資源簡介

編號：039 課題:§7.1.2 弧度制
目標要求
1.理解弧度制的概念；
2.掌握角度制與弧度制的換算；
3.會利用弧度制表示角；
4.會利用扇形的弧長公式及面積公式解決實際問題．
重點難點
重點：弧度制表示角；
難點：扇形的弧長公式及面積公式．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
1.弧度制
(1)弧度制
①1弧度的角:長度等于______________的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
②表示方法:1弧度記作1 rad.
③角的弧度數由角的大小唯一確定,而與其為圓心角所在圓的大小(半徑)無關.
④用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.
(2)角的弧度數的計算
在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對的圓心角為α rad,那么,|α|=________.
(3)本質:角的兩種不同的度量模式,適用情況不同,而且弧度是表示角的默認單
位.
(4)應用:角度制更容易理解和運算,與小學、初中知識更容易銜接;弧度制表示
角應用更廣泛,與實數一一對應.
【思考】
初中學習的角度制是怎樣定義的 1°角是多少
2.角度制與弧度制的換算
角度化弧度 弧度化角度
360°=______ rad 2π rad=_________
180°=_______ rad π rad= _________
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= ≈57.30°
度數×=弧度數 弧度數×=度數
【思考】
角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間換算的關鍵是什么
3.軸線角的弧度制表示
（1）終邊落在軸非負半軸上的角的集合表示：___________________________；
（2）終邊落在軸非負半軸上的角的集合表示：___________________________；
（3）終邊落在軸非正半軸上的角的集合表示：___________________________；
（4）終邊落在軸非負半軸上的角的集合表示：___________________________；
（5）終邊落在軸上的角的集合表示：___________________________；
（6）終邊落在軸上的角的集合表示：___________________________；
（7）終邊落在坐標軸上的角的集合表示：___________________________.
4.象限角的弧度制表示
（1）終邊落在第一象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（2）終邊落在第二象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（3）終邊落在第三象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________；
（4）終邊落在第四象限的角的集合表示：
①_________________________________________________,
②_________________________________________________.
5.扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為R,弧長為l,為其圓心角,則
(1)弧長公式:l=__________.
(2)扇形面積公式:S=__________=__________.
【思考】
初中學過的半徑為r,圓心角為n°的扇形弧長、面積公式分別是什么
【課前基礎演練】
題1．下列說法中，錯誤的是 (　 　)
A．半圓弧所對的圓心角是π rad B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑 D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度
題2．－320°化為弧度是 (　 　)
A．－　　 B．－　　 C．－　　 D．－
題3．下列各對角中，終邊相同的是 (　 　)
A．和2kπ－(k∈Z) 　　 B．－和
C．－和 　　 D．和
題4．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是 (　 　)
A．　　　　 B．　　　　 C．1　　　　 D．2
題5．(1)化為角度是________． (2)105°的弧度數是________rad.
題6．某扇形的半徑為1 cm，它的周長為4 cm，那么該扇形的圓心角為________．
題7．用弧度表示終邊落在陰影部分內(不包括邊界)的角的集合．
【課堂檢測達標】
題8. 2 145°轉化為弧度數為 (　 　)
A． B． C． D．
題2．下列各式不正確的是 (　 　)
A．－210°＝－ B．405°＝ C．335°＝ D．705°＝
題3．角－π的終邊所在的象限是 (　 )
A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
題4．把－765°化成2kπ＋α(0≤α<2π)，k∈Z的形式是 (　 　)
A．－4π－　 B．－4π＋ C．－6π－ D．－6π＋
題5．終邊經過點(a，a)(a≠0)的角α的集合是 (　　 )
A． B． C． D．
題6．已知某中學上午第一節課的上課時間是8點，那么，當第一節課上課鈴聲響起時，時鐘的時針、分針把整個時鐘圓弧分成的劣弧所對的圓心角是 (　　 )
A． 　 B． C．　 D．
題7．(多選)下列角中與－終邊不相同的是 (　 　)
A．－　　 B． C． 　　 D．
題8．(多選)已知扇形的周長為12 cm，面積為8 cm2，則扇形圓心角的弧度數可以為 (　 　)
A．1　 B．4 C．6　 D．8
二、填空題
題9．扇形的半徑是，圓心角是60°，則該扇形的面積為________．
題10．一條鐵路在轉彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2 km，一列火車用30 km每小時的速度通過，10 s間轉過________弧度．
三、解答題
題11．已知α＝1 690°.
