資源簡介

編號：043 課題： §7.2.3.1 三角函數(shù)的誘導公式（一）
目標要求
1.理解并掌握誘導公式（一）—（四）；
2.掌握給角求值問題；
3.理解并掌握給值（式）求值問題；
4.掌握化簡求值問題．
重點難點
重點：給值（式）求值問題；
難點：化簡求值問題．
學科素養(yǎng)目標
三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系．在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．一方面是以形助數(shù)，突出了幾何直觀對理解抽象數(shù)學概念的作用．如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學習中，注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象；通過角終邊之間的對稱關(guān)系來研究誘導公式；借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．
教學過程
基礎(chǔ)知識點
誘導公式
(1)誘導公式一
語言表達:終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
(2)誘導公式二、三、四
公式二 公式三 公式四
終邊關(guān)系 角與角的終邊關(guān)于x軸對稱. 角與角的終邊關(guān)于y軸對稱. 角與角的終邊關(guān)于原點對稱.
圖形
公式二 公式三 公式四
公式 ,, ,, ,,
(3)本質(zhì):在單位圓中,不同角的終邊的位置關(guān)系決定了三角函數(shù)值之間的關(guān)系.
(4)應用:通過誘導公式,將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),廣泛應用于計算、化簡、證明之中.
【思考】
公式一至公式四有簡單的記憶方法嗎
【課前基礎(chǔ)演練】
題1．tan 等于 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
題2．cos (－690°)的值為 (　　 )
A． B． C．－ D．－
題3．sin 600°的值為 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
題4．sin 240°＋cos (－150°)的值為 (　 　)
A．－　 B．－1　 C．1　 D．
題5．若cos (π－α)＝，則cos α＝________．
題6．sin 585°＝________．
題7．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
【課堂檢測達標】
題8. 以下四種化簡過程，其中正確的有 (　 　)
①sin(360°＋200°)＝sin 200°； ②sin (180°－200°)＝－sin 200°；
③sin (180°＋200°)＝sin 200°； ④sin (－200°)＝sin 200°.
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
題9.下列各式不正確的是 (　 　)
A．sin (α＋180°)＝－sin α B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
題10．求值tan (－1 140°)＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
題11．點P(cos 2 019°，sin 2 019°)落在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
題12．已知α∈，tan α＝－，則sin (α＋π)＝ (　 　)
A．　 B．－　 C． D．－
題13．若600°角的終邊上有一點(－4，a)，則a的值是 (　 　)
A．4　 B．±4　 C．－4　 D．
題14．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin (－π)，則a，b，c的大小關(guān)系是(　 　)
A．b>a>c　 B．a(chǎn)>b>c C．b>c>a　 D．a(chǎn)>c>b
題15．(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是 (　 　)
A．sin (－x)＝sin x B．tan (2π－x)＝tan x
C．tan (x＋π)＝tan x D．cos (x－π)＝－cos x
題16．(多選)已知cos (π－α)＝－，則sin (－2π－α)的值是 (　 　)
A． B．－ C．－　 D．
題17．如圖所示，角θ的終邊與單位圓交于點P(－，)，則cos (π－θ)的值為________．
題18.的值等于________．
題19．化簡下列各式．
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
題20．已知cos (α－75°)＝－，且α為第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
【綜合突破拔高】
題21．已知sin ＝，則sin 的值為 (　 　)
A． B．－ C． D．－
題22．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，則sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　 　)
A． B． C． D．－
題23．設(shè)f(α)＝，則f的值為(　 　)
A． B．－ C． D．－
題24．（多選）在△ABC中，給出下列四個式子，其中為常數(shù)的是 (　 　)
A．sin (A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
題25．化簡＝________．
題26．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________．
題27．已知函數(shù)f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β).其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，
又f(2 021)＝－1，則f(2 022)的值為________．
題28．已知角α的終邊經(jīng)過點P(3t，1)，且cos (π＋α)＝，則tan α的值為________，t的值為________．
題29．已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
題30．已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊在直線4x－3y＝0上．
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)求＋的值．
編號：043 課題： §7.2.3.1 三角函數(shù)的誘導公式（一）
目標要求
1.理解并掌握誘導公式（一）—（四）；
2.掌握給角求值問題；
3.理解并掌握給值（式）求值問題；
4.掌握化簡求值問題．
重點難點
重點：給值（式）求值問題；
難點：化簡求值問題．
學科素養(yǎng)目標
三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系．在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．一方面是以形助數(shù)，突出了幾何直觀對理解抽象數(shù)學概念的作用．如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學習中，注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象；通過角終邊之間的對稱關(guān)系來研究誘導公式；借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．
教學過程
基礎(chǔ)知識點
誘導公式
(1)誘導公式一
語言表達:終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
(2)誘導公式二、三、四
公式二 公式三 公式四
終邊關(guān)系 角與角的終邊關(guān)于x軸對稱. 角與角的終邊關(guān)于y軸對稱. 角與角的終邊關(guān)于原點對稱.
