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數列知識點復習講義（含答案）
一．數列的概念：數列是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。
1．數列是按一定順序排列的一列數，記作簡記.
2．數列的第項與項數的關系若用一個公式給出，則這個公式叫做這個數列的通項公式。
3．數列的項為當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數值，它的圖像是一群孤立的點。
4、數列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系的公式．
5、求數列中最大最小項的方法：最大 最小 考慮數列的單調性
二、等差數列
1、定義：（1）文字表示：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．
（2）符號表示：
2、通項公式：若等差數列的首項是，公差是，則．
通項公式的變形：①；②．
通項公式特點：
是數列成等差數列的充要條件。
3、等差中項
若三個數，，組成等差數列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．即a、b、c成等差數列
4、等差數列的基本性質
（1）。
（2）
（3）
5、等差數列的前項和的公式
公式：①；②．
公式特征：，時是一個關于n且沒有常數項的二次函數形式
等差數列的前項和的性質：
①若項數為，則，且，．
②若項數為，則，且，
（其中，）．
③，，成等差數列．
6、判斷或證明一個數列是等差數列的方法：
①定義法：是等差數列
②中項法：是等差數列
③通項公式法：是等差數列
④前項和公式法：是等差數列
三、等比數列
1、定義：（1）文字表示：如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．
（2）符號表示：
2、通項公式
（1）、若等比數列的首項是，公比是，則．
（2）、通項公式的變形：①；②．
3、等比中項：在與中插入一個數，使，，成等比數列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項．注意：與的等比中項可能是。
4、等比數列性質
若是等比數列，且（、、、），則；
若是等比數列，且（、、），則．
5、等比數列的前項和的公式：
（1）公式：．
（2）公式特點：
（3）等比數列的前項和的性質：①若項數為，則．
②．③，，成等比數列（）．
6、等比數列判定方法：
①定義法：為等比數列；
②中項法：為等比數列；
③通項公式法：為等比數列；
④前項和法：為等比數列。
四、等差數列與等比數列性質的比較
等差數列 等比數列
定義 (為常數,)
遞推 公式
通項 公式 或 （）或
中項 成等差數列的充要條件： 成等比數列的充要條件：
前 項 和 ①；
重 要 性 質 ① ②等和性：若（、、、）， 則 ③若（、、），則． ④構成等差數列. ① ②等積性：若（、、、）， 則 ③若（、、），則 ④構成的數列是等比數列.
單 調 性： 設d為等差數列的公差，則 d>0是遞增數列； d<0是遞減數列； d=0是常數數列. 遞增數列； 遞減數列； q=1是常數數列； q<0是擺動數列
證 明 方 法 證明一個數列為等差數列的方法： 1.定義法　 2.中項法　 3. 通項公式法：（為常數） 4. 前n項和公式法：（A,B為常數） 證明一個數列為等比數列的方法： 1.定義法　 2.中項法　 3. 通項公式法：(A,q為不為0的常數) 4. 前n項和公式法：()
設元 技巧 三數等差： 四數等差： 三數等比： 四數等比：
五、基本題型
一、數列的概念
題型一：數列與函數的關系
例1 已知數列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數列中的數值最大的項是（ ）
A．第5項 B．第6項
C．第4項或第5項 D．第5項或第6項
解：，因為，且，最大第5項．
變式
1.數列的通項公式為 ,則數列各項中最小項是( )
A．第4項　　B．第5項　　C．第6項　　D．第7項
2.已知數列是遞增數列，其通項公式為,則實數的取值范圍是
3.已知，則在數列的最大項為__ ；
題型二：利用Sn與an的關系求通項公式
公式： 2．
例.已知數列的前項和，求其通項公式.
