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《數列》全章復習與鞏固
【知識網絡】
【要點梳理】
知識點一：等差數列
1. 判定一個數列為等差數列的常用方法
①定義法：（常數）是等差數列；
②中項公式法：是等差數列；
③通項公式法：（p，q為常數）是等差數列；
④前項和公式法：（為常數）是等差數列.
2. 等差數列的通項公式及前項和
通項公式：
要點詮釋：
① 該公式可改寫為：
當＝0時，是關于的常函數；當d≠0時，是關于的一次函數；點()分布在以為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的點．
②通項公式的推廣：
前n項和公式：
要點詮釋：
① 該公式可改寫為：
當＝0時，是關于的正比例函數；當d≠0時，是關于的二次函數（無常數項）．
3. 等差數列有關性質
（1）若，則；
特別地，若，則；
（2）若成等差數列，則；
4. 等差數列前項和的最值問題：
等差數列中
若＞0，＜0，有最大值，可由不等式組來確定；
若＜0，＞0，有最小值，可由不等式組來確定，
可由前項和公式來確定.
1．等差數列中，，，，則等于( )
A．48 B．49
C．50 D．51
2. 已知等差數列的公差為，且，若，則等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
3. 若等差數列的前5項和，且，則＝(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
4.(2017·全國3·理T9)等差數列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數列,則{an}前6項的和為( )
A.-24 B.-3 C.3 D.8
5.(2019·全國1·理T9)記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則(　　)
A.an=2n-5 B.an=3n-10
C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n
6.(2018·全國1·理T4)記Sn為等差數列{an}的前n項和,若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=(　　)
A.-12 B.-10 C.10 D.12
7.(2015·全國2·文T5)設Sn是等差數列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5=(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
8.(2015·全國1·文T7)已知{an}是公差為1的等差數列,Sn為{an}的前n項和.若S8=4S4,則a10= (　　)
A. B. C.10 D.12
9.(2014·全國2·文T5)等差數列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數列,則{an}的前n項和Sn=(　　)
A.n(n+1) B.n(n-1)
C. D.
10.(2019·全國3·文T14)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a3=5,a7=13,則S10=　　.
11.(2019·全國3·理T14)記Sn為等差數列{an}的前n項和.若a1≠0,a2=3a1,則=　　.
12.(2019·江蘇·T8)已知數列{an}(n∈N*)是等差數列,Sn是其前n項和.若a2a5+a8=0,S9=27,則S8的值是　　.
13.(2019·北京·理T10)設等差數列{an}的前n項和為Sn.若a2=-3,S5=-10,則a5=　　,Sn的最小值為　　.
14.(2018·北京·理T9)設{an}是等差數列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項公式為　　.
15.(2017·全國2·理T15)等差數列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=____________.
16.(2016·北京·理T12)已知{an}為等差數列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=　　.
17.(2015·湖南·理T14)設Sn為等比數列{an}的前n項和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數列,則an=　　.
18.(2015·廣東·理T10)在等差數列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=　　.
19.(2014·安徽·理T12)數列{an}是等差數列,若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數列,則q=　　.
20.(2013·全國2·理T16)等差數列{an}的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為　　.
21.已知an為等差數列，且a4+a8+a10=50，a2+2a10=________.
22.(2019·全國2·文T18)已知{an}是各項均為正數的等比數列,a1=2,a3=2a2+16.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=log2an.求數列{bn}的前n項和.
知識點二 ：等比數列
1. 判定一個數列是等比數列的常用方法
（1）定義法：（是不為0的常數，∈N*）是等比數列；
（2）通項公式法：（c、q均是不為0的常數∈N*）是等比數列；
（3）中項公式法：（，）是等比數列.
2. 等比數列的通項公式及前項和
通項公式：
要點詮釋：
① 該公式可改寫為：
時，是關于的指數型函數； 時，是常數函數；
② 推廣：.