圖形
公式二 公式三 公式四
公式 ,, ,, ,,
(3)本質(zhì):在單位圓中,不同角的終邊的位置關(guān)系決定了三角函數(shù)值之間的關(guān)系.
(4)應用:通過誘導公式,將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),廣泛應用于計算、化簡、證明之中.
【思考】
公式一至公式四有簡單的記憶方法嗎
提示:有,記憶口訣為:“函數(shù)名不變,符號看象限”.
【課前基礎(chǔ)演練】
題1．tan 等于 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】選C.tan ＝tan ＝tan ＝tan ＝－tan ＝－.
題2．cos (－690°)的值為 (　　 )
A． B． C．－ D．－
【解析】選A.cos (－690°)＝cos (－690°＋720°)＝cos 30°＝.
題3．sin 600°的值為 (　 　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】選A.sin 600°＝sin (720°－120°)＝－sin 120°＝－sin (180°－60°)＝－sin 60°＝－.
題4．sin 240°＋cos (－150°)的值為 (　 　)
A．－　 B．－1　 C．1　 D．
【解析】選A.原式＝sin (180°＋60°)＋cos 150°＝－sin 60°＋cos (180°－30°)
＝－sin 60°－cos 30°＝－－＝－.
題5．若cos (π－α)＝，則cos α＝________．
【解析】因為cos (π－α)＝－cos α＝，所以cos α＝－.
答案：－
題6．sin 585°＝________．
【解析】sin 585°＝sin (360°＋180°＋45°)＝sin (180°＋45°)＝－sin 45°＝－.
答案：－
題7．已知cos ＝，求cos －sin2的值．
【解析】因為cos＝cos ＝－cos ＝－，sin2＝
sin2＝1－cos2＝，所以cos－sin2＝－－＝－.
【課堂檢測達標】
題8. 以下四種化簡過程，其中正確的有 (　 　)
①sin(360°＋200°)＝sin 200°； ②sin (180°－200°)＝－sin 200°；
③sin (180°＋200°)＝sin 200°； ④sin (－200°)＝sin 200°.
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解析】選B.由誘導公式知①正確，②③④錯誤．
題9.下列各式不正確的是 (　 　)
A．sin (α＋180°)＝－sin α B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
【解析】選B.由誘導公式知cos (－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos (α－β)，故B不正確．
題10．求值tan (－1 140°)＝ (　 　)
A． B． C．－ D．－
【解析】選D.tan (－1 140°)＝－tan 1 140°＝－tan (6×180°＋60°)＝－tan 60°＝－.
題11．點P(cos 2 019°，sin 2 019°)落在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】選C.2 019°＝6×360°－141°，所以cos 2 019°＝cos (－141°)＝cos 141°<0，
sin 2 019°＝sin (－141°)＝－sin 141°<0，所以點P在第三象限．
題12．已知α∈，tan α＝－，則sin (α＋π)＝ (　 　)
A．　 B．－　 C． D．－
【解析】選B.
因為sin (α＋π)＝－sin α，且tan α＝－，α∈，所以sin α＝，則sin (α＋π)＝－.
題13．若600°角的終邊上有一點(－4，a)，則a的值是 (　 　)
A．4　 B．±4　 C．－4　 D．
【解析】選C.由題意，得tan 600°＝，
則a＝－4·tan 600°＝－4tan (3×180°＋60°)＝－4tan 60°＝－4.
題14．已知a＝tan ，b＝cos ，c＝sin (－π)，則a，b，c的大小關(guān)系是(　 　)
A．b>a>c　 B．a(chǎn)>b>c C．b>c>a　 D．a(chǎn)>c>b
【解析】選A.a＝tan ＝－tan ＝－；b＝cos π＝cos ＝；
c＝sin ＝－sin ＝－，所以b＞a＞c.
題15．(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是 (　 　)
A．sin (－x)＝sin x B．tan (2π－x)＝tan x
C．tan (x＋π)＝tan x D．cos (x－π)＝－cos x
【解析】選CD.sin (－x)＝－sin x，故A不成立；tan (2π－x)＝tan (－x)＝－tan x，故B不成立；
tan (x＋π)＝tan x，故C成立；cos (x－π)＝－cos x，故D成立．
題16．(多選)已知cos (π－α)＝－，則sin (－2π－α)的值是 (　 　)
A． B．－ C．－　 D．
【解析】選AB.因為cos (π－α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，所以α為第一或第四象限角，
所以sin α＝±＝±，所以sin(－2π－α)＝sin (－α)＝－sin α＝±.