解析：當，
當
又不適合上式，故
變式
1.若數列的前n項和為，則（ ）
A． B． C． D．
2.已知數列的前項和，則＝
3．已知數列的，則=____。
4.數列的前項和,，則
二、等差數列
題型一 利用定義法求等差數列的通項公式
例．已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
解：因為，則，又，則，
所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，所以，所以，則．故選：D
變式
1.在數列中，，則的值為（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
2．在數列中，，.若為等差數列，則（ ）
A． B． C． D．
3．已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
題型二：等差數列的通項公式及其應用
例.在等差數列中，　則等于（ B ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
解：
變式
1.等差數列中，，，則通項　　　　 ；
2．已知{an}是首項為1，公差為3的等差數列，如果an＝2023，則序號n等于（ ）
A．667 B．668 C．669 D．675
3．在數列中，，，若，則（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
4.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是 _
題型三：等差中項及應用
例．在等差數列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，則a3＋a6＋a9的值為（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【詳解】設b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因為{an}是等差數列，所以b1，b2，b3也是等差數列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故選：A
變式
1．已知是等差數列，且是和的等差中項，則的公差為（ ）
A． B． C．1 D．2
2.在等差數列中，，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
3.數列為等差數列，與的等差中項為5，與的等差中項為7，則通項等于
題型四：等差數列性質的應用
例．在等差數列中，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為，所以公差，又因為，所以，
所以，故選：D.
變式
1．在等差數列中，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知正項等差數列，若，，則( C )
A． B． C． D．
三、等差數列的前n項和
題型一：等差數列前n項和的有關計算
例．在等差數列{an}中：
（1）已知，求；（2）已知，求n.
解：（1）由已知條件得，解得，；
（2），，.
變式
1.在等差數列中，S11＝22，則＝______；
2.數列{}是等差數列，，則________
3．在等差數列中，若，則=
4.在等差數列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數列前11項和S11＝(　　)
A．58　　　B．88　　　C．143　　　D．176
5．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6.已知數列是等差數列，，其前10項的和，則其公差等于( )
7.等差數列項的和等于（ ）
A． B． C． D．
8.數列的通項an =2n＋1，則由(n∈N*)，所確定的數列的前項和是__________
9.設為等差數列的前n項和，＝14，S10－＝30，則S9＝　　　　.
10.在等差數列中, 求的值。
11.數列中，……，那么
12．設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn＝324(n＞6)，則a9＋a10＝_
題型二：等差數列片段和的性質
例．記等差數列的前項和為，已知，，則（ C ）
A． B． C． D．
【詳解】因為是等差數列的前項，由等差數列前項和的性質可知：
，，成等差數列，所以，即，解得：，故選：C.
變式
1．設等差數列的前n項和為，若，，則（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
2.等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。
3．設等差數列的前項和為，若，，則（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
題型三：等差數列前n項和與n的比值問題
例．在等差數列中，，其前n項和為，若，則（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
解：設等差數列的前項和為，則，
所以是等差數列．因為，
所以的公差為，又，
所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以，所以故選：C
變式
1．在等差數列中，，其前項和為，若，則（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
2．已知數列的通項公式是，前項和為，則數列的前11項和為
A． B． C． D．
3．設是等差數列的前項和，若（ ）
A．　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．
題型四：兩個等差數列前n項和的比值問題
例．已知等差數列與等差數列的前項和分別為和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為，則．故選：C．
變式
1．已知等差數列和的前項和分別為和，且有，，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
2．已知數列、都是等差數列，設的前項和為，的前項和為.若，則（ ）
A． B． C． D．
3.設{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和為和，若，那么
題型五：等差數列前n項和的最值問題（二次函數、不等式）
例．設是等差數列的前項和，且，則下列結論正確的有（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為等差數列的前項和，
所以由可知，，拋物線開口向下，其對稱軸在之間，
所以拋物線與軸正半軸交點的橫坐標范圍是，
結合二次函數的圖象和性質可知；；；.故選：A
變式
1．已知{an}為等差數列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
2．已知等差數列滿足，是數列的前n項和，則使取最大值的自然數n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．在等差數列{}中，=-10，=2，要使前n項和取得最小值，則n等于（ ）
A、5 B、6 C、7 D、5或6
4.等差數列中，，，問此數列前 項和最大？并求此最大值 。
5.在等差數列中，，且，是其前項和，則
A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0　　
B、都小于0，都大于0　D、都小于0，都大于0
題型六：等差數列前n項和偶數項和奇數項和與絕對值問題
例．已知數列的前項和為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】數列的前項和為，若，，
可得：，，，所以不正確；
可得，可知數列奇數項與偶數項都是等差數列，公差都是1，
，所以正確；
，所以不正確；
，所以不正確；故選：B．
變式
1．已知等差數列的公差為4，項數為偶數，所有奇數項的和為15，所有偶數項的和為55，則這個數列的項數為
A．10 B．20 C．30 D．40
2．已知數列的前n項和，則的值為( )
A．68 B．67 C．65 D．56
3．已知數列的前n項和，求的值
四、等比數列
題型一：等比數列中的基本運算
例．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a4－a1＝78，S3＝39，設bn＝log3an，那么數列{bn}的前10項和為（ ）
A．log371 B． C．50 D．55
解：設等比數列{an}的公比為q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，
所以數列{bn}的前10項和為.故選：D.
