資源簡介

編號：042 課題： §7.2.2 同角三角函數關系
目標要求
1.理解同角三角函數的兩種關系；
2.利用同角三角函數的關系求特殊值；
3.利用同角三角函數的關系求值；
4.利用同角三角函數的關系化簡證明．
重點難點
重點：利用同角三角函數的關系求值；
難點：利用同角三角函數的關系化簡證明．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
同角三角函數關系
(1)基本關系式
平方關系 商數關系
公式表示 ________________
語言敘述 同一個角的正弦、余弦的平方和等于1. 同一個角的正弦、余弦的商等于角的__________.
(2)本質:同一個角的正弦、余弦、正切之間的相互關系.
(3)應用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函數的證明、化簡.
【思考】
“同角”一詞的含義是什么
【課前基礎演練】
題1．下列各式中成立的是 (　 　)
A．sin2α＋cos2β＝1 B．tanα＝(α任意)
C．cos2＝1－sin2 D．sinα＝
題2．已知α∈，cosα＝，則tan α＝ (　 　)
A．± B． C．－ D．
題3．若tan α＝2，則的值為 (　 　)
A．0 B． C．1 D．
題4．已知3sin α＋cos α＝0，則tan α＝______．
題5．已知sin α＝，且α∈，則sin α－2cos2α＝________．
題6．已知sinα－cos α＝－，則sin αcos α＝________．
題7．求證：＝.
【課堂檢測達標】
題8. 若cos α＝，且α在第四象限，則tan α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
題9．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ (　 　)
A． B． C． D．
題10．已知sin α＝，則sin4α－cos4α的值為 (　 　)
A．－ B．－ C． D．
題11．若α為第三象限角，則＋的值為 (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
題12．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，則sinθcos θ的值為 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
題13．已知＝，則等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．2　 D．－2
題14．(多選)下列選項可能成立的是 (　 　)
A．sin α＝－且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝(α在第二象限)
題15．(多選)若1＋sin θ＋cos θ＝0成立，則θ不可能位于 (　 　)
A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
題16．已知tanα＝cos α，那么sin α＝________．
題17．已知tan θ＝2，則＋sin2θ的值為________．
題18．化簡：(1)；
(2).
題19．若<α<2π，求證：＋＝－.
【綜合突破拔高】
題20．若α∈，且cos 2α－sin α＝，則tan α的值等于 (　 　)
A．－ B． C． D．－
題21．已知＝2，則tan2α－3tanα＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－ D．－
題22．已知α為第二象限角，則＋＝ (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
題23．(多選)已知α是三角形內角，若sin α＋cos α＝，則sin α－cos α的可取值為(　 　)
A．－　 B．－　 C．　 D．
題24．化簡：(1－cos α)的結果是__________．
題25．已知＝，那么的值是________．
題26．若cos θ＋sin θ＝，θ∈(0，π)，則cos θsin θ－sin2θ＝________．
題27．在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，則sin A cos A的值為____，tan A的值為________．
題28．求證：＝.
題29．(1)化簡，其中α是第二象限角．
(2)求證：1＋tan2α＝.
【素養培優訓練】
題30. 若sinθ＝，cos θ＝，則m的值為 (　 　)
A．0 B．8 C．0或8 D．3題31．若α為第二象限角，化簡tanα·＝ (　 　)
A．1 B．2 C．－1 D．
題32．若sin α·cos α＝，0<α<，則sin α＋cos α的值是 (　 　)
A． B． C．－ D．
題33．已知＝5，則sin 2α－sin αcos α的值是 (　 　)
A．　　 B．－　 C. －2　 D．2
題34．已知α是三角形的一個內角，且sin α＋cos α＝，則這個三角形的形狀是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
題35．若β∈[0，2π)，且＋＝sinβ－cos β，則β的取值范圍是(　 　)
A．　 B． C．　 D．
題36．(多選)若sin α＝，且α為銳角，則下列選項中正確的有 (　 　)
A．tan α＝　　 B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
題37．(多選)已知tan2x－2tan2y－1＝0，則下列式子成立的是 (　 　)
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
題38．化簡：＝________．
題39．設a>0且a≠1，若loga(sinx－cos x)＝0，則sin 8x＋cos 8x＝______．
題40．已知tan α＝2，則＝________，＝________．
題41．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1).
(2).
(3)2sin2α－sinαcos α＋cos2α.
