資源簡(jiǎn)介

編號(hào)：038 課題:§7.1.1 任意角
目標(biāo)要求
1.理解任意角的概念；
2.掌握象限角和終邊相同的角的集合表示；
3.會(huì)表示終邊相同的角；
4.理解并掌握象限角及其應(yīng)用．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：終邊相同的角的表示及應(yīng)用；
難點(diǎn)：象限角及其應(yīng)用．
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系．在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．一方面是以形助數(shù)，突出了幾何直觀對(duì)理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用．如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象；通過(guò)角終邊之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系來(lái)研究誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個(gè)周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸的交點(diǎn)等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形．特別值得一提的是誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)．首先提出問(wèn)題：“由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．
教學(xué)過(guò)程
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
1.任意角
(1)角的分類(lèi)
類(lèi)型 定義 圖示
正角 一條射線繞其端點(diǎn),按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角
負(fù)角 一條射線繞其端點(diǎn),按________方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角 一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)
(2)本質(zhì):將初中所學(xué)的銳角、直角、鈍角、平角和周角等推廣到任意角.
(3)應(yīng)用:可以定義任意的旋轉(zhuǎn)角.
2.象限角
角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸_________,建立平面直角坐標(biāo)系,這樣,角的
終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是____________.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,稱(chēng)這個(gè)角為軸線角.
3.終邊相同的角
(1)定義:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi).
(2)表示:集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)本質(zhì):表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.
4.軸線角
（1）終邊落在軸非負(fù)半軸上的角的集合表示：___________________________；
（2）終邊落在軸非負(fù)半軸上的角的集合表示：___________________________；
（3）終邊落在軸非正半軸上的角的集合表示：_____________________________；
（4）終邊落在軸非負(fù)半軸上的角的集合表示：______________________________；
（5）終邊落在軸上的角的集合表示：______________________________；
（6）終邊落在軸上的角的集合表示：_______________________________；
（7）終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合表示：_______________________________.
5.象限角
（1）終邊落在第一象限的角的集合表示：
①_______________________________,
②________________________________；
（2）終邊落在第二象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________；
（3）終邊落在第三象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________；
（4）終邊落在第四象限的角的集合表示：
①________________________________,
②________________________________.
【思考】
反過(guò)來(lái),若角α,β滿足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}時(shí),角α,β是否是終邊相
同的角
【課前基礎(chǔ)演練】
題1.在下列說(shuō)法中，正確的是 (　 　)
①時(shí)鐘經(jīng)過(guò)兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角是60°；
②鈍角一定大于銳角；
③射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0°；
④－2 000°是第二象限角．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
題2．與－30°角終邊相同的角是 (　 　)
A．30° B．330° C．－330° D．150°
題3．與－457°角終邊相同的角的集合是 (　 　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
題4．若α是第一象限角，則－是 (　 　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角
題5．下面與－850°12′終邊相同的角的是________．
①230°12′　②229°48′　③129°48′　④130°12′
題6．在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°12′角終邊相同的角為_(kāi)_______，它是第________象限角．
題7．如圖所示.
(1)寫(xiě)出終邊落在射線OA，OB上的角的集合．
(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．
【課堂檢測(cè)達(dá)標(biāo)】
題8. 下列各組角中，終邊相同的角是 (　 　)
A．－145°，585° B．45°，585° C．225°，585° D．315°，585°
題9．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
題10．若α是第四象限角，則180°－α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
題11．2 021°是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
題12．與－463°角終邊相同的角可表示為 (　 　)
A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z)
C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z)
題13．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范圍(如圖陰影部分)正確的是 (　 　)
題14．(多選)下列與412°角的終邊相同的角是 (　 　)
A．52°　　 B．778° C．－308°　 D．1 132°
題15．(多選)在下列四個(gè)角中，屬于第二象限角的是 (　 　)
A．160° B．480° C．－960° D．1 530°
二、填空題
題16．與2 019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________．
題17．已知角α的終邊與－100°角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α的取值集合為_(kāi)_______．
三、解答題
題18．在[0，4π]內(nèi)找出與角終邊相同的角．
題19．寫(xiě)出終邊在如圖所示直線上的角的集合．
【綜合突破拔高】
題20．在0°到360°范圍內(nèi)，與角－120°終邊相同的角是 (　 　)
A．120° B．60° C．180° D．240°
題21.終邊在第三象限，則θ的終邊可能在 (　 　)
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或y軸非負(fù)半軸上 D．第三、四象限或y軸非正半軸上
題22．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的終邊都在 (　 　)
A．x軸正半軸上 B．y軸正半軸上 C．x軸或y軸上 D．x軸正半軸或y軸正半軸上
二、填空題
題23．(多選)如果角α的終邊在第三象限，那么的終邊可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
題24．已知角α，β的終邊關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)，且α＝－60°，則β＝__________.