變式
1．若數列是等比數列，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
3.在等比數列中，，則數列的通項公式為( )
A． B． C． D．
4.在等比數列中，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
5.數列中，若，則通項=
題型二：等比中項的應用
例．已知數列是等差數列，，其中公差，若 是和的等比中項，則（ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
解：數列是等差數列，，其中公差， 是和的等比中項，
，化為，．所以，則．選：C．
變式
1.已知各項均為正數的等比數列中，，則等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．已知等差數列的公差，且，，成等比數列，則( )
A． B． C． D．
3.公差不為零的等差數列的前項和為.若是的等比中項, ,則＝
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
題型三：等比數列的證明
例．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
（1）證明：{an－1}是等比數列；（2）求數列{an}的通項公式.
解：（1）證明　∵Sn＝n－5an－85，∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
兩式相減得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，
∴an＋1－1＝ (an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，
∴數列{an－1}是以－15為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.
變式
1．已知是數列的前項和，且
（Ⅰ）求的值，若，試證明數列為等比數列；（Ⅱ）求數列的通項公式.
題型四：等比數列的性質及其應用
例．等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．10 B．5 C．4 D．
解：因為，，所以，所以故選：B
變式
1.在等比數列中，若，則此數列的前10項之積等于（ ）
2.各項均為正數的等比數列中，若，則 。
3.在等比數列中，為其前n項和，若，則的值為
4.若是等比數列，且，則＝
5.設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為
題型五：等比數列的函數特征（單調性和最值）
例．已知數列是首項不為零的等比數列，且公比大于0，那么“”是“數列是遞增數列”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【詳解】因為等比數列的通項公式為，
當，時，數列為遞減數列，即充分性不成立；
當“數列是遞增數列”時，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“數列是遞增數列”的既不充分也不必要條件，故選：D.
變式
1．已知為等比數列，，，以表示的前項積，則使得達到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知公比的等比數列的前項和為，則下列結論一定成立的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
五、等比數列n項和
題型一：等比數列前n項和公式的基本運算
例．已知等比數列的前6項和為，公比為，則（ ）
A． B． C． D．24
解：根據題意，等比數列的前6項和為，公比為，
則有，解可得，則；故選：B．
變式
1． 設正項等比數列的前n項和為，若，，則公比q等于（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.設等比數列的公比， 前n項和為，則（ ）
A. 2 　　　B. 4 　C. 　　D.
3.設等比數列前項和為，若，求數列的公比
4.
題型二：等比數列的判斷和性質的應用
例．設等比數列前n項和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝（ ）
A．32 B．64 C．72 D．216
【詳解】
由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比數列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比為2，
所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故選：B．
變式
1．已知數列是等比數列，為其前n項和，若，，則（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
2．設是等比數列的前項和，若，則（ ）
A． B． C． D．
3.已知數列是等比數列，且
4.在等比數列中，，公比q是整數，則=___ ；
5．在等比數列中, 若是方程的兩根，則=_________.
題型三：等比數列奇偶項和的性質
例．已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【詳解】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為
則，
又，則，解得，故的所有項之和是.故選：D
變式
1．已知等比數列中，，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為85，偶數項之和為170，則這個數列的公比和項數分別為（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
數列知識點復習講義－教師版
一．數列的概念：數列是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。
1．數列是按一定順序排列的一列數，記作簡記.
