資源簡介

編號：040 課題： §7.2.1.1 任意角的三角函數（一）
目標要求
1.理解三角函數的定義（坐標法和單位圓法）；
2.掌握定義法求三角函數值；
3.掌握三角函數值符號的應用；
4.會綜合應用三角函數的概念解決問題．
重點難點
重點：三角函數值符號的應用；
難點：三角函數概念的綜合應用．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
1.三角函數的定義(坐標法)
(1)在角的終邊上異于原點,任取一點P(x,y),
它與原點的距離是r,則,根據三角函數定義
得出角的三角函數的正弦、余弦、正切.
.
(2)本質:用坐標法定義三角函數,是根據角終邊上點的坐標,構造直角三角形,將陌生內容與學生已掌握的初中知識結合,簡單易行,便于學生理解、掌握.
(3)應用:適用于求任意角的三角函數值,特別是弧度制條件下角的三角函數值.
【思考】
初中學習的銳角三角函數的定義是什么
2.三角函數的定義(單位圓法)
在平面直角坐標系中,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:.
【思考】
什么是單位圓
3.三角函數值的符號
(1)圖形表示:
(2)記憶口訣一:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
記憶口訣二:正弦上正下負、余弦右正左負、正切奇正偶負.
【思考】
三角函數值在各象限的符號由什么決定
【課前基礎演練】
題1．已知sin α＞0，cos α＜0，則角α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
題2．已知P(－1，t)在角α的終邊上，若sin α＝，則t＝ (　 　)
A． B．－2 C．2 D．±2
題3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O于點P.若∠AOP＝θ，則點P的坐標是(　 　)
A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
題4．若角α的終邊落在y＝－x上，則tan α等于 (　 　)
A．－1 B．1 C．－1或1 D．不能確定
題5．角α終邊與單位圓相交于點M，則cos α＋sin α的值為________．
題6．判斷下列各式的符號(填上“>”或“<”)：
(1)sin 328°____0；(2)cos π____0；(3)tan π____0.
題7．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求的終邊所在的象限；
(3)試判斷tan sin cos 的符號．
【課堂檢測達標】
題8. 如果角θ的終邊經過點，則tan θ＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
題9．若角α的終邊上有一點P(0，3)，則下列式子無意義的是 (　 　)
A．tan α　　 B．sin α C．cos α D．都有意義
題10．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，則△ABC的形狀是 (　 　)
A．鈍角三角形　　 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定
題11．已知角α的終邊過點(12，－5)，則sin α＋cos α的值等于 (　 　)
A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D．
題12．若角α的終邊過點P(2cos 60°，sin 45°)，則sin α＝ (　 　)
A．－ B．－ C． D．－
題13．已知角α的終邊上有異于原點的一點P，且|PO|＝r，則點P的坐標為 (　 　)
A．P(sin α，cos α)　　 B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α)　　 D．P(r cos α，r sin α)
題14．(多選)在直角坐標系xOy中，角α的終邊經過點P(m，n)(m＞0，n＞0)，且sin α＝，則m，n的值可能為 (　 　)
A．m＝2，n＝1 B．m＝4，n＝2 C．m＝3，n＝6 D．m＝1，n＝2
題15．(多選)若點P在角的終邊所在的直線上，且|OP|＝2(點O為坐標原點)，則點P的坐標為(　　)
A．(，－1) B．(，1) C．(－，1) D．(－，－1)
二、填空題
題16．設角θ的終邊經過點P(－3，4)，那么sin θ＋2cos θ＝________．
題17．若角α的終邊經過點P(－m，6)，且cos α＝，則tan α＝________．
三、解答題
題18．判斷下列各式的符號：
(1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
題19．在平面直角坐標系中，角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
【綜合突破拔高】
題20．若角α的終邊經過點P(－4，m)，且cos α＝－，則m的值為 (　 　)
A．3 B．－3 C．3或－3 D．5或－5
題21．設△ABC的三個內角為A，B，C，則下列各組數中有意義且均為正值的是 (　 　)
A．tan A與cos B B．cos B與sin C C．sin C與tan A D．tan 與sin C
題22．若α為第二象限角，則－＝ (　 　)
A．0 B．－2 C．－2或2 D．2
題23．(多選)角α的終邊上一點P(a，2a)(a≠0)，則2sin α－cos α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
二、填空題
題24．如果點P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的終邊在第________象限．
題25.已知角α的終邊過點(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，則cos α＝________．
題26．若sin α＝－，且tan α>0，則cos α＝________.