題17．如圖所示，角θ的終邊與單位圓交于點P(－，)，則cos (π－θ)的值為________．
【解析】由三角函數(shù)定義知，cos θ＝－，
所以cos (π－θ)＝－ cos θ＝.
答案：
題18.的值等于________．
【解析】原式＝
＝＝＝＝－2.
答案：－2
題19．化簡下列各式．
(1)sin cos π；
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°).
【解析】(1)sin cos π＝－sin cos ＝sin cos ＝.
(2)sin (－960°)cos 1 470°－cos (－240°)sin (－210°) ＝－sin (180°＋60°＋2×360°)
cos (30°＋4×360°)＋cos (180°＋60°)sin (180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.
題20．已知cos (α－75°)＝－，且α為第四象限角，求sin (105°＋α)的值．
【解析】因為cos (α－75°)＝－＜0，且α為第四象限角，
所以sin (α－75°)＝－＝－＝－，
所以sin (105°＋α)＝sin [180°＋(α－75°)]＝－sin (α－75°)＝.
【綜合突破拔高】
題21．已知sin ＝，則sin 的值為 (　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】選C.sin ＝sin ＝－sin ＝sin ＝.
題22．已知sin (α－360°)－cos (180°－α)＝m，則sin (180°＋α)·cos (180°－α)等于(　 　)
A． B． C． D．－
【解析】選A.因為sin (α－360°)－cos (180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
所以sin (180°＋α)cos (180°－α)＝sin αcos α＝＝.
題23．設(shè)f(α)＝，則f的值為(　 　)
A． B．－ C． D．－
【解析】選D.f(α)＝＝＝－.
所以f＝－＝－＝－.
題24．（多選）在△ABC中，給出下列四個式子，其中為常數(shù)的是 (　 　)
A．sin (A＋B)＋sin C B．cos (A＋B)＋cos C
C．sin (2A＋2B)＋sin 2C D．cos (2A＋2B)＋cos 2C
【解析】選BC.A中sin (A＋B)＋sin C＝2sin C；B中cos (A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
C中sin (2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C＝sin [2(π－C)]＋sin 2C
＝sin (2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
D中cos (2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C＝cos [2(π－C)]＋cos 2C
＝cos (2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
題25．化簡＝________．
【解析】原式＝＝＝1.
答案：1
題26．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝________．
【解析】因為cos 1°＋cos 179°＝cos 1°＋(－cos 1°)＝0，
cos 2°＋cos 178°＝cos 2°＋(－cos 2°)＝0，…所以原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋
(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋cos 90°＋cos 180°＝cos 180°＝－1.
答案：－1
題27．已知函數(shù)f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β).其中a，b，α，β都是非零實數(shù)，又f(2 021)＝－1，則f(2 022)的值為________．
【解析】f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β) ＝a sin (2 020π＋π＋α)＋
b cos (2 020π＋π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)
＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)，因為f(2 021)＝－1，
所以a sin α＋b cos β＝1.
所以f(2 022)＝a sin (2 022π＋α)＋b cos (2 022π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.
答案：1
題28．已知角α的終邊經(jīng)過點P(3t，1)，且cos (π＋α)＝，則tan α的值為________，t的值為________．
【解析】因為cos (π＋α)＝，所以－cos α＝，即cos α＝－，所以α在第二或第三象限，
又因為角α的終邊經(jīng)過點P(3t，1)，所以α在第二象限，所以sin α＝＝，
所以tan α＝－，由正切函數(shù)的定義可得tan α＝－＝，所以t＝－.
答案：－　－
題29．已知f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【解析】(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因為sin (α－π)＝－sin α＝，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝.
(3)因為－＝－6×2π＋，
所以f＝－cos ＝－cos ＝－cos ＝－.
題30．已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊在直線4x－3y＝0上．
(1)求sin (α＋π)的值；
(2)求＋的值．
【解析】(1)在直線4x－3y＝0上任取一點
P(m≠0)，由已知角α的終邊過點
P，所以x＝m，y＝m，r＝＝＝.
利用誘導公式與三角函數(shù)定義可得sin (α＋π)＝－sin α＝－＝－，
當m>0時，sin (α＋π)＝－；當m<0時，sin (α＋π)＝.
(2)原式＝＋＝＋＝
＝＝sin α＋cos α
同理(1)利用三角函數(shù)定義可得：cos α＝＝，
當m>0時，sin α＝，cos α＝，此時原式＝；當m<0時，sin α＝－，cos α＝－，
此時原式＝－.
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