2．數列的第項與項數的關系若用一個公式給出，則這個公式叫做這個數列的通項公式。
3．數列的項為當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數值，它的圖像是一群孤立的點。
4、數列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系的公式．
5、求數列中最大最小項的方法：最大 最小 考慮數列的單調性
二、等差數列
1、定義：（1）文字表示：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．
（2）符號表示：
2、通項公式：若等差數列的首項是，公差是，則．
通項公式的變形：①；②．
通項公式特點：
是數列成等差數列的充要條件。
3、等差中項
若三個數，，組成等差數列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．即a、b、c成等差數列
4、等差數列的基本性質
（1）。
（2）
（3）
5、等差數列的前項和的公式
公式：①；②．
公式特征：，時是一個關于n且沒有常數項的二次函數形式
等差數列的前項和的性質：
①若項數為，則，且，．
②若項數為，則，且，
（其中，）．
③，，成等差數列．
6、判斷或證明一個數列是等差數列的方法：
①定義法：是等差數列
②中項法：是等差數列
③通項公式法：是等差數列
④前項和公式法：是等差數列
三、等比數列
1、定義：（1）文字表示：如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．
（2）符號表示：
2、通項公式
（1）、若等比數列的首項是，公比是，則．
（2）、通項公式的變形：①；②．
3、等比中項：在與中插入一個數，使，，成等比數列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項．注意：與的等比中項可能是。
4、等比數列性質
若是等比數列，且（、、、），則；
若是等比數列，且（、、），則．
5、等比數列的前項和的公式：
（1）公式：．
（2）公式特點：
（3）等比數列的前項和的性質：①若項數為，則．
②．③，，成等比數列（）．
6、等比數列判定方法：
①定義法：為等比數列；
②中項法：為等比數列；
③通項公式法：為等比數列；
④前項和法：為等比數列。
四、等差數列與等比數列性質的比較
等差數列 等比數列
定義 (為常數,)
遞推 公式
通項 公式 或 （）或
中項 成等差數列的充要條件： 成等比數列的充要條件：
前 項 和 ①； ②
重 要 性 質 ① ②等和性：若（、、、）， 則 ③若（、、），則． ④構成的數列是等差數列. ① ②等積性：若（、、、）， 則 ③若（、、），則 ④構成的數列是等比數列.
單 調 性： 設d為等差數列的公差，則 d>0是遞增數列； d<0是遞減數列； d=0是常數數列. 遞增數列； 遞減數列； q=1是常數數列； q<0是擺動數列
證 明 方 法 證明一個數列為等差數列的方法： 1.定義法　 2.中項法　 3. 通項公式法：（為常數） 4. 前n項和公式法：（A,B為常數） 證明一個數列為等比數列的方法： 1.定義法　 2.中項法　 3. 通項公式法：(A,q為不為0的常數) 4. 前n項和公式法：()
設元 技巧 三數等差： 四數等差： 三數等比： 四數等比：
五、基本題型
一、數列的概念
題型一：數列與函數的關系
例1 已知數列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數列中的數值最大的項是（ ）
A．第5項 B．第6項
C．第4項或第5項 D．第5項或第6項
解：，因為，且，最大項為第5項．
變式
1.數列的通項公式為 ,則數列各項中最小項是( B )
A．第4項　　B．第5項　　C．第6項　　D．第7項
2.已知數列是遞增數列，其通項公式為,則實數的取值范圍是
3.已知，則在數列的最大項為__（答：）；
題型二：利用Sn與an的關系求通項公式
公式： 2．
例.已知數列的前項和，求其通項公式.