題25．若角α的終邊在y軸的負(fù)半軸上，則角α－150°的終邊在第______象限．
題26．如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，以逆時(shí)針?lè)较騽蛩傺貑挝粓A周旋轉(zhuǎn)，已知P點(diǎn)在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ (0°<θ<180°)，經(jīng)過(guò)2 s到達(dá)第三象限，經(jīng)過(guò)14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，則θ＝________．
題27．射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置，由OB位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°到達(dá)OC位置，則∠AOC＝________．
三、解答題
題28．寫(xiě)出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．
題29．已知，如圖所示．
(1)分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
編號(hào)：038 課題:§7.1.1 任意角
目標(biāo)要求
1.理解任意角的概念；
2.掌握象限角和終邊相同的角的集合表示；
3.會(huì)表示終邊相同的角；
4.理解并掌握象限角及其應(yīng)用．
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：終邊相同的角的表示及應(yīng)用；
難點(diǎn)：象限角及其應(yīng)用．
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系．在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．一方面是以形助數(shù)，突出了幾何直觀對(duì)理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用．如在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象；通過(guò)角終邊之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系來(lái)研究誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個(gè)周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸的交點(diǎn)等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形．特別值得一提的是誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)．首先提出問(wèn)題：“由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．
教學(xué)過(guò)程
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
1.任意角
(1)角的分類(lèi)
類(lèi)型 定義 圖示
正角 一條射線繞其端點(diǎn),按____逆時(shí)針___方向旋轉(zhuǎn)形成的角
負(fù)角 一條射線繞其端點(diǎn),按___順時(shí)針____方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角 一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)
(2)本質(zhì):將初中所學(xué)的銳角、直角、鈍角、平角和周角等推廣到任意角.
(3)應(yīng)用:可以定義任意的旋轉(zhuǎn)角.
2.象限角
角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸____正半軸___,建立平面直角坐標(biāo)系,這樣,角的
終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是____第幾象限角_____.如果角的終邊在坐標(biāo)
軸上,稱(chēng)這個(gè)角為軸線角.
3.終邊相同的角
(1)定義:所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi).
(2)表示:集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)本質(zhì):表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.
4.軸線角
（1）終邊落在軸非負(fù)半軸上的角的集合表示：_____；
（2）終邊落在軸非負(fù)半軸上的角的集合表示：_____；
（3）終邊落在軸非正半軸上的角的集合表示：_____；
（4）終邊落在軸非負(fù)半軸上的角的集合表示：_____；
（5）終邊落在軸上的角的集合表示：_____；
（6）終邊落在軸上的角的集合表示：_____；
（7）終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合表示：_____.
5.象限角
（1）終邊落在第一象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（2）終邊落在第二象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（3）終邊落在第三象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（4）終邊落在第四象限的角的集合表示：
①_____,
②_____.
【思考】
反過(guò)來(lái),若角α,β滿足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}時(shí),角α,β是否是終邊相
同的角
提示:當(dāng)角α,β滿足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}時(shí),表示角α與β相隔整數(shù)
個(gè)周角,即角α,β終邊相同.
【課前基礎(chǔ)演練】
題1.在下列說(shuō)法中，正確的是 (　 　)
①時(shí)鐘經(jīng)過(guò)兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角是60°；
②鈍角一定大于銳角；
③射線OA繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0°；
④－2 000°是第二象限角．
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】選D.