(1)把α寫成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式．
(2)求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π).
題12．已知扇形中60°的圓心角所對的弦長是2，求這個圓心角所對的弓形面積．
【綜合突破拔高】
題13．下列轉化結果錯誤的是 (　 　)
A．30°化成弧度是 B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是 D．化成度是288°
題14．集合中，角的終邊所在的范圍(陰影部分)是 (　 　)
題15．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦＋矢)×矢，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現有圓心角為，半徑等于20米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是 (　 　)
(參考數據：π≈3.14，≈1.73)
A．220平方米 B．246平方米 C．223平方米 D．250平方米
二、填空題
題16．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，則角A，B，C的弧度數分別為______．
題17．中國扇有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫．如圖，是書畫家唐寅的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為________．
三、解答題
題18．已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑為6，求：
(1) 的長； (2)扇形所含弓形的面積(即陰影面積).
【素養培優訓練】
題19. 把－1 485°化成α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
題20.中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設扇形的面積為S1 ，圓面中剩余部分的面積為S2，當S1與S2的比值為 時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數為 (　 　)
A．(3－)π B．(－1)π C．(＋1)π D．(－2)π
題21．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是 (　 　)
A．－　 B．－ C．　　 D．
題22．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B等于(　 　)
A． B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
題23．若＝2kπ＋(k∈Z)，則的終邊在 (　 　)
A．第一象限　 B．第四象限 C．x軸上　　 D．y軸上　
題24. (練情景)蘋果手機上的商標圖案(如圖所示)是在一個蘋果圖案中，以曲線段AB為分界線，裁去一部分圖形制作而成的．如果該分界線是一段半徑為R的圓弧，且A，B兩點間的距離為R，那么分界線的長度應為 (　 　)
A．　 B．　 C．　 D．πR
題25．(多選)若角α與角終邊相同，則在[0，2π]內終邊與終邊相同的角有 (　 　)
A． B． C． D．
題26．(多選)與角π終邊不相同的角是 (　 　)
A．π B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
題27．(多選)若角α為第二象限角，則的終邊可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空題(每小題5分，共15分)
題28．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是第______象限角．
題29．在直徑為10 cm的輪子上有一條長為6 cm的弦，P為弦的中點，輪子以每秒5弧度的角速度旋轉，則經過5 s后P轉過的弧長為________cm.
題30．在半徑為6的圓中，某扇形的弧所對的圓心角為，則該扇形的周長是________，該扇形的面積是________．
三、解答題(每小題10分，共40分)
題31．寫出下列說法所表示的角．
(1)順時針擰螺絲2圈；
(2)將時鐘撥慢2小時30分，分針轉過的角．
題32．已知扇形的圓心角是α(α>0)，半徑為R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm求扇形的弧長l.
(2)若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？
題33.如圖是一個半徑為R的扇形，它的周長為4R，求這個扇形所含弓形(陰影區域)的面積．
題34.如圖，動點P，Q從點A(4，0)出發，沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，求P，Q第一次相遇時所用的時間及P，Q點各自走過的弧長．
編號：039 課題:§7.1.2 弧度制
目標要求
1.理解弧度制的概念；
2.掌握角度制與弧度制的換算；
3.會利用弧度制表示角；
4.會利用扇形的弧長公式及面積公式解決實際問題．
重點難點
重點：弧度制表示角；
難點：扇形的弧長公式及面積公式．
學科素養目標
三角函數的基礎是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數的，因此三角函數集中地體現了形數結合的思想，在代數和幾何之間建立了初步的聯系．在本章中，充分滲透了數形結合的思想．一方面是以形助數，突出了幾何直觀對理解抽象數學概念的作用．如在三角函數及其性質的學習中，注意充分發揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認識任意角、任意角的三角函數，理解三角函數的周期性、誘導公式、同角三角函數關系式以及三角函數的圖象；通過角終邊之間的對稱關系來研究誘導公式；借助三角函數的圖象理解三角函數在一個周期上的單調性、最大和最小值、圖象與軸的交點等性質；另一方面以數助形．特別值得一提的是誘導公式的推導．首先提出問題：“由三角函數的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數值相等．
教學過程
基礎知識點
1.弧度制
(1)弧度制
①1弧度的角:長度等于___半徑長____的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
②表示方法:1弧度記作1 rad.