題27．已知α是第二象限角，P(x，)為其終邊上一點，且cos α＝x，則sin α＝________．
題28．若角α的終邊與直線y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α終邊上一點，且OP＝，則m－n＝________，sin α＝__________．
三、解答題
題29．若已知角θ終邊上一點P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，能否求出sin θ，tan θ的值？若能，求出其值；若不能，請說明理由．
題30．(1)已知θ是第二象限角，試判斷tan (sin θ)·tan (cos θ)的符號．
(2)若sin (cos θ)·cos (sin θ)<0，則θ為第幾象限角？
編號：040 課題： §7.2.1.1 任意角的三角函數（一）
目標要求
1.理解三角函數的定義（坐標法和單位圓法）；
2.掌握定義法求三角函數值；
3.掌握三角函數值符號的應用；
4.會綜合應用三角函數的概念解決問題．
重點難點
重點：三角函數值符號的應用；
難點：三角函數概念的綜合應用．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
1.三角函數的定義(坐標法)
(1)在角的終邊上異于原點,任取一點P(x,y),
它與原點的距離是r,則,根據三角函數定義
得出角的三角函數的正弦、余弦、正切.
.
(2)本質:用坐標法定義三角函數,是根據角終邊上點的坐標,構造直角三角形,將陌生內容與學生已掌握的初中知識結合,簡單易行,便于學生理解、掌握.
(3)應用:適用于求任意角的三角函數值,特別是弧度制條件下角的三角函數值.
【思考】
初中學習的銳角三角函數的定義是什么
提示:
如圖,在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則:
2.三角函數的定義(單位圓法)
在平面直角坐標系中,設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么:.
【思考】
什么是單位圓
提示:單位圓是指圓心在原點,半徑為單位長度的圓.
3.三角函數值的符號
(1)圖形表示:
(2)記憶口訣一:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
記憶口訣二:正弦上正下負、余弦右正左負、正切奇正偶負.
【思考】
三角函數值在各象限的符號由什么決定
提示:三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內坐標符號推導出的.從
原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值.因此,三角函數在各象限的符號
由角的終邊所在象限決定.
【課前基礎演練】
題1．已知sin α＞0，cos α＜0，則角α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】選B.由正弦、余弦函數值在各象限內的符號知，角α是第二象限角．
題2．已知P(－1，t)在角α的終邊上，若sin α＝，則t＝ (　 　)
A． B．－2 C．2 D．±2
【解析】選C.因為sin α＝＝，顯然t>0，所以t＝2.
題3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O于點P.若∠AOP＝θ，則點P的坐標是(　 　)
A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ)
【解析】選A.由三角函數的定義可得P(cos θ，sin θ).
題4．若角α的終邊落在y＝－x上，則tan α等于 (　 　)
A．－1 B．1 C．－1或1 D．不能確定
【解析】選A.設P(a，－a)是角α終邊上任意一點，若a>0，P點在第四象限，tan α＝＝－1，若a<0，P點在第二象限，tan α＝＝－1.
題5．角α終邊與單位圓相交于點M，則cos α＋sin α的值為________．
【解析】cos α＝x＝，sin α＝y＝，故cos α＋sin α＝.
答案：
題6．判斷下列各式的符號(填上“>”或“<”)：
(1)sin 328°____0；(2)cos π____0；(3)tan π____0.
【解析】(1)因為270°＜328°＜360°，所以328°在第四象限，所以sin 328°＜0.
(2)因為π<π<π，所以π在第三象限，所以cos π＜0.
(3)因為π<π<π，所以π在第二象限，所以tan π＜0.
