得x＝40(x＝0舍去)，且當(dāng)0V′(x)>0，當(dāng)40題15．有矩形鐵板，其長(zhǎng)為6，寬為4，現(xiàn)從四個(gè)角上剪掉邊長(zhǎng)為x的四個(gè)小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子，要使容積最大，則x＝________．
【解析】如圖所示，則折疊后的長(zhǎng)方體長(zhǎng)為6－2x，寬為4－2x，高為x，
體積V＝x，x∈，則V＝x＝4，
V′＝4，令V′＝0，解得x＝，，
則當(dāng)x∈時(shí)，V′>0，V單調(diào)遞增，當(dāng)x∈時(shí)，V′<0，V單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝時(shí)取到最大值．
答案：
題16．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本C(x)＝1 200＋x2(單位：萬元)，又知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，則產(chǎn)量定為________件時(shí)總利潤(rùn)最大．
【解析】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為m，因?yàn)楫a(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，所以m2＝，(其中k為非零常數(shù))，又生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，所以502＝，故k＝250 000，記生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，
總利潤(rùn)為f(x)，所以f(x)＝mx－C(x)＝500－1 200－x2，x>0，則f′(x)＝－x，由f′(x)>0得0225，故函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)x＝225時(shí)，f(x)取得最大值．即產(chǎn)量定為225件時(shí)，總利潤(rùn)最大．
答案：225

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