資源簡介

編號：044 課題： §7.2.3.2 三角函數的誘導公式（二）
目標要求
1.理解并掌握誘導公式（五）—（六）；
2.會利用誘導公式求值；
3.會利用誘導公式證明恒等式；
4.掌握誘導公式的綜合應用問題．
重點難點
重點：利用誘導公式證明恒等式；
難點：誘導公式的綜合應用問題．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
誘導公式五、六
(1)誘導公式五、六
公式五 公式六
終邊關系 角與角 的終邊關于直線對稱. 角與角的終邊垂直.
圖形
公式 ,. ,.
(2)本質:單位圓中,終邊關于y=x對稱,互相垂直的角的三角函數之間的關系.
(3)應用:與誘導公式一～四結合用于三角函數式求值、化簡、證明.
【思考】
從函數名稱、符號兩個方面觀察誘導公式五、六,有什么變化規律
提示:函數名稱改變,符號隨象限變化而變化,即:函數名改變,符號看象限.
【課前基礎演練】
題1．已知sin 40°＝a，則cos 50°等于 (　 　)
A．±a B．－a C．a D．
題2．已知sin 40°＝a，則cos 130°＝ (　 　)
A．a B．－a C． D．－
題3．已知sin ＝，則cos ＝ (　 　)
A．－ B． C．－ D．
題4．已知tan θ＝2，則＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－2 D．
題5．已知sin 19°55′＝m，則cos (－70°5′)＝________．
題6．化簡sin ＝________．
題7．已知tan (3π＋α)＝2，
求的值．
【課堂檢測達標】
題8. 若sin <0，且cos >0，則θ是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
題9．已知sin ＝，則cos 的值是 (　 　)
A．－ B． C． D．－
題10．在△ABC中，下列四個關系中正確的有 (　 　)
①sin (A＋B)＝sin C；②cos (A＋B)＝sin C；③sin ＝sin ；④cos ＝sin .
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
題11．已知sin ＝，則cos 等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
題12．化簡：等于 (　 　)
A．－sin θ　 B．sin θ　 C．cos θ　 D．－cos θ
題13．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，則cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值為(　　)
A．－　　 B．－　　 C．　　 D．
題14．(多選)下列與cos 的值相等的是 (　 　)
A．sin (π－θ)　　　B．sin (π＋θ) C．cos 　 D．cos
題15．(多選)已知3sin －sin ＝－，則cos α－sin α的取值可以為(　 　)
A． B． C．－ D．
題16．化簡·sin (α－π)·cos (2π－α)的結果為________．
題17．化簡：sin(450°－α)－sin (180°－α)＋cos (450°－α)＋cos (180°－α)＝________．
題18．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)sin3＋cos3.
題19．已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)若cos ＝，求f(α)的值．
(2)求函數y＝f2(x)＋sin x，x∈的值域．
【綜合突破拔高】
題20．在△ABC中，若cos ＝，則cos 的值為 (　 　)
A．±　 B．±　 C．　 D．
題21．若f(sin x)＝3－cos 2x，則f(cos x)＝ (　 　)
A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
題22．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是 (　 　)
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x C．f(π－x)＝－f(x) D．f＝－cos x
題23．已知α是第三象限角，且cos (85°＋α)＝，則sin (α－95°)＝________．
題24．已知α的終邊與單位圓交于點P，點P關于直線y＝x對稱后的點為M，點M關于y軸對稱后的點為N，設角β終邊為射線ON.
(1)β與α的關系為________；
(2)若sin α＝，則tan β＝________．
題25．已知cos (75°＋α)＝，則sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是________．
題26．已知cos ＝，則cos ＝__________，sin ＝________．
題27．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，
求·tan 2(π－α)的值．
題28．已知函數f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
編號：044 課題： §7.2.3.2 三角函數的誘導公式（二）
目標要求
1.理解并掌握誘導公式（五）—（六）；
2.會利用誘導公式求值；
3.會利用誘導公式證明恒等式；
4.掌握誘導公式的綜合應用問題．
重點難點
重點：利用誘導公式證明恒等式；
難點：誘導公式的綜合應用問題．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
誘導公式五、六
(1)誘導公式五、六
公式五 公式六
終邊關系 角與角 的終邊關于直線對稱. 角與角的終邊垂直.
