資源簡介

衡陽市部分學校2022屆高三上學期12月第五次月考
數學試題
請注意：時量：120分 分值：150分
一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，則
A． B． C． D．
2．已知復數，則
A．3 B．5 C． D．
3．設向量，，則與夾角的余弦值為
A．0 B． C． D. 1
4．一個袋子中裝有大小形狀完全相同的個白球和個黑球，從中一次摸出個球，則摸出白球個數多于黑球個數的概率為
A． B． C． D．
5. 已知是數列的前項和，且滿足，則
A． B． C． D．
6. 某化工廠產生的廢氣經過過濾后排放，以模型去擬合過濾過程中廢氣的污染物濃度與時間之間的一組數據，為了求出線性回歸方程，設，其變換后得到線性回歸方程為，則當經過后，預報廢氣的污染物濃度為
A． B． C． D．
7. 已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于A,B兩點，若,則雙曲線的離心率為
A． B． C． D．
8．已知，則下列關系不可能成立的是
A． B． C． D．
二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。
9. 已知函數的部分圖象如圖所示，下列結論正確的是
A．
B．的圖象關于直線對稱
C．將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象
D．若，則
10.下列說法中正確的是
A.已知隨機變量X服從二項分布,則
B.已知隨機變量X服從正態分布且,則
C.已知隨機變量X的方差,則
D．“A與B是互斥事件”是 “A與B是對立事件”的必要不充分條件
11．拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經過C上的點A反射后，再經C上另一點B反射后，沿直線射出，經過點Q．下列說法正確的是
A．若，則
B．若，則
C．若，則平分
D．若，延長交直線于點M，則M，B，Q三點共線
12.如圖，正方形與正方形邊長均為1，平面與平面互相垂直，是上的一個動點，則以下結論正確的是
A．的最小值為
B．的最小值為
C．當在直線上運動時，三棱錐的體積不變
D．三棱錐的外接球表面積為
三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．求的展開式中的系數為____________
14．已知角的終邊經過點，若，則____________
15．已知公差不為的等差數列的前項和為，若，則的最小值為____________
16. 已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，
則的值為______；若函數有唯一零點，則實數的值為______.
四．解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本題10分）已知數列滿足，，.記.
（1）證明：是等比數列.
（2）設，求數列的前n項和.
18.（本題12分）在中，角的對邊分別是，已知且
求證：
求的面積
19．（本題12分）某學校為了了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，結果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現將結果按如下方式分為6組：第一組[45，50)，第二組[50，55)，…，第六組[70，75)，得到如下圖(1)所示的頻率分布直方圖，并發現這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重數據的莖葉圖如圖(2)所示，以樣本的頻率作為總體的概率．
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)從全校學生中隨機抽取3名學生，記X為體重在[55，65)的人數，求X的概率分布列和數學期望；
(3)由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重近似服從正態分布，其中若，則認為該校學生體重是正常的．試判斷該校學生的體重是否正常 并說明理由．
20．（本題12分）如圖，為圓的直徑，點在圓上，且為等腰梯形，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知．
（1）求證：平面平面；
（2）當的長為何值時，二面角的大小為．
21．（本題12分）已知平面內動點與點和點的連線的斜率之積為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點的直線與曲線交于，兩點，且（），求直線斜率的取值范圍.
22．（本題12分）已知，函數，．
（1）討論的單調性；
（2）過原點分別作曲線和的切線和，求證：存在，使得切線和的斜率互為倒數；
（3）若函數的圖象與軸交于兩點，，且．設，其中常數、滿足條件，，試判斷函數在點處的切線斜率的正負，并說明理由．
2 / 2衡陽市部分學校2022屆高三上學期12月第五次月考
(數學)試題解析
請注意：時量：120分 分值：150分
一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，則 ( C )
A． B． C． D．
2．已知復數，則( C )
A．3 B．5 C． D．
3．設向量，，則與夾角的余弦值為( B )
A．0 B． C． D. 1
4．一個袋子中裝有大小形狀完全相同的個白球和個黑球，從中一次摸出個球，則摸出白球個數多于黑球個數的概率為 ( C )
A． B． C． D．
5. 已知是數列的前項和，且滿足，則 ( D )
A． B． C． D．
6. 某化工廠產生的廢氣經過過濾后排放，以模型去擬合過濾過程中廢氣的污染物濃度與時間之間的一組數據，為了求出線性回歸方程，設，其變換后得到線性回歸方程為，則當經過后，預報廢氣的污染物濃度為( D )
A． B． C． D．
【詳解】當時， ，所以.
7. 已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于A,B兩點，若,則雙曲線的離心率為( C )
A． B． C． D．
8．已知，則下列關系不可能成立的是（ D ）
A． B． C． D．
【詳解】依題意，令，則，，，
令，，和，則a，b，c可分別視為函數，，的圖象與直線交點的橫坐標，
觀察圖象得：當時，，當時，，當時，，顯然不可能，所以不可能成立的是.
二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。
9. 已知函數的部分圖象如圖所示，下列結論正確的是 ( CD)
A．
B．的圖象關于直線對稱
C．將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象
D．若，則
解析：由圖可知，函數的最小正周期為，則，
，得，所以，，得，，得，所以，A項錯誤；