題42．已知sinα＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值．(2)求sin α－cos α的值．
題43．化簡：＋.
題44．已知關于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根為sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的兩根及θ的值．
編號：042 課題： §7.2.2 同角三角函數關系
目標要求
1.理解同角三角函數的兩種關系；
2.利用同角三角函數的關系求特殊值；
3.利用同角三角函數的關系求值；
4.利用同角三角函數的關系化簡證明．
重點難點
重點：利用同角三角函數的關系求值；
難點：利用同角三角函數的關系化簡證明．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
同角三角函數關系
(1)基本關系式
平方關系 商數關系
公式表示 ____
語言敘述 同一個角的正弦、余弦的平方和等于1. 同一個角的正弦、余弦的商等于角的__正切___.
(2)本質:同一個角的正弦、余弦、正切之間的相互關系.
(3)應用:正弦、余弦、正切的知一求二,三角函數的證明、化簡.
【思考】
“同角”一詞的含義是什么
提示:一是“角相同”,如就不一定成立.二是對任意一個角(在
使得函數有意義的前提下),關系式都成立,即與角的表達式形式無關,如
等.
【課前基礎演練】
題1．下列各式中成立的是 (　 　)
A．sin2α＋cos2β＝1 B．tanα＝(α任意)
C．cos2＝1－sin2 D．sinα＝
【解析】選C.A中不是同角；B中α≠kπ＋(k∈Z)；D中符號不能確定；只有C正確．
題2．已知α∈，cosα＝，則tan α＝ (　 　)
A．± B． C．－ D．
【解析】選A.因為cos α＝，且α∈，所以sin α＝±，所以tan α＝＝±.
題3．若tan α＝2，則的值為 (　 　)
A．0 B． C．1 D．
【解析】選B.＝＝.
題4．已知3sin α＋cos α＝0，則tan α＝______．
【解析】由題意得3sin α＝－cos α≠0，所以tan α＝－.
答案：－
題5．已知sin α＝，且α∈，則sin α－2cos2α＝________．
【解析】由已知得cosα＝－＝－，所以sin α－2cos2α＝－2×＝－.
答案：－
題6．已知sinα－cos α＝－，則sin αcos α＝________．
【解析】由題意得(sin α－cos α)2＝，即sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，所以1－2sinαcos α＝，所以sin αcos α＝－.
答案：－
題7．求證：＝.
【證明】方法一：(切化弦)
左邊＝＝，右邊＝＝.
因為sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以＝，所以左邊＝右邊．
所以原等式成立．
方法二：(由右至左)
因為右邊＝＝
＝＝＝＝左邊，
所以原等式成立．
【課堂檢測達標】
題8. 若cos α＝，且α在第四象限，則tan α＝ (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】選D.
因為cos α＝，且α在第四象限，所以tan α＝－＝－＝－.
題9．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝ (　 　)
A． B． C． D．
【解析】選B.
1＋sin θcos θ＝＝＝，
又tanθ＝2，所以1＋sin θcos θ＝＝.
題10．已知sin α＝，則sin4α－cos4α的值為 (　 　)
A．－ B．－ C． D．
【解析】選A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
題11．若α為第三象限角，則＋的值為 (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
【解析】選B.因為α為第三象限角，所以原式＝＋＝－3.
題12．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，則sinθcos θ的值為 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
【解析】選A.θ為第三象限角，則sin θ<0，cos θ<0，sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝，又sinθcos θ>0，所以sin θcos θ＝.
題13．已知＝，則等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．2　 D．－2
【解析】選B.因為＝，
所以＝＝＝＝－.
題14．(多選)下列選項可能成立的是 (　 　)
A．sin α＝－且cos α＝ B．sin α＝0且cos α＝－1
C．tan α＝1且cos α＝－1 D．tan α＝(α在第二象限)
【解析】選ABD.由基本關系式可逐個判斷A，B，D正確，C不正確．
題15．(多選)若1＋sin θ＋cos θ＝0成立，則θ不可能位于 (　 　)
A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】選ABD.因為1＋sin θ＋cos θ·＝0，
所以1＋sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＝0.當θ為第一象限角時，1＋sin2θ＋cos2θ＝2；
當θ為第二象限角時，1＋sin2θ－cos2θ＝2sin2θ>0；當θ為第三象限角時，1－sin2θ－cos2θ＝1－1＝0；
當θ為第四象限角時，1－sin2θ＋cos2θ＝2cos2θ>0，則θ不可能是第一、二、四象限角．
【光速解題】在第一、二、三、四象限內分別取一個特殊角，代入驗證，即可得到答案．
題16．已知tanα＝cos α，那么sin α＝________．
【解析】由于tan α＝＝cos α，則sin α＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，
解得sinα＝.又sin α＝cos2α>0，所以sinα＝.