解析：當，
當
又不適合上式，故
變式
1.若數列的前n項和為，則（ A ）
A． B． C． D．
2.已知數列的前項和，則＝
3．已知數列的，則=____100__。
4.數列的前項和,，則
二、等差數列
題型一 利用定義法求等差數列的通項公式
例．已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
解：因為，則，又，則，
所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，所以，所以，則．故選：D
變式
1.在數列中，，則的值為（D ）
A．49 B．50 C．51 D．52
2．在數列中，，.若為等差數列，則（ A ）
A． B． C． D．
3．已知數列滿足，，則（ D ）
A． B． C． D．
題型二：等差數列的通項公式及其應用
例.在等差數列中，　則等于（ B ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
解：
變式
1.等差數列中，，，則通項　　　　（答：）；
2．已知{an}是首項為1，公差為3的等差數列，如果an＝2023，則序號n等于（ D ）
A．667 B．668 C．669 D．675
3．在數列中，，，若，則（ D ）
A．671 B．672 C．673 D．674
4.首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是_（答：）
題型三：等差中項及應用
例．在等差數列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，則a3＋a6＋a9的值為（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【詳解】設b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因為{an}是等差數列，所以b1，b2，b3也是等差數列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.故選：A
變式
1．已知是等差數列，且是和的等差中項，則的公差為（ ）
A． B． C．1 D．2
【詳解】設等差數列的公差為.由已知條件，得
即，解得.故選：A
2．（ 在等差數列中，，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【詳解】由題意，數列為等差數列，結合等差數列的性質得，，
則，所以.故選：B.
3.數列為等差數列，與的等差中項為5，與的等差中項為7，則通項等于
題型四：等差數列性質的應用
例．在等差數列中，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為，所以公差，又因為，所以，
所以，故選：D.
變式
1．在等差數列中，，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】解：設數列的公差為，則
，所以，所以.故選：C.
2．已知正項等差數列，若，，則( C )
A． B． C． D．
【詳解】在等差數列中，依題意，，故，解得，，故和是的兩根，解得，，，因為為正項等差數列，故公差，從而，，則，即，所以.故選：.
三、等差數列的前n項和
題型一：等差數列前n項和的有關計算
例．在等差數列{an}中：
（1）已知，求；
（2）已知，求n.
解：（1）由已知條件得，解得，
；
（2），
，.
變式
1.在等差數列中，S11＝22，則＝______（答：2）；
2.數列{}是等差數列，，則_____49____
3．在等差數列中，若，則= 46
4.在等差數列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數列前11項和S11＝(　B　)
A．58　　　B．88　　　C．143　　　D．176
5．記為等差數列的前項和．若，，則的公差為（ C ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6.已知數列是等差數列，，其前10項的和，則其公差等于( D )
7.等差數列項的和等于（ B ）
A． B． C． D．
8.數列的通項an =2n＋1，則由(n∈N*)，所確定的數列的前項和是__________
9.設為等差數列的前n項和，＝14，S10－＝30，則S9＝　　　　.
解：設等差數列的首項為a1，公差為d，由題意得
，聯立解得a1=2,d=1，所以S9＝
10.在等差數列中, 求的值。 31.5
11.數列中，……，那么505
12．設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知前6項和為36，最后6項的和為180，Sn＝324(n＞6)，則a9＋a10＝__36
題型二：等差數列片段和的性質
例．記等差數列的前項和為，已知，，則（ C ）
A． B． C． D．
【詳解】因為是等差數列的前項，由等差數列前項和的性質可知：
，，成等差數列，所以，即，解得：，故選：C.
變式
1．設等差數列的前n項和為，若，，則（ B ）
A．28 B．32 C．16 D．24
2.等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。（答：225）
3．設等差數列的前項和為，若，，則（ B ）
A．63 B．45 C．36 D．27
題型三：等差數列前n項和與n的比值問題
例．在等差數列中，，其前n項和為，若，則（ ）
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
解：設等差數列的前項和為，則，
所以是等差數列．因為，
所以的公差為，又，
所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以，所以故選：C
變式
1．在等差數列中，，其前項和為，若，則（ ）
A．0 B．2018 C． D．2020
【詳解】設的公差為d，由等差數列的性質可得為等差數列，的公差為.，，解得.則.故選：D.