①時(shí)鐘經(jīng)過(guò)兩個(gè)小時(shí)，時(shí)針按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，因而轉(zhuǎn)過(guò)的角為－60°，所以①不正確．
②鈍角α的取值范圍為90°<α<180°，銳角θ的取值范圍為0°<θ<90°，因此鈍角一定大于銳角，所以②正確．
③射線OA按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是360°，所以③不正確．
④－2 000°＝－6×360°＋160°與160°終邊相同，是第二象限角，所以④正確．
題2．與－30°角終邊相同的角是 (　 　)
A．30° B．330° C．－330° D．150°
【解析】選B.與－30°角終邊相同的角連同－30°在內(nèi)，可表示為－30°＋k·360°，令k＝1得，選項(xiàng)B正確．
題3．與－457°角終邊相同的角的集合是 (　 　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
【解析】選C.－457°＝－2×360°＋263°，所以與－457°角終邊相同的角的集合是{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}．
題4．若α是第一象限角，則－是 (　 　)
A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角
【解析】選D.因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵詋·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，所以是第一、三象限角，
又因?yàn)椋c的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以－是第二、四象限角．
題5．下面與－850°12′終邊相同的角的是________．
①230°12′　②229°48′　③129°48′　④130°12′
【解析】與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝3時(shí)，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′，其他都不是．
答案：②
題6．在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°12′角終邊相同的角為_(kāi)_______，它是第________象限角．
【解析】－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°12′終邊相同的角是129°48′，所以它是第二象限角．
答案：129°48′　 二
題7．如圖所示.
(1)寫(xiě)出終邊落在射線OA，OB上的角的集合．
(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．
【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)題目給出的角度分別寫(xiě)出OA，OB表示的角．
(2)根據(jù)陰影部分寫(xiě)出不等式，注意兩個(gè)角的先后順序．
【解析】(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
【課堂檢測(cè)達(dá)標(biāo)】
題8. 下列各組角中，終邊相同的角是 (　 　)
A．－145°，585° B．45°，585° C．225°，585° D．315°，585°
【解析】選C.－145°－585°＝－730°＝－360°×2－10°，故A錯(cuò)誤；
45°－585°＝－540°＝－360°－180°，故B錯(cuò)誤；
225°－585°＝－360°，故C正確；315°－585°＝－270°，故D錯(cuò)誤．
題9．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°
【解析】選B.－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°.
題10．若α是第四象限角，則180°－α是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】選C.可以給α賦一特殊值－60°，則180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
題11．2 021°是 (　 　)
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】選C.2 021°＝5×360°＋221°，且180°<221°<270°，所以2 021°是第三象限角．
題12．與－463°角終邊相同的角可表示為 (　 　)
A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z)
C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z)
【解析】選C.因?yàn)椋?63°＝257°＋(－2)×360°，
所以與－463°角終邊相同的角可表示為k·360°＋257°(k∈Z).
題13．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角α所表示的范圍(如圖陰影部分)正確的是 (　 　)
【解析】選C.令k＝0得，45°≤α≤90°，排除B、D，
令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除A.
題14．(多選)下列與412°角的終邊相同的角是 (　 　)
A．52°　　 B．778° C．－308°　 D．1 132°
【解析】選ACD.因?yàn)?12°＝360°＋52°，所以與412°角的終邊相同的角為β＝k×360°＋52°，k∈Z.當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝－308°；當(dāng)k＝0時(shí)，β＝52°；當(dāng)k＝2時(shí)，β＝772°；當(dāng)k＝3時(shí)，β＝1 132°；當(dāng)k＝4時(shí)，β＝1 492°.
題15．(多選)在下列四個(gè)角中，屬于第二象限角的是 (　 　)
A．160° B．480° C．－960° D．1 530°
【解析】選ABC.A中，160°是第二象限角；
B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；
C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
D中，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．
【誤區(qū)警示】判斷角所在的象限時(shí)，先在0°～360°內(nèi)找到與已知角終邊相同的角，判斷這個(gè)角所在的象限，即原角所在的象限．
二、填空題
題16．與2 019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________．
【解析】與2 019°角的終邊相同的角為2 019°＋k·360°(k∈Z).
當(dāng)k＝－5時(shí)，219°為最小正角；
當(dāng)k＝－6時(shí)，－141°為絕對(duì)值最小的角．
答案：219°　－141°
題17．已知角α的終邊與－100°角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α的取值集合為_(kāi)_______．
【解析】如圖，
－80°角與－100°角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此α的取值集合為{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}．
答案：{α|α＝k·360°－80°，k∈Z}
三、解答題
題18．在[0，4π]內(nèi)找出與角終邊相同的角．
【解析】因?yàn)榕c角度2kπ＋(k∈Z)的終邊相同，故令0≤2kπ＋≤4π，解得k∈，又k∈Z，故可得k＝0或1.故與角度終邊相同的角為2π＋＝.