③角的弧度數由角的大小唯一確定,而與其為圓心角所在圓的大小(半徑)無關.
④用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制.
(2)角的弧度數的計算
在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對的圓心角為α rad,那么,|α|=___.
(3)本質:角的兩種不同的度量模式,適用情況不同,而且弧度是表示角的默認單
位.
(4)應用:角度制更容易理解和運算,與小學、初中知識更容易銜接;弧度制表示
角應用更廣泛,與實數一一對應.
【思考】
初中學習的角度制是怎樣定義的 1°角是多少
提示:定義:用度為單位來度量角的單位制;1度的角:周角的為1度角,記作1°.
2.角度制與弧度制的換算
角度化弧度 弧度化角度
360°=__2π__ rad 2π rad=___360°___
180°=__π_ rad π rad= ___180°___
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad= ≈57.30°
度數×=弧度數 弧度數×=度數
【思考】
角度制、弧度制都是角的度量制,那么它們之間換算的關鍵是什么
提示:計算時,我們要特別注意π rad=180°,用這個公式進行互化即可.
3.軸線角的弧度制表示
（1）終邊落在軸非負半軸上的角的集合表示：_____；
（2）終邊落在軸非負半軸上的角的集合表示：_____；
（3）終邊落在軸非正半軸上的角的集合表示：_____；
（4）終邊落在軸非負半軸上的角的集合表示：_____；
（5）終邊落在軸上的角的集合表示：_____；
（6）終邊落在軸上的角的集合表示：_____；
（7）終邊落在坐標軸上的角的集合表示：_____.
4.象限角的弧度制表示
（1）終邊落在第一象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（2）終邊落在第二象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（3）終邊落在第三象限的角的集合表示：
①_____,
②_____；
（4）終邊落在第四象限的角的集合表示：
①_____,
②_____.
5.扇形的弧長和面積公式
設扇形的半徑為R,弧長為l,為其圓心角,則
(1)弧長公式:l=____.
(2)扇形面積公式:S=_____=______.
【思考】
初中學過的半徑為r,圓心角為n°的扇形弧長、面積公式分別是什么
提示:半徑為r,圓心角為n°的扇形弧長公式為,扇形面積公式為.
【課前基礎演練】
題1．下列說法中，錯誤的是 (　 　)
A．半圓弧所對的圓心角是π rad B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑 D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度
【解析】選D.根據弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確，D錯誤．
題2．－320°化為弧度是 (　 　)
A．－　　 B．－　　 C．－　　 D．－
【解析】選B.－320°化為弧度是－320°×＝－.
題3．下列各對角中，終邊相同的是 (　 　)
A．和2kπ－(k∈Z) 　　 B．－和
C．－和 　　 D．和
【解析】選C.在弧度制下，終邊相同的角相差2π的整數倍．故選C.
題4．若某扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的半徑是 (　 　)
A．　　　　 B．　　　　 C．1　　　　 D．2
【解析】選D.設扇形的半徑為r，因為扇形的弧長為，圓心角為，所以由扇形的弧長公式可得：＝×r，解得r＝2.
題5．(1)化為角度是________． (2)105°的弧度數是________rad.
【解析】(1)＝°＝252°； (2)105°＝105× rad＝ rad.