將的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，C項正確；
，故B項錯誤；
的最小正周期為，所以若，則，故D項正確，
10.下列說法中正確的是 ( BD)
A.已知隨機變量X服從二項分布,則
B.已知隨機變量X服從正態分布且,則
C.已知隨機變量X的方差,則
D．“A與B是互斥事件”是 “A與B是對立事件”的必要不充分條件
11．拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經過C上的點A反射后，再經C上另一點B反射后，沿直線射出，經過點Q．下列說法正確的是(ACD )
A．若，則
B．若，則
C．若，則平分
D．若，延長交直線于點M，則M，B，Q三點共線
【詳解】如圖，若，則，C的焦點為，則，選項A正確；
延長交直線于點M，則，M，B，Q三點共線，選項D正確；
若，則，C的焦點為，直線，可得，選項B不正確；
時，因為，所以．又，所以平分，選項C正確．
12.如圖，正方形與正方形邊長均為1，平面與平面互相垂直，是上的一個動點，則以下結論正確的是（ CD ）
A．的最小值為
B．的最小值為
C．當在直線上運動時，三棱錐的體積不變
D．三棱錐的外接球表面積為
對于A，連接，，因為
故得到平面，，
易得，故A錯誤；
對于B，如圖，將翻折到與平面共面，則當、、三點共線時，
取得最小值，
，故B錯誤；
對于C，做于，在直線上運動時，
的面積等于矩形面積的一半，矩形的面積為定值，故的面積是定值，點到面的距離為 故三棱錐的體積不變，故C正確；
對于D，將該幾何體補成正方體，則外接球半徑為,外接球表面積故D正確．
三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．求的展開式中的系數為____14________
14．已知角的終邊經過點，若，則____________
15．已知公差不為的等差數列的前項和為，若，則的最小值為___
（1）當，
，所以的最小值為.
（2）當，不合題意.
16. 已知函數，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且，
則的值為__1____；若函數有唯一零點，則實數的值為_或
∵,分別是定義在R上的偶函數和奇函數，，
∴，又∵①，
∴② +②：，∴,
又∵
換元設 又∵有唯一零點，等價于有唯一解，
設，∵為偶函數，∴當且僅當時為唯一零點，
∴，解得或.
四．解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本題10分）已知數列滿足，，.記.
（1）證明：是等比數列.
（2）設，求數列的前n項和.
證明：因為，所以，整理得，
因為，所以是首項為2，公比為2的等比數列.
（2）解：由（1）易知，因為，
所以.
18.（本題12分）在中，角的對邊分別是，已知且
求證：
求的面積
19．（本題12分）某學校為了了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數據，結果這100人的體重全部介于45公斤到75公斤之間，現將結果按如下方式分為6組：第一組[45，50)，第二組[50，55)，…，第六組[70，75)，得到如下圖(1)所示的頻率分布直方圖，并發現這100人中，其體重低于55公斤的有15人，這15人體重數據的莖葉圖如圖(2)所示，以樣本的頻率作為總體的概率．
(I)求頻率分布直方圖中的值；
(II)從全校學生中隨機抽取3名學生，記X為體重在[55，65)的人數，求X的概率分布列和數學期望；
(III)由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重近似服從正態分布，其中若，則認為該校學生體重是正常的．試判斷該校學生的體重是否正常 并說明理由．
解：(Ⅰ)由圖（2）知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人，
用樣本的頻率估計總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為，則，
在上有13人，該組的頻率為0.13，則，所以，即c=0.07.
(Ⅱ)用樣本的頻率估計總體的概率，可知從全體學生中隨機抽取一人，體重在的概率為0.07×10=0.7，隨機抽取3人，相當于三次獨立重復試驗，隨機變量X服從二項分布，E(X)=2.1
則，，，
，所以，X的概率分布列為：
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
(Ⅲ)由N(60,25)得由圖（2）知.
所以可以認為該校學生的體重是正常的.
20．（本題12分）如圖，為圓的直徑，點在圓上，且為等腰梯形，矩形和圓所在的平面互相垂直，已知．
（1）求證：平面平面；
（2）當的長為何值時，二面角的大小為．
（1）證明：平面平面，且，平面平面，所以平面，
因為平面，所以，又因為為圓的直徑，所以，所以平面，又由平面，所以平面平面.
（2）解：設的中點分別為，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，
設，則點D的坐標為，
則，設平面的法向量為)，則，即，取，可得，則，
由（1）可知平面，平面的一個法向量為，
則，
因為二面角的大小為，可得 解得，所以線段的長為.
21．（本題12分）已知平面內動點與點和點的連線的斜率之積為.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點的直線與曲線交于，兩點，且（），求直線斜率的取值范圍.
（1）設，則，整理可得：，即，
所以動點的軌跡的方程為，
（2）由題意可知直線的斜率存在且不為，
設，，直線的方程為：，由可得：，
所以，，
因為， 所以，，
所以，即，
因為在上單調遞減，所以，
所以，因為，由可得：，
所以直線的斜率或.所以直線斜率的取值范圍為.
22．（本題12分）已知，函數，．
（1）討論的單調性；
（2）過原點分別作曲線和的切線和，求證：存在，使得切線和的斜率互為倒數；
（3）若函數的圖象與軸交于兩點，，且．設，其中常數、滿足條件，，試判斷函數在點處的切線斜率的正負，并說明理由．
（1）的定義域是，，時，恒成立，在遞增，
時，時，，時，，
的增區間是，減區間是．
（2），，
設的切線方程是，則，顯然，，切點為，
于是，解得，所以的斜率為，于是的斜率為
設的切點坐標為，由，，
又，所以，整理得，
設，，
當時，，遞增，而，所以 ，
時，，遞減，又，
所以存在，使得，因此關于的方程有正數解．
所以存在，使得切線和的斜率互為倒數；
（3），，
因為函數的圖象與軸交于兩2點，，且．
所以，兩式相減得：，
，
因為，，所以，又，，所以，
下面考慮即的符號，
令，，設，，
，
因為，所以，，所以在上恒成立，
所以在上是增函數，所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以函數在點處的切線斜率為正．
2 / 2

展開更多......

收起↑