題19．寫(xiě)出終邊在如圖所示直線上的角的集合．
【解析】(1)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸上的角有兩個(gè)，即0°和180°，
因此所有與0°角的終邊相同的角構(gòu)成集合
S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，
而所有與180°角的終邊相同的角構(gòu)成集合
S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．
于是，終邊落在x軸上的角的集合
S＝S1∪S2＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．
(2)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個(gè)，即135°和315°.
因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
【綜合突破拔高】
題20．在0°到360°范圍內(nèi)，與角－120°終邊相同的角是 (　 　)
A．120° B．60° C．180° D．240°
【解析】選D.因?yàn)榕c－120°終邊相同角的集合為{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
取k＝1，可得在0°到360°范圍內(nèi)，與角－120°終邊相同的角是240°.
題21.終邊在第三象限，則θ的終邊可能在 (　 　)
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限或y軸非負(fù)半軸上 D．第三、四象限或y軸非正半軸上
【解析】選C.因?yàn)榻K邊在第三象限，
所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°，k∈Z，
所以360°＋2k·360°＜θ＜540°＋2k·360°，k∈Z.
(2k＋1)·360°＜θ＜180°＋(2k＋1)·360°，k∈Z.
所以θ的終邊可能在第一、二象限或y軸非負(fù)半軸上．
題22．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中，各角的終邊都在 (　 　)
A．x軸正半軸上 B．y軸正半軸上 C．x軸或y軸上 D．x軸正半軸或y軸正半軸上
【解析】選C.令k＝1，2，3，4，終邊分別落在y軸正半軸上，x軸負(fù)半軸上，y軸負(fù)半軸上，x軸正半軸上，又k∈Z.
二、填空題
題23．(多選)如果角α的終邊在第三象限，那么的終邊可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】選ACD.因?yàn)棣翞榈谌笙藿牵?br/>所以k·360°＋180°<α所以k·120°＋60°<分別取k＝0，1，2，3，…，可得的終邊分別在第一、第三、第四、第一、…象限，均不過(guò)第二象限；
取k＝－1，－2，－3，…時(shí)，的終邊分別在第四、第三、第一、…象限，均不過(guò)第二象限．
題24．已知角α，β的終邊關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)，且α＝－60°，則β＝__________.
【解題指南】結(jié)合圖象，找出一個(gè)角后表示．
【解析】－60°角的終邊關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱(chēng)的射線的對(duì)應(yīng)角為－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
答案：－30°＋k·360°，k∈Z
題25．若角α的終邊在y軸的負(fù)半軸上，則角α－150°的終邊在第______象限．
【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊在y軸的負(fù)半軸上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以角α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，
所以α－150°的終邊在第二象限．
答案：二
題26．如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，以逆時(shí)針?lè)较騽蛩傺貑挝粓A周旋轉(zhuǎn)，已知P點(diǎn)在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ (0°<θ<180°)，經(jīng)過(guò)2 s到達(dá)第三象限，經(jīng)過(guò)14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，則θ＝________．
【解題指南】因?yàn)? s到達(dá)第三象限，所以k·360°＋180°<2θ又因?yàn)榻?jīng)過(guò)14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)，所以14θ＝n·360°(n∈Z).
【解析】因?yàn)?°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ則一定有k＝0，于是90°<θ<135°.又因?yàn)?4θ＝n·360°(n∈Z)，所以θ＝°，
從而90°<°<135°，所以當(dāng)n＝4時(shí)，θ＝°；當(dāng)n＝5時(shí)，θ＝°.
答案：°或°
題27．射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置，由OB位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°到達(dá)OC位置，則∠AOC＝________．
【解析】因?yàn)楦鹘呛偷男D(zhuǎn)量等于各角旋轉(zhuǎn)量的和，所以∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.
答案：－150°
三、解答題
題28．寫(xiě)出與α＝－1 910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．
【解析】與α＝－1 910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．
因?yàn)椋?20°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，所以3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4，5，6.k＝4時(shí)，β＝4×360°－1 910°＝－470°；
k＝5時(shí)，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6時(shí)，β＝6×360°－1 910°＝250°.
題29．已知，如圖所示．
(1)分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
【解析】(1)終邊落在OA位置上的角的集合為
{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)陰影部分(包括邊界)的角的集合可表示為
{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
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