答案：
題17．已知tan θ＝2，則＋sin2θ的值為________．
【解析】因為tanθ＝2，
所以＋sin2θ＝＋＝＋＝＋＝.
答案：
題18．化簡：(1)；
(2).
【解析】(1)原式＝＝
＝＝＝1.
(2)原式＝＝＝cos θ.
題19．若<α<2π，求證：＋＝－.
【證明】因為<α<2π，所以sin α<0.
左邊＝＋
＝＋＝＋
＝－－＝－＝右邊．所以原等式成立．
【綜合突破拔高】
題20．若α∈，且cos 2α－sin α＝，則tan α的值等于 (　 　)
A．－ B． C． D．－
【解析】選A.cos 2α－sin α＝等價于1－sin 2α－sin α＝，即4sin 2α＋4sin α－3＝0，
分解因式得＝0，則sin α＝或－(舍)，
因為α∈，所以cos α＝－，tan α＝－.
題21．已知＝2，則tan2α－3tanα＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－ D．－
【解析】選C.
＝＝2，解得tan α＝，所以tan2α－3tanα＝－3×＝－.
題22．已知α為第二象限角，則＋＝ (　 　)
A．3 B．－3 C．1 D．－1
【解析】選C.由題意，＋＝＋，因為α為第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以＋＝＋＝2－1＝1.
題23．(多選)已知α是三角形內角，若sin α＋cos α＝，則sin α－cos α的可取值為(　 　)
A．－　 B．－　 C．　 D．
【解析】選BC.因為α是三角形內角，所以α∈(0，π)，
又因為(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2sin αcos α＝，
解得2sin αcos α＝，因為sin αcos α>0且α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α>0，
所以sin α－cos α符號不確定，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝，
所以sin α－cos α＝±.
題24．化簡：(1－cos α)的結果是__________．
【解析】原式＝(1－cos α)＝(1－cos α)＝＝＝sin α.
答案：sin α
題25．已知＝，那么的值是________．
【解析】因為sin2x＋cos2x＝1，即cos2x＝1－sin2x＝(1＋sinx)(1－sin x)，所以＝.
因為＝，所以＝－.
答案：－
題26．若cos θ＋sin θ＝，θ∈(0，π)，則cos θsin θ－sin2θ＝________．
【解析】因為cosθ＋sin θ＝，①所以兩邊平方可得：1＋2sin θcos θ＝，
解得2sin θcos θ＝－，因為θ∈(0，π)，sin θ＞0，可得cos θ＜0，所以cos θ－sin θ＜0，
所以cos θ－sin θ＝－＝－＝－＝－，②
所以聯立①②解得：sin θ＝，cos θ＝－，所以cos θsin θ－sin2θ＝sinθ(cos θ－sin θ)＝－.
答案：－
題27．在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，則sin A cos A的值為____，tan A的值為________．
【解析】已知sin A＋cos A＝，則(sin A＋cos A)2＝，整理得：1＋2sin A cos A＝，解得：
sin A cos A＝－，所以解得或(舍去)，
故tan A＝－.
答案：－　－
題28．求證：＝.
【證明】左邊＝＝
＝＝
＝＝＝右邊，所以原等式成立．
題29．(1)化簡，其中α是第二象限角．
(2)求證：1＋tan2α＝.
【解析】(1)因為α是第二象限角，所以sinα＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0，
所以＝＝＝－sinαcos α.
(2)1＋tan2α＝1＋＝＝.
【素養培優訓練】
題30. 若sinθ＝，cos θ＝，則m的值為 (　 　)
A．0 B．8 C．0或8 D．3【解析】選C.由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.
題31．若α為第二象限角，化簡tanα·＝ (　 　)
A．1 B．2 C．－1 D．
【解析】選C.tanα·＝tanα·＝·.
因為α為第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以原式＝·＝－1.