前項和公式：
3. 等比數列的主要性質：
（1）若，則；
特別，若，則；
（2）等比數列中，若成等差數列，則成等比數列；
1.(2018·北京·理T4文T5)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例,為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份,依次得到十三個單音,從第二個單音起,每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音的頻率為(　　)
A.f B.f C.f D.f
2.(2015·全國2·理T4)已知等比數列{an}滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a7=(　　)
A.21 B.42 C.63 D.84
3.(2015·全國2·文T9)已知等比數列{an}滿足a1=,a3a5=4(a4-1),則a2=(　　)
A.2 B.1 C. D.
4.(2014·大綱全國·文T8)設等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=(　　)
A.31 B.32 C.63 D.64
5.(2013·全國2·理T3)等比數列{an}的前n項和為Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　)
A. B.- C. D.-
6.(2013·全國1·文T6)設首項為1,公比為的等比數列{an}的前n項和為Sn,則(　　)
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
7.(2012·全國·理T5)已知{an}為等比數列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=(　　)
A.7 B .5 C.-5 D.-7
8.(2019·全國1·文T14)記Sn為等比數列{an}的前n項和.若a1=1,S3=,則S4= 　.
9.(2019·全國1·理T14)記Sn為等比數列{an}的前n項和.若a1==a6,則S5=________.
10.(2017·全國3·理T14)設等比數列{an}滿足a1+a2=-1,a1-a3=-3,則a4=　　.
11.(2017·江蘇·理T9文T9)等比數列{an}的各項均為實數,其前n項和為Sn.已知S3=,S6=,則a8=.
12.(2016·全國1·理T15)設等比數列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為　　.
13.(2015·湖南·理T14)設Sn為等比數列{an}的前n項和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數列,則an=　　.
14.(2012·全國·文T14)等比數列{an}的前n項和為Sn,若S3+3S2=0,則公比q=　　.
15.(2018·全國3·理T17文T17)等比數列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記Sn為{an}的前n項和,若Sm=63,求m.
知識點三：常見的數列通項公式求法
1. 已知數列的前幾項：
已知數列的前幾項，通過觀察法，歸納分析出數列的通項公式.
2. 已知等差數列或等比數列：
通過公式法求通項公式.
類型 通項公式
等差數列
等比數列
3、通項與前項和的關系：
任意數列的前項和；
要點詮釋：
由前項和求數列通項時，要分三步進行：
（1）求，
（2）求出當≥2時的，
（3）如果令≥2時得出的中的=1時有成立，則最后的通項公式可以統一寫成一個形式，否則就只能寫成分段的形式。
4. 已知數列的遞推關系式：
①形如，該數列為等差數列，利用公式法求數列的通項公式；
②形如，該數列為等比數列，利用公式法求數列的通項公式.
③形如，構造公比為的等比數列，利用公式法求解；
④形如，通過累加法（迭加法）求數列的通項；
⑤形如，通過累乘法（迭乘法）求數列的通項.
⑥形如，兩邊取倒數，構造公差為的等差數列，利用公式法求通項.
5. 已知，求：
利用作商法，即求數列的通項公式.
1.(2012·全國·文T12)數列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前60項和為(　　)
A.3690 B.3660 C.1845 D.1830
2.已知數列{ }滿足 +1+2 =1， 3=1，則 8=( )
A.-32 B.-8 C.8 D.32
3.已知數列an的前n項和,則a5( ).
A. B. C. D.
4.(2018·全國1·理T14)記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=　　.
5.(2016·浙江·理T13文T13)設數列{an}的前n項和為Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=　　,S5=　　.
6.(2015·全國1·文T13)在數列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項和.若Sn=126,則n=　　.
7.(2015·江蘇·理T11)設數列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*).則數列前10項的和為____________.
8.(2015·全國2·理T16)設Sn是數列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=　　.
9.(2014·全國2·文T16)數列{an}滿足an+1=,a8=2,則a1=____________.
10.(2013·全國1·理T14)若數列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式是an=　　.
11.已知數列{ }的前n項和 = ( +1)，則 10=________.
12.(2018·全國1·文T17)已知數列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an.設bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判斷數列{bn}是否為等比數列,并說明理由;
(3)求{an}的通項公式.