2．已知數列的通項公式是，前項和為，則數列的前11項和為
A． B． C． D．
【詳解】由題意知數列為等差數列，∴．∴，
∴數列的前11項和為．選D．
3．設是等差數列的前項和，若（ A ）
A．　 Ｂ．　 Ｃ．　 Ｄ．
解：
題型四：兩個等差數列前n項和的比值問題
例．已知等差數列與等差數列的前項和分別為和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為，則．故選：C．
變式
1．已知等差數列和的前項和分別為和，且有，，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．3
【詳解】因為為等差數列，故，即，同理可得：，所以.故選：B．
2．已知數列、都是等差數列，設的前項和為，的前項和為.若，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】∵，∴，故選：A
3.設{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那么（答：）
題型五：等差數列前n項和的最值問題（二次函數、不等式）
例．設是等差數列的前項和，且，則下列結論正確的有（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為等差數列的前項和，
所以由可知，，拋物線開口向下，其對稱軸在之間，
所以拋物線與軸正半軸交點的橫坐標范圍是，
結合二次函數的圖象和性質可知；；；.故選：A
變式
1．已知{an}為等差數列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【詳解】∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d，∴99－105＝3d.∴d＝－2.
又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.
∴當n＝20時，Sn有最大值．故選：B.
2．已知等差數列滿足，是數列的前n項和，則使取最大值的自然數n是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【詳解】設等差數列的公差為d，依題意，，解得：，
于是得，由得，，
因此，數列是遞減等差數列，其前5項均為正，從第6項開始為負，則其前5項和最大，
所以使取最大值的自然數n是5.故選：B
3．在等差數列{}中，=-10，=2，要使前n項和取得最小值，則n等于（ D ）
A、5 B、6 C、7 D、5或6
4.等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；
5.在等差數列中，，且，是其前項和，則
A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0　　
B、都小于0，都大于0　D、都小于0，都大于0
（答：B）
題型六：等差數列前n項和偶數項和奇數項和與絕對值問題
例．已知數列的前項和為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】數列的前項和為，若，，
可得：，，，所以不正確；
可得，可知數列奇數項與偶數項都是等差數列，公差都是1，
，所以正確；
，所以不正確；
，所以不正確；故選：B．
變式
1．已知等差數列的公差為4，項數為偶數，所有奇數項的和為15，所有偶數項的和為55，則這個數列的項數為
A．10 B．20 C．30 D．40
【詳解】設等差數列的公差為，項數為，前項和為，則，即這個數列的項數為20，故選擇B.
2．已知數列的前n項和，則的值為( )
A．68 B．67 C．65 D．56
【詳解】當時，；
當時，符合上式，所以，
所以．故選：A.
3．已知數列的前n項和，求的值
四、等比數列
題型一：等比數列中的基本運算
例．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a4－a1＝78，S3＝39，設bn＝log3an，那么數列{bn}的前10項和為（ ）
A．log371 B． C．50 D．55
解：設等比數列{an}的公比為q，由a4－a1＝78得a1(q3－1)＝78，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝39，解得a1＝q＝3，故an＝3n，所以bn＝log33n＝n，
所以數列{bn}的前10項和為.故選：D.
變式
1．若數列是等比數列，，，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】設數列的公比為，則.所以，.選：C.
2．已知等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】設數列的公比為，因為，所以，
即，解得，所以.故選：B.
3.在等比數列中，，則數列的通項公式為( A )
A． B． C． D．
4.在等比數列中，，，則的值為（ C ）
A． B． C． D．
5.數列中，若，則通項=
題型二：等比中項的應用
例．已知數列是等差數列，，其中公差，若 是和的等比中項，則（ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
解：數列是等差數列，，其中公差， 是和的等比中項，
，化為，．所以，則．選：C．
變式
1.已知各項均為正數的等比數列中，，則等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【詳解】解：由等比數列的性質可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，
又等比數列各項均為正數，∴a3＋a5＝5，選項A正確
2．已知等差數列的公差，且，，成等比數列，則( )
A． B． C． D．
由題意可知，得，解得或，
因為，故，所以.故選：A.
3.公差不為零的等差數列的前項和為.若是的等比中項, ,則＝
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C
題型三：等比數列的證明
例．已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*.
（1）證明：{an－1}是等比數列；（2）求數列{an}的通項公式.
解：（1）證明　∵Sn＝n－5an－85，
∴Sn＋1＝(n＋1)－5an＋1－85，
兩式相減得：an＋1＝1＋5an－5an＋1，整理得：an＋1＝an＋，
∴an＋1－1＝ (an－1)，又∵a1＝1－5a1－85，即a1＝－14，∴a1－1＝－14－1＝－15，
∴數列{an－1}是以－15為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）可知an－1＝－15×，∴an＝1－15×.