題32．若sin α·cos α＝，0<α<，則sin α＋cos α的值是 (　 　)
A． B． C．－ D．
【解析】選D.因為0<α<，所以sin α>0，cos α>0，
所以sin α＋cos α＝＝＝＝.
題33．已知＝5，則sin 2α－sin αcos α的值是 (　 　)
A．　　 B．－　 C. －2　 D．2
【解析】選A.由＝5得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即sin α＝2cos α，
所以tan α＝2，所以sin2α－sinαcos α＝＝＝＝.
題34．已知α是三角形的一個內角，且sin α＋cos α＝，則這個三角形的形狀是(　　)
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．非等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】選B.由sin α＋cos α＝，得(sin α＋cos α)2＝，所以sin α·cos α＝－＜0.
因為α為三角形的一個內角，所以0＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以α∈，所以這個三角形是鈍角三角形．
題35．若β∈[0，2π)，且＋＝sinβ－cos β，則β的取值范圍是(　 　)
A．　 B． C．　 D．
【解析】選B.因為＋＝＋＝|sinβ|＋|cos β|＝sin β－cos β，所以sin β≥0，cos β≤0，所以β在第二象限或在x軸負半軸或在y軸正半軸上．因為0≤β＜2π，所以β∈，所以應選B.
【誤區警示】解答本題時要注意判斷角的范圍．
題36．(多選)若sin α＝，且α為銳角，則下列選項中正確的有 (　 　)
A．tan α＝　　 B．cos α＝ C．sin α＋cos α＝ D．sin α－cos α＝－
【解析】選AB.因為sin α＝，且α為銳角，所以cos α＝＝＝，故B正確，tan α＝＝，故A正確，sin α＋cos α＝＋＝，sin α－cos α＝－＝，故C，D錯誤．
題37．(多選)已知tan2x－2tan2y－1＝0，則下列式子成立的是 (　 　)
A．sin2y＝2sin2x＋1 B．sin2y＝－2sin2x－1 C．sin2y＝2sin2x－1 D．sin2y＝1－2cos2x
【解析】選CD.因為tan2x－2tan2y－1＝0，－2·－1＝0，
整理得sin2x·cos2y－2sin2y·cos2x＝cos2y·cos2x，
所以－sin 2y·cos 2x＝cos 2x，
則1－cos 2x－sin 2y＋sin 2y·cos 2x－sin 2y·cos 2x＝cos 2x，即sin 2y＝1－2cos 2x＝2sin 2x－1，所以C，D正確．
題38．化簡：＝________．
【解析】原式＝＝
＝＝＝sin2α.
答案：sin2α
題39．設a>0且a≠1，若loga(sinx－cos x)＝0，則sin 8x＋cos 8x＝______．
【解析】設a>0且a≠1，若loga(sin x－cos x)＝0，所以sin x－cos x＝a0＝1，
所以2＝sin 2x＋cos 2x－2sin x cos x＝1，又sin 2x＋cos 2x＝1，所以sin x cos x＝0，
又由2＝sin 4x＋cos 4x＋2sin 2xcos 2x＝1，則sin 4x＋cos 4x＝1，
所以sin 8x＋cos 8x＝2－2sin 4xcos 4x＝2＝1.
答案：1
題40．已知tan α＝2，則＝________，＝________．
【解析】＝＝＝.
＝＝＝1.
答案：　1
題41．已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1).
(2).
(3)2sin2α－sinαcos α＋cos2α.
【解析】因為tanα＝2，
(1)＝＝＝－.
(2)＝＝＝.
(3)2sin2α－sinαcos α＋cos2α＝
＝＝＝.
題42．已知sinα＋cos α＝－，0＜α＜π.
(1)求sin αcos α的值．(2)求sin α－cos α的值．
【解析】(1)
由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝，sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，sinαcos α＝－.
(2)因為0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0sin α－cos α＞0.
(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝.
題43．化簡：＋.
【解析】
原式＝＋＝＋.
因為α∈，所以∈，所以cos －sin ＞0，sin ＋cos ＞0，
所以上式＝cos －sin ＋cos ＋sin ＝2cos .
題44．已知關于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根為sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的兩根及θ的值．
【解析】(1)由題意，得所以＋
＝＋＝＝sin θ＋cos θ＝.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝，兩邊平方，得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝，由(1)，知＝，所以m＝.
(3)由(2)可知原方程為2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或又θ∈(0，2π)，所以θ＝或.
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