答案：(1)<　(2)<　(3)<
題7．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求的終邊所在的象限；
(3)試判斷tan sin cos 的符號．
【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y軸的負半軸上，
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，其集合為；
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，故kπ＋<(3)當在第二象限時，tan <0，sin >0，cos <0，所以tan sin cos >0，
當在第四象限時，tan <0，sin <0，cos >0，所以tan sin cos >0，
綜上，tan sin cos 取正號．
【課堂檢測達標】
題8. 如果角θ的終邊經過點，則tan θ＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】選D.由三角函數的定義可得tan θ＝＝－.
題9．若角α的終邊上有一點P(0，3)，則下列式子無意義的是 (　 　)
A．tan α　　 B．sin α C．cos α D．都有意義
【解析】選A.由三角函數的定義sin α＝，cos α＝，tan α＝，可知tan α無意義．
題10．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，則△ABC的形狀是 (　 　)
A．鈍角三角形　　 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定
【解析】選A.因為A，B，C是△ABC的內角，所以sin A＞0.因為sin A·cos B·tan C＜0，
所以cos B·tan C＜0，所以cos B和tan C中必有一個小于0，
即B，C中必有一個鈍角，故△ABC是鈍角三角形．
題11．已知角α的終邊過點(12，－5)，則sin α＋cos α的值等于 (　 　)
A．－　　　 B．　　　 C．－　　　 D．
【解析】選B.因為α的終邊過點(12，－5)，所以r＝＝13，則sin α＝，cos α＝，
則sin α＋cos α＝－＋×＝－＋＝.
題12．若角α的終邊過點P(2cos 60°，sin 45°)，則sin α＝ (　 　)
A．－ B．－ C． D．－
【解析】選C.
因為角α的終邊過點P(2cos 60°，sin 45°)，可得P(1，1)，所以sin α＝＝.
題13．已知角α的終邊上有異于原點的一點P，且|PO|＝r，則點P的坐標為 (　 　)
A．P(sin α，cos α)　　 B．P(cos α，sin α)
C．P(r sin α，r cos α)　　 D．P(r cos α，r sin α)
【解析】選D.設P(x，y)，則sin α＝，所以y＝r sin α，
又cos α＝，所以x＝r cos α，所以P(r cos α，r sin α).
題14．(多選)在直角坐標系xOy中，角α的終邊經過點P(m，n)(m＞0，n＞0)，且sin α＝，則m，n的值可能為 (　 　)
A．m＝2，n＝1 B．m＝4，n＝2 C．m＝3，n＝6 D．m＝1，n＝2
【解析】選AB.根據任意角的三角函數定義，得＝，化簡得m2＝4n2，
因為m＞0，n＞0，所以m＝2n，A，B選項適合．
題15．(多選)若點P在角的終邊所在的直線上，且|OP|＝2(點O為坐標原點)，則點P的坐標為(　　)
A．(，－1) B．(，1) C．(－，1) D．(－，－1)
【解析】選AC.
點P在角的終邊所在的直線上，且|OP|＝2(點O為坐標原點)，設點P的坐標為(a，b)，
則 a2＋b2＝4，且tan ＝－＝，求得a＝，b＝－1，或 a＝－，b＝1，
故點P的坐標為(，－1)或(－，1).
二、填空題
題16．設角θ的終邊經過點P(－3，4)，那么sin θ＋2cos θ＝________．
【解析】由于角θ的終邊經過點P(－3，4)，那么x＝－3，y＝4，r＝|OP|＝5，
所以sin θ＝＝，cos θ＝＝－，所以sin θ＋2cos θ＝－.
答案：－
題17．若角α的終邊經過點P(－m，6)，且cos α＝，則tan α＝________．
【解析】6＞0，角α的終邊一定在第一象限，且cos α＝，
所以sin α＝＝，tanα＝＝.
答案：
三、解答題
題18．判斷下列各式的符號：
(1)tan 191°－cos 191°；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
【解析】(1)正；因為191°是第三象限角；所以tan 191°>0，cos 191°<0.所以tan 191°－cos 191°>0.
(2)正；因為＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，所以sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
所以sin 3·cos 4·tan 5＞0.