13.(2017·全國3·文T17)設數列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數列的前n項和.
14.(2016·浙江·文T17)設數列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通項公式an;
(2)求數列{|an-n-2|}的前n項和.
15.(2016·全國3·理T17)已知數列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數列,并求其通項公式;
(2)若S5=,求λ.
16.(2015·全國1·理T17)Sn為數列{an}的前n項和.已知an>0,+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=,求數列{bn}的前n項和.
17.(2014·全國2·理T17)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
(1)證明:是等比數列,并求{an}的通項公式;
(2)證明:+…+.
知識點四：常見的數列求和方法
1. 公式法：
如果一個數列是等差數列或者等比數列，直接用其前項和公式求和。
2. 分組求和法：
將通項拆開成等差數列和等比數列相加或相減的形式，然后分別對等差數列和等比數列求和.如：.
3. 裂項法：
把數列的通項拆成兩項之差，正負相消，剩下首尾若干項的方法.一般通項的分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式.
若，分子為非零常數，分母為非常數列的等差數列的兩項積的形式,
則，如an=
4. 錯位相減法：
通項為非常數列的等差數列與等比數列的對應項的積的形式：, 其中 是公差≠0等差數列，是公比≠1等比數列，如.
一般步驟：
，則
所以有
1.(2018·全國2·理T17文T17)記Sn為等差數列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
2.(2018·全國3·理T17文T17)等比數列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)記Sn為{an}的前n項和,若Sm=63,求m.
3.(2016·全國3·理T17)已知數列{an}的前n項和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)證明{an}是等比數列,并求其通項公式;
(2)若S5=,求λ.
4、已知{an}是各項均為正數的等比數列，a1=2，a3=2a2+16
（1）求{an}的通項公式；
（2）設bn=log2an，求數列bn的前n項和。
考法一 錯位相減法求和
歸納總結
(1)如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．
(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．同時要注意等比數列的項數是多少．
1、 設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．
（1）求的公比；
（2）若，求數列的前項和
2、設數列{an}滿足a1=3，．
（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；
（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．
3、 已知等比數列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn為數列{an}的前n項和．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝an·log3(Sn＋1)，求數列{bn}的前n項和Tn.
4、已知數列{an}的各項均為正數，且a－2nan－(2n＋1)＝0，n∈N*.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若bn＝2n·an，求數列{bn}的前n項和Tn.
5、已知數列{an}滿足a1＝，an＋1＝.
(1)證明數列是等差數列，并求{an}的通項公式；
(2)若數列{bn}滿足bn＝，求數列{bn}的前n項和Sn.
考法二　裂項相消法求和
歸納總結　　
常見的裂項方法
數列(n∈N*) 裂項方法(n∈N*)
(k為非零常數) ＝
＝
＝(－)
其中a＞0，且a≠1 loga＝loga(n＋1)－logan
＝－
【例3】 (2017·全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)·an＝2n.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
2、(2015·全國1·理T17)Sn為數列{an}的前n項和.已知an>0, an2+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=,求數列{bn}的前n項和.
考法三分組法求和
歸納總結：分組法求和的常見類型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組法求{an}的前n項和．
(2)通項公式為an＝的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比或等差數列，可采用分組法求和．
1、已知等差數列{an}滿足a5＝9，a2＋a6＝14.
(1)求{an}的通項公式；
(2)若bn＝an＋qan(q＞0)，求數列{bn}的前n項和Sn.
2、設數列{an}的前n項和為Sn。已知S2=4，an+1=2Sn+1.
（1）求通項公式an
（2）求數列的前n項和
3、在等差數列{an}中，a2=4，a4+a7=15。
（1）求數列an的通項公式、
（2）設+n，求b1+b2+b3+……+b10的值
數列的通項
通項公式
等差中項
前n項和公式
等差數列
性質
通項公式
等比中項
前n項和公式
等比數列
性質
數列
數列前n項和
數列的遞推公式
應
用
2

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