變式
1．已知是數列的前項和，且
（Ⅰ）求的值，若，試證明數列為等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式.
【詳解】（Ⅰ）因為Sn＝2an＋n－4，所以當n＝1時，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3.
因為Sn＝2an＋n－4，所以當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，且b1＝a1－1＝2≠0，
所以數列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知數列{bn}是以b1＝2為首項，2為公比的等比數列，
所以，，．
題型四：等比數列的性質及其應用
例．等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．10 B．5 C．4 D．
解：因為，，所以，所以故選：B
變式
1.在等比數列中，若，則此數列的前10項之積等于（ C ）
2.各項均為正數的等比數列中，若，則 （答：10）。
3.在等比數列中，為其前n項和，若，則的值為（答：40）
4.若是等比數列，且，則＝ （答：－1）
5.設等比數列的公比為，前項和為，若成等差數列，則的值為（－2）
題型五：等比數列的函數特征（單調性和最值）
例．已知數列是首項不為零的等比數列，且公比大于0，那么“”是“數列是遞增數列”的（ ）
A．充要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【詳解】因為等比數列的通項公式為，
當，時，數列為遞減數列，即充分性不成立；
當“數列是遞增數列”時，可能是，，即必要性不成立；
即“”是“數列是遞增數列”的既不充分也不必要條件，故選：D.
變式
1．已知為等比數列，，，以表示的前項積，則使得達到最大值的是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【詳解】
為等比數列，，，
，，，，．
故是一個減數列，前4項都大于1，從第五項開始小于1，
以表示的前項積，則使得達到最大值的是4，故選：．
2．已知公比的等比數列的前項和為，則下列結論一定成立的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【詳解】
若，，當時，，故A錯誤；
若，則，，當時，，故B錯誤；
若，則成立，故C正確；
若，，當時，，故D錯誤；故選：C.
五、等比數列n項和
題型一：等比數列前n項和公式的基本運算
例．已知等比數列的前6項和為，公比為，則（ ）
A． B． C． D．24
解：根據題意，等比數列的前6項和為，公比為，
則有，解可得，則；故選：B．
變式
1． 設正項等比數列的前n項和為，若，，則公比q等于（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由題意，正項等比數列中，
因為，，
所以，解得．
因為，所以．
故選：B
2.設等比數列的公比， 前n項和為，則（ ）
A. 2 　　　B. 4 　C. 　　D.
3.設等比數列前項和為，若，求數列的公比
解：顯然，若則而與矛盾
由
而，∴
4.
題型二：等比數列的判斷和性質的應用
例．設等比數列前n項和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝（ ）
A．32 B．64 C．72 D．216
【詳解】
由于S3、S6－S3、S9－S6，S12－S9成等比數列，S3＝8，S6－S3＝16，故其比為2，
所以S9－S6＝32，a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64．故選：B．
變式
1．已知數列是等比數列，為其前n項和，若，，則（ ）
A．40 B．60 C．32 D．50
詳解】由等比數列的性質可知，數列是等比數列，即數列4，8，是等比數列，因此．故選:B.
2．設是等比數列的前項和，若，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】設，由數列為等比數列(易知數列的公比)，得
為等比數列又故選：．
3.已知數列是等比數列，且70
4.在等比數列中，，公比q是整數，則=___（答：512）；
5．在等比數列中, 若是方程的兩根，則=_____-2______.
題型三：等比數列奇偶項和的性質
例．已知等比數列共有32項，其公比，且奇數項之和比偶數項之和少60，則數列的所有項之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【詳解】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為
則，
又，則，解得，故的所有項之和是.故選：D
變式
1．已知等比數列中，，，，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【詳解】設等比數列的公比為，則，
即，因為，所以，
則，即，解得，故選：B.
2．已知一個等比數列首項為1，項數是偶數，其奇數項之和為85，偶數項之和為170，則這個數列的公比和項數分別為（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
解：設等比數列項數為2n項，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，
根據題意得：S奇＝85，S偶＝170，∴q2，又a1＝1，
∴S奇85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，解得：n＝4，
則這個等比數列的項數為8．故選D．
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