題19．在平面直角坐標系中，角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
【解析】當角α的終邊在射線y＝－x(x>0)上時，取終邊上一點P(4，－3)，
所以點P到坐標原點的距離r＝OP＝5，所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－.所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
當角α的終邊在射線y＝－x(x<0)上時，取終邊上一點P′(－4，3)，
所以點P′到坐標原點的距離r＝OP′＝5，所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
【綜合突破拔高】
題20．若角α的終邊經過點P(－4，m)，且cos α＝－，則m的值為 (　 　)
A．3 B．－3 C．3或－3 D．5或－5
【解析】選C.因為cos α＝，故r＝＝＝5，所以m＝±3.
題21．設△ABC的三個內角為A，B，C，則下列各組數中有意義且均為正值的是 (　 　)
A．tan A與cos B B．cos B與sin C C．sin C與tan A D．tan 與sin C
【解析】選D.因為0＜A＜π，所以0＜＜，所以tan ＞0；又因為0＜C＜π，所以sin C＞0.
題22．若α為第二象限角，則－＝ (　 　)
A．0 B．－2 C．－2或2 D．2
【解析】選D.
由已知sin α>0，cos α<0，所以－＝－＝1＋1＝2.
題23．(多選)角α的終邊上一點P(a，2a)(a≠0)，則2sin α－cos α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】選CD.因為α的終邊上一點P(a，2a)(a≠0)，
當a＞0時，cos α＝＝，sin α＝＝，2sin α－cos α＝；
當a＜0時，cos α＝＝－，sin α＝＝－，2sin α－cos α＝－.
二、填空題
題24．如果點P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的終邊在第________象限．
【解題指南】根據點P在第二象限，求出sin θ＋cos θ和sin θcos θ的符號，再根據三角函數符號規律求出θ所在的象限．
【解析】由題意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，所以所以θ為第三象限角．
答案：三
題25.已知角α的終邊過點(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，則cos α＝________．
【解析】因為θ∈，所以cos θ＜0，
r＝＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝＝.
答案：
題26．若sin α＝－，且tan α>0，則cos α＝________.
【解析】因為sin α<0，tan α>0，所以α是第三象限角．
設P(x，y)為α終邊上一點，則x<0，y<0，r＝，
所以sin α＝＝－，r＝－y，因此cos α＝＝＝－.
答案：－
題27．已知α是第二象限角，P(x，)為其終邊上一點，且cos α＝x，則sin α＝________．
【解析】因為r＝，所以cos α＝＝x.
又因為α是第二象限角，所以x<0，所以x＝－，所以sin α＝＝.
答案：
題28．若角α的終邊與直線y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α終邊上一點，且OP＝，則m－n＝________，sin α＝__________．
【解析】因為y＝3x且sin α<0，所以點P(m，n)位于直線y＝3x第三象限部分的圖象上，
所以m<0，n<0，且n＝3m，所以r＝OP＝＝|m|＝－m＝，所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2，sin α＝＝＝－.
答案：2　－
三、解答題
題29．若已知角θ終邊上一點P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，能否求出sin θ，tan θ的值？若能，求出其值；若不能，請說明理由．
【解析】能求出sin θ，tan θ的值．因為角θ的終邊過點P(x，3)，所以cos θ＝＝x.
因為x≠0，所以x＝1或x＝－1.
①當x＝1時，點P的坐標為(1，3)，角θ為第一象限角，此時sin θ＝＝，tan θ＝3；
②當x＝－1時，點P的坐標為(－1，3)，角θ為第二象限角，此時sin θ＝＝，tan θ＝－3.
題30．(1)已知θ是第二象限角，試判斷tan (sin θ)·tan (cos θ)的符號．
(2)若sin (cos θ)·cos (sin θ)<0，則θ為第幾象限角？
【解析】(1)因為θ是第二象限角，所以0所以tan (sin θ)>0，tan (cos θ)<0.所以tan (sin θ)·tan (cos θ)<0.
(2)因為－<－1≤cos θ≤1<，－<－1≤sin θ≤1<，所以cos (sin θ)>0，故要使sin (cos θ)·cos (sin θ)<0，則必有sin (cos θ)<0.所以cos θ<0，即θ為第二、三象限角或角θ終邊在x軸的非正半軸上．
PAGE

展開更多......

收起↑