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彌勒市2021-2022學年高二上學期12月第四次月考
數學參考答案
一 選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D D A C D C B C B C
二 填空題
題號 13 14 15 16
答案 40
三 解答題
17．（1） （2）
解析：（1）由及正弦定理得
.
因為，
所以.
由于，，所以.
又，故. ……………………………5分
（2）由題得的面積，故①.
而，且，故②，
由①②得. ……………………………10分
18．（1）0.0044，175 （2）234 （3）
解析：（1）解：，
解得 ，居民月用電量的眾數為； ………………………4分
（2）在內的居民數為，
第一檔用電標準的度數在內，設第一檔用電標準的度數為，則，解得； ……………………………8分
（3）在內的居民數為：，
在內的居民數為，
從兩組中抽取5戶居民作為節能代表，則從抽取戶，記為A，B，
從 抽取戶，記為a，b，c，
從中隨機選取2戶的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10種，其中這2戶來自不同組的有：Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc共6種，
所以這2戶來自不同組的概率為. ……………………………12分
19. （1）如圖，取PD中點F，連接EF，FC﹒
∵E是AP中點，∴EF∥AD，且EF=AD
由題知BC∥AD，且BC=AD
∴BC∥EF，且BC=EF
∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，
又CF平面PCD，BE平面PCD，
∴BE∥平面PCD； ……………………………6分
（2）取AD中點為O，連接OP，OB，
∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴OP⊥AD，
又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，
∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，
由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，
∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O為原點，OB、OD、OP
分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖：
設|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E，P，
則，
設平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為
則，取，，取
設二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒ ……………12分
20. 解析：（1）當時，
當時，；
顯然在時同樣成立，綜上：
……………………………6分
（2）易知數列為等差數列，，，
得證.……12分
21．（1）因為是定義在R上的奇函數，則，即，
可得
，解得；在R上是遞減函數．………………………5分
（2），，
因為是R上的奇函數，，
是R上的遞減函數，，
對任意的恒成立，
設，且，即．
，，，
（當且僅當即時等號成立），
．所以實數t的取值為 ……………………………12分
22．（1）因為橢圓：的短軸長為，離心率為，
所以有且，而，解得，
因此橢圓的標準方程為：； ……………………………4分
（2）設，由題意可知，設橢圓左頂點的坐標為：，
因為以為直徑的圓過橢圓的左頂點，所以有，
即：
直線與橢圓的方程聯立，得：
因此，
因此由可得：，化簡得：
當時，直線方程為
該直線恒過定點，這與已知矛盾，故舍去；
當時，直線方程為
該直線恒過定點，綜上所述：直線過定點. ……………………………12分
第 2 頁 (共 4 頁)彌勒市2021-2022學年高二上學期12月第四次月考
數學試卷
滿分：150分 考試時間：120分鐘
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．在復平面內，復數對應的點在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知，，則等于
A． B． C． D．
3．已知，則
A． B． C． D．
4．函數且的圖象
A．關于軸對稱 B．關于軸對稱
C．關于直線對稱 D．關于坐標原點對稱
5．已知，則
A． B． C． D．
6．已知分別為雙曲線的左右焦點，過作一條直線與雙曲線的右支交于兩點，若,則的周長為
A． B． C． D．
7．定義在R上的函數滿足，則可以是
A． B．
C． D．
8．直三棱柱中，，，則直線與所成角為
A． B． C． D．
9．等差數列中，，其前項和為，則
A． B． C． D．
10．若直線被圓所截得的弦長為，則實數的值為（ ）A．或3 B．或3 C．0或4 D．或6
11．數列的前項和為，且滿足，，則
A． B． C． D．
12．已知正四棱錐的側棱長為，底面邊長為，則該四棱錐的內切球的表面積為
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在答題卡上作答．
13．甲，乙，丙三個同學獨立求解同一道數學題，他們各自解出該數學題的概率分別為，
則這道數學題被解出來的概率為 ．
14．已知，則 ．
15．已知單位向量滿足，若，則 ．
16．已知點為橢圓上任意一點，是圓的一條直徑，則的最大值與最小值的和為 .
三、解答題：共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若a=2，的面積為，求b，c的值.
18．（本小題滿分12分）某市政府隨機抽取100戶居民用戶進行月用電量調査，發現他們的用電量都在50～350度之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求直方圖中x的值，并估計居民月用電量的眾數；
（2）為了既滿足居民的基本用電需求，又能提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，使75%的居民繳費在第一檔，請確定第一檔用電標準的度數（精確到個位數字）；
（3）用分層抽樣的方法在和兩組中抽取5戶居民作為節能代表，從節能代表中隨機選取2戶進行采訪，求這2戶來自不同組的概率．
19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，側面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點E為的中點.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（本小題滿分12分）已知數列的前項和，定義，數列的前項和，定義，數列的前項和.
（1）分別求數列和數列的通項公式，；
（2）證明
21．（本小題滿分12分）已知定義域為R的函數是奇函數．
（1）求實數a的值，并判斷函數的單調性（給出結論即可）；
（2）若不等式對任意的恒成立，求實數t的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）已知橢圓的短軸長為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓相交于A,B兩點（A,B不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的左頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
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