答案：(1)252°　(2)
題6．某扇形的半徑為1 cm，它的周長為4 cm，那么該扇形的圓心角為________．
【解析】由題意可得扇形的弧長為4－2×1＝2(cm)，則扇形的圓心角為＝2.
答案：2
題7．用弧度表示終邊落在陰影部分內(不包括邊界)的角的集合．
【解析】330°角的終邊與－30°角的終邊相同，將－30°化為弧度，即－，而75°＝75×＝，所以終邊落在陰影部分內(不包括邊界)的角的集合為
.
【課堂檢測達標】
題8. 2 145°轉化為弧度數為 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】選D.2 145°＝2 145× rad＝ rad.
題2．下列各式不正確的是 (　 　)
A．－210°＝－ B．405°＝ C．335°＝ D．705°＝
【解析】選C.對于A，－210°＝－210×＝－，正確；
對于B，405°＝405×＝，正確；
對于C，335°＝335×＝，錯誤；
對于D，705°＝705×＝，正確．
題3．角－π的終邊所在的象限是 (　 )
A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】選D.－π＝－4π＋π，因為π的終邊在第四象限，所以－π的終邊在第四象限．
題4．把－765°化成2kπ＋α(0≤α<2π)，k∈Z的形式是 (　 　)
A．－4π－　 B．－4π＋ C．－6π－ D．－6π＋
【解析】選D.－765°＝－720°－45°＝－1 080°＋315°＝－6π＋.
題5．終邊經過點(a，a)(a≠0)的角α的集合是 (　　 )
A． B． C． D．
【解析】選D.因為角α的終邊經過點(a，a)(a≠0)，所以角α的終邊落在直線y＝x上，
所以角α的集合是.
題6．已知某中學上午第一節課的上課時間是8點，那么，當第一節課上課鈴聲響起時，時鐘的時針、分針把整個時鐘圓弧分成的劣弧所對的圓心角是 (　　 )
A． 　 B． C．　 D．
【解析】選C.8點時，時鐘的時針正好指向8，分針正好指向12，由于時鐘的每兩個數字之間的圓心角是30°，即，故此時時針、分針把整個時鐘圓弧分成的劣弧所對的圓心角是×4＝.
題7．(多選)下列角中與－終邊不相同的是 (　 　)
A．－　　 B． C． 　　 D．
【解析】選ACD.－＋2π＝，只有B選項與角－π終邊相同．
題8．(多選)已知扇形的周長為12 cm，面積為8 cm2，則扇形圓心角的弧度數可以為 (　 　)
A．1　 B．4 C．6　 D．8
【解析】選AB.設扇形的弧長為l cm，半徑為r cm，因為扇形的周長為12 cm，面積為8 cm2，
所以解得或所以α＝1或4.
二、填空題
題9．扇形的半徑是，圓心角是60°，則該扇形的面積為________．
【解析】60°＝，扇形的面積為S扇形＝αR2＝××()2＝π.
答案：π
題10．一條鐵路在轉彎處成圓弧形，圓弧的半徑為2 km，一列火車用30 km每小時的速度通過，10 s間轉過________弧度．
【解析】10 s間列車轉過的弧長為×30＝(km)，轉過的角α＝＝(弧度).
答案：
三、解答題
題11．已知α＝1 690°.
(1)把α寫成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式．
(2)求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π).
【解析】(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
(2)因為θ與α終邊相同，所以θ＝2kπ＋π(k∈Z).
又θ∈(－4π，4π)，所以－4π<2kπ＋π<4π，所以－所以k＝－2，－1，0，1.所以θ的值是－π，－π，π，π.
題12．已知扇形中60°的圓心角所對的弦長是2，求這個圓心角所對的弓形面積．
【解析】如圖所示，
扇形中60°的圓心角所對的弦長是2，所以△AOB為等邊三角形，
其面積為×2×2×sin 60°＝；又扇形的面積為×π×22＝，所以弓形面積為－.