圖形
公式 ,. ,.
(2)本質:單位圓中,終邊關于y=x對稱,互相垂直的角的三角函數之間的關系.
(3)應用:與誘導公式一～四結合用于三角函數式求值、化簡、證明.
【思考】
從函數名稱、符號兩個方面觀察誘導公式五、六,有什么變化規律
提示:函數名稱改變,符號隨象限變化而變化,即:函數名改變,符號看象限.
【課前基礎演練】
題1．已知sin 40°＝a，則cos 50°等于 (　 　)
A．±a B．－a C．a D．
【解析】選C.cos 50°＝cos (90°－40°)＝sin 40°＝a.
題2．已知sin 40°＝a，則cos 130°＝ (　 　)
A．a B．－a C． D．－
【解析】選B.cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.
題3．已知sin ＝，則cos ＝ (　 　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】選A.sin ＝，即為sin ＝－，
即有sin ＝－，即cos ＝－.
題4．已知tan θ＝2，則＝ (　 　)
A．2 B．0 C．－2 D．
【解析】選C.＝＝＝＝－2.
題5．已知sin 19°55′＝m，則cos (－70°5′)＝________．
【解析】cos (－70°5′)＝cos 70°5′＝cos (90°－19°55′)＝sin 19°55′＝m.
答案：m
題6．化簡sin ＝________．
【解析】sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α.
答案：－cos α
題7．已知tan (3π＋α)＝2，
求的值．
【解析】由tan (3π＋α)＝2，得tan α＝2，所以原式＝＝＝＝＝2.
【課堂檢測達標】
題8. 若sin <0，且cos >0，則θ是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】選B.因為sin <0，所以cos θ<0，即θ是第二或第三象限角或終邊在x的負半軸．
因為cos >0，所以sin θ>0.即θ是第一或第二象限角或終邊在y軸的正半軸上．
綜上θ是第二象限角．
題9．已知sin ＝，則cos 的值是 (　 　)
A．－ B． C． D．－
【解析】選C.cos ＝cos ＝sin ＝.
題10．在△ABC中，下列四個關系中正確的有 (　 　)
①sin (A＋B)＝sin C；②cos (A＋B)＝sin C；③sin ＝sin ；④cos ＝sin .
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解析】選C.因為△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故①正確；
cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故②錯誤；sin ＝sin ＝cos ，故③錯誤；
cos ＝cos ＝sin ，故④正確．綜上，①④正確．
題11．已知sin ＝，則cos 等于 (　 　)
A．　 B．－　 C．　 D．－
【解析】選D.cos ＝cos ＝sin ＝－sin ＝－.
題12．化簡：等于 (　 　)
A．－sin θ　 B．sin θ　 C．cos θ　 D．－cos θ
【解析】選A.
原式＝＝＝－sin θ.
題13．若sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，則cos (270°－α)＋2sin (360°－α)的值為(　　)
A．－　　 B．－　　 C．　　 D．
【解析】選B.由sin (180°＋α)＋cos (90°＋α)＝－，
得sin α＝，cos (270°－α)＋2sin (360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.
題14．(多選)下列與cos 的值相等的是 (　 　)
A．sin (π－θ)　　　B．sin (π＋θ) C．cos 　 D．cos
【解析】選BD.因為cos ＝－cos ＝－sin θ，sin (π－θ)＝sin θ，
sin (π＋θ)＝－sin θ，cos ＝sin θ，cos ＝－sin θ，
所以B，D項與cos 的值相等．
題15．(多選)已知3sin －sin ＝－，則cos α－sin α的取值可以為(　 　)
A． B． C．－ D．
【解析】選CD.由題意3sin －sin ＝3cos α＋sin α＝－，
由解得或
當時，cos α－sin α＝，當時，cos α－sin α＝－.
題16．化簡·sin (α－π)·cos (2π－α)的結果為________．
【解析】原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α
題17．化簡：sin(450°－α)－sin (180°－α)＋cos (450°－α)＋cos (180°－α)＝________．
【解析】原式＝sin (90°－α)－sin α＋cos (90°－α)－cos α＝cos α－sin α＋sin α－cos α＝0.
答案：0
題18．已知sin (π－α)－cos (π＋α)＝，求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)sin3＋cos3.