【綜合突破拔高】
題13．下列轉化結果錯誤的是 (　 　)
A．30°化成弧度是 B．－化成度是－600°
C．67°30′化成弧度是 D．化成度是288°
【解析】選C.30°化成弧度是，A正確；－化成度是－600°，B正確；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C錯誤；化成度是288°，D正確．
題14．集合中，角的終邊所在的范圍(陰影部分)是 (　 　)
【解析】選C.當k＝2m，m∈Z時，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；
當k＝2m＋1，m∈Z時，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.
題15．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝(弦＋矢)×矢，弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現有圓心角為，半徑等于20米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積約是 (　 　)
(參考數據：π≈3.14，≈1.73)
A．220平方米 B．246平方米 C．223平方米 D．250平方米
【解析】選C.由題意可得∠AOB＝，|OA|＝20(米)，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，|OD|＝|AO|＝×20＝10(米)，
可得：矢＝20－10＝10(米)，由|AD|＝|AO|·sin＝20×＝10(米)，
可得：弦＝2|AD|＝2×10＝20(米)，
所以弧田面積＝(弦＋矢)×矢＝(20＋10)×10≈223(平方米).
二、填空題
題16．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，則角A，B，C的弧度數分別為______．
【解析】A∶B∶C＝3∶5∶7，則A占總度數的＝；B占總度數的＝；
C占總度數的＝.又三角形的內角和為π，則A為，B為，C為.
答案：，，
題17．中國扇有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫．如圖，是書畫家唐寅的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為________．
【解析】如圖，設∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由弧長公式可得：解得：r＝，
所以，S扇面＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64×－×24×＝704cm2.
答案：704 cm2
三、解答題
題18．已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑為6，求：
(1) 的長；
(2)扇形所含弓形的面積(即陰影面積).
【解析】(1)因為120°＝，所以的長l＝×6＝4π.
(2)S扇形AOB＝r＝×4π×6＝12π.
如圖所示，過點O作OD⊥AB，交AB于D點，S△OAB＝AB·OD＝×2×3×3＝9，
所以弓形的面積為S扇形AOB－S△AOB＝12π－9.
【素養培優訓練】
題19. 把－1 485°化成α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是 (　 　)
A．315°－5×360° B．45°－4×360°
C．－315°－4×360° D．－45°－10×180°
【解析】選A.因為0°≤α<360°，所以排除C，D.經計算可知A正確．
題20.中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設扇形的面積為S1 ，圓面中剩余部分的面積為S2，當S1與S2的比值為 時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數為 (　 　)
A．(3－)π B．(－1)π C．(＋1)π D．(－2)π
【解析】選A.S1與S2所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設S1與S2所在扇形圓心角分別為α，β，則＝，又α＋β＝2π，解得α＝(3－)π.
題21．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是 (　 　)
A．－　 B．－ C．　　 D．
【解析】選A.因為－＝－2π－，所以－與－是終邊相同的角，且此時＝是最小的．
題22．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，則A∩B等于(　 　)
A． B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
【解析】選D.集合A限制了角α終邊只能落在x軸上方或x軸上．而集合A中滿足集合B范圍的只有k＝0或k＝－1的一部分，即只有D選項滿足．
題23．若＝2kπ＋(k∈Z)，則的終邊在 (　 　)
A．第一象限　 B．第四象限 C．x軸上　　 D．y軸上　
【解析】選D.因為＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝6kπ＋π(k∈Z)，所以＝3kπ＋(k∈Z).
當k為奇數時，的終邊在y軸的非正半軸上；
當k為偶數時，的終邊在y軸的非負半軸上．綜上，的終邊在y軸上．
題24. (練情景)蘋果手機上的商標圖案(如圖所示)是在一個蘋果圖案中，以曲線段AB為分界線，裁去一部分圖形制作而成的．如果該分界線是一段半徑為R的圓弧，且A，B兩點間的距離為R，那么分界線的長度應為 (　 　)
A．　 B．　 C．　 D．πR
【解析】選C.設圓心為O，因為分界線是一段半徑為R的圓弧，且A，B兩點間的距離為R，
所以∠AOB＝90°，所以分界線的長度為×2πR＝.
題25．(多選)若角α與角終邊相同，則在[0，2π]內終邊與終邊相同的角有 (　 　)
A． B． C． D．
【解析】選ABCD.由題意得α＝＋2kπ(k∈Z)，＝＋(k∈Z)，又∈[0，2π]，
所以k＝0，1，2，3，此時＝，，，.
題26．(多選)與角π終邊不相同的角是 (　 　)
A．π B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z) D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
【解析】選ACD.A中，＝2π＋π，與角π終邊不同；B中，2kπ－π，k∈Z，當k＝2時，得[0，2π)上的角為π，與角π有相同的終邊；C中，2kπ－π，k∈Z，當k＝1時，得[0，2π)上的角為π，與角π終邊不同；D中，(2k＋1)π＋π，k∈Z，當k＝0時，得[0，2π)上的角為π，與角π終邊不同．
題27．(多選)若角α為第二象限角，則的終邊可能在 (　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】選ABD.因為角α為第二象限角，
所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.對k進行討論，當k＝3n，k＝3n＋1，k＝3n＋2(n∈Z)時，的取值范圍分別為(30°＋n·360°，60°＋n·360°)，(150°＋n·360°，180°＋n·360°)，(270°＋n·360°，300°＋n·360°)，n∈Z，所以的終邊落在第一或二或四象限．
二、填空題(每小題5分，共15分)
題28．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是第______象限角．
【解析】由題意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性進行討論．當k＝2n(n∈Z)時，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；當k＝2n＋1(n∈Z)時，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．
答案：一或三
題29．在直徑為10 cm的輪子上有一條長為6 cm的弦，P為弦的中點，輪子以每秒5弧度的角速度旋轉，則經過5 s后P轉過的弧長為________cm.
【解析】P到圓心O的距離OP＝＝4(cm)，又P點轉過的角的弧度數α＝5×5＝25(rad)，所以所求弧長為α·OP＝25×4＝100(cm).
答案：100
題30．在半徑為6的圓中，某扇形的弧所對的圓心角為，則該扇形的周長是________，該扇形的面積是________．
【解析】因為扇形弧長：l1＝θr＝×6＝，則周長l＝l1＋2r＝＋2×6＝＋12，
扇形面積：S＝θr2＝××62＝.
答案：　
三、解答題(每小題10分，共40分)
題31．寫出下列說法所表示的角．
(1)順時針擰螺絲2圈；
(2)將時鐘撥慢2小時30分，分針轉過的角．
【解析】
(1)順時針擰螺絲2圈，即旋轉了2×360°＝720°，順時針旋轉得到的角為負角，故轉過的角是－720°；
(2)撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉，時針撥慢2小時30分，是2.5周角，角度數是2.5×360°＝900°；又分針是逆時針旋轉，轉過的角是900°.
題32．已知扇形的圓心角是α(α>0)，半徑為R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm求扇形的弧長l.
(2)若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？
【解析】(1)α＝60°＝ rad，所以l＝α·R＝×10＝(cm).
(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以當R＝5時，S取得最大值25，此時l＝10，α＝2.
題33.如圖是一個半徑為R的扇形，它的周長為4R，求這個扇形所含弓形(陰影區域)的面積．
【解析】因為弧長l＝4R－2R＝2R，所以圓心角α＝＝2，所以S弓形＝S扇形－S三角形
＝αR2－·＝×2×R2－R2sin 1·cos 1＝R2(1－sin 1cos 1).
題34.如圖，動點P，Q從點A(4，0)出發，沿圓周運動，點P按逆時針方向每秒鐘轉弧度，點Q按順時針方向每秒鐘轉弧度，求P，Q第一次相遇時所用的時間及P，Q點各自走過的弧長．
【解析】設P，Q第一次相遇時所用的時間是t，則t·＋t·＝2π.解得t＝4.
所以第一次相遇時所用的時間是4秒．第一次相遇時點P已經運動到角·4＝的終邊與圓交點的位置，點Q已經運動到角－的終邊與圓交點的位置，所以點P走過的弧長為×4＝，
點Q走過的弧長為×4＝×4＝.
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