【解析】由sin(π－α)－cos (π＋α)＝，得sin α＋cos α＝，
兩邊平方整理得2sin αcos α＝－，所以sin αcos α＝－，
所以cos α－sin α＝±＝±＝±＝±，
(1)sin cos ＝sin cos ＝－sin sin α
＝－sin αcos α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α＝(cosα－sin α)(cos2α＋cosαsin α＋sin2α)
＝×＝±.
題19．已知α是第三象限角，且f(α)＝
.
(1)若cos ＝，求f(α)的值．
(2)求函數y＝f2(x)＋sin x，x∈的值域．
【解析】(1)因為α是第三象限角，cos ＝＝－sin α，所以sin α＝－，
所以f(α)＝
＝＝－cos α＝＝.
(2)因為x∈，所以sinx∈，函數y＝f2(x)＋sin x＝1－sin2x＋sinx＝－，故當sin x＝時，函數取得最大值為；當sin x＝－時，函數取得最小值為，故該函數的值域為.
【綜合突破拔高】
題20．在△ABC中，若cos ＝，則cos 的值為 (　 　)
A．±　 B．±　 C．　 D．
【解析】選C.在△ABC中A＋B＋C＝π，所以＝－，
所以cos ＝cos ＝sin ＝.又∈，所以cos ＝.
題21．若f(sin x)＝3－cos 2x，則f(cos x)＝ (　 　)
A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x
【解析】選C.f(cos x)＝f＝3－cos (π－2x)＝3＋cos 2x.
題22．已知f(x)＝sin x，下列式子成立的是 (　 　)
A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x)＝sin x C．f(π－x)＝－f(x) D．f＝－cos x
【解析】選D.f(x＋π)＝sin (x＋π)＝－sin x；f(2π－x)＝sin (2π－x)＝sin (－x)＝－sin x；
f＝sin ＝－sin ＝－cos x；f(π－x)＝sin (π－x)＝sin x＝f(x).
題23．已知α是第三象限角，且cos (85°＋α)＝，則sin (α－95°)＝________．
【解析】因為α是第三象限角，cos (85°＋α)＝>0，所以85°＋α是第四象限角．
所以sin (85°＋α)＝－，
sin (α－95°)＝sin (85°＋α－180°)＝－sin [180°－(85°＋α)]＝－sin (85°＋α)＝.
答案：
題24．已知α的終邊與單位圓交于點P，點P關于直線y＝x對稱后的點為M，點M關于y軸對稱后的點為N，設角β終邊為射線ON.
(1)β與α的關系為________；
(2)若sin α＝，則tan β＝________．
【解析】(1)由題意可得：點P為單位圓上的點，并且以射線OP為終邊的角的大小為α，所以P(cos α，sin α), 又因為P，M 兩點關于直線y＝x 對稱，所以M(sin α，cos α).
即M.即β＝α＋.
(2)因為β＝α＋，所以cos β＝cos ＝－sin α＝－，因為0<α<，所以sin β＝sin ＝cos α＝，故tan β＝＝－2.
答案：(1)β＝α＋　(2)－2
題25．已知cos (75°＋α)＝，則sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是________．
【解析】sin (α－15°)＋cos (105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)]
＝－sin [90°－(75°＋α)]－cos (75°＋α)＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)
＝－2cos (75°＋α)，因為cos (75°＋α)＝，所以原式＝－.
答案：－
題26．已知cos ＝，則cos ＝__________，sin ＝________．
【解析】cos ＝cos ＝－cos ＝－.
sin ＝sin ＝sin ＝sin ＝cos ＝.
答案：－　
題27．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，
求·tan 2(π－α)的值．
【解析】方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－，x2＝2，因為－1≤sin α≤1，所以sin α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos α＝－，tan α＝＝，
所以·tan2(π－α)＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－.
題28．已知函數f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若f(α)·f＝－，且≤α≤，求f(α)＋f的值；
(3)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
【解析】(1)f＝＝－cos α.
(2)f＝－cos ＝sin α，因為f·f＝－，
所以cos α·sin α＝，可得2＝，結合≤α≤，cos α>sin α，
所以f＋f＝sin α－cos α＝－.
(3)由(2)得f＝2f，即為sin α＝－2cos α，聯立sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos 2α＝，
所以f·f＝－sin αcos α＝2cos 2α＝.
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