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【滬教版2020】必修 第一冊 章節 知識點 內容提要解讀與例析
【學生版】
《第 5 章 函數的概念、性質及應用》知識點解讀與例析（1）
【本章目錄】
5.1 函數
5.1.1 函數；5.1.2 函數的表示方法；
知識點1、函數的概念
一般地，設D是非空的 ，且對D中任意給定的實數x，按照某種確定法則，都有 的實數值y與之對應，則這種對應關系稱為集合D上的一個函數；記作： ， .
知識點2、函數的定義域、值域
對于函數y＝f(x)，x∈D；其中x叫做自變量，其取值范圍（數集D）稱為 該函數的 ；
對于自變量x0，由法則f所確定的x0所對應的值y0，稱為函數在x0處的函數值，記作y0=f(x0)；所有函數值組成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}稱為這個函數的 ；
知識點3、兩個函數相同
如果兩個函數的定義域和對應法則都完全一致，就稱這兩個 的.（同一個對應法則可能有不同的表述形式）例如：與；
知識點4、函數的表示方法
（1）用一個數學表達式來表示兩個變量之間的對應法則，這種表示函數的方法稱為 ；
（2）對于函數；由（其中）的全體組成的集合叫做函數圖像；這種表示函數的方法方法叫做 ；
（3）通過列出自變量的值與對應函數值的相應表格來表達函數關系的方法叫做 ；
知識點5、分段函數
若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做 ；分段函數雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數；
【說明】（1）若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數；（2）分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數；
【拓展】知識點6、復合函數
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復合函數y＝f(g(x))的外層函數，
u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內層函數；
5.2 函數的基本性質
5.2.1 函數的奇偶性；5.2.2 函數的單調性；5.2.3 函數的最值；
知識點7、 函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖像特點
如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是 關于y軸對稱
如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是 關于原點對稱
【注意】1、如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0；2、如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)；3、奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.
4、對稱性的三個常用結論
（1）若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
（2）若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
（3）若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.；
5、深入理解函數的奇偶性要注意以下四點：
（1）函數的單調性是函數“局部”性質，而奇偶性是函數的“整體”性質，只有對其定義域內的每一個x，都有（或），才能說是奇（或偶）函數；
（2）函數是奇函數或偶函數的一個必不可少的條件：定義域關于原點對稱.換言之，若所給函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性，例如，函數在區間上是偶函數，但在區間是無奇偶性可言；
（3）若奇函數在原點處有定義，則必有 ；
（4）若，且，則既是奇函數又是偶函數，既奇又偶的函數有且只有一類，即是關于原點對稱的非空實數集；
【特別注意】函數的奇偶性與單調性的差異：奇偶性是函數在定義域上的對稱性，單調性是反映函數在某一區間上的函數值的變化趨勢，奇偶性是相對于函數的整個定義域來說的，這一點與函數的單調性不同，從這個意義上講，函數的單調性是函數“局部”性質，而奇偶性是函數的“整體”性質；
6、 奇偶函數的圖像特征
（1）奇函數的圖像是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數的圖像是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
（2）偶函數的圖像是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數的圖像是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函數是偶函數；
（3）應用：
①如果知道一個函數是奇函數或偶函數，那么只要把它的定義域分成關于原點對稱的兩部分，得出函數在一部分上的性質和圖像，就可以推出這個函數在另一部分上的性質和圖像；
②如果為奇函數，點在其圖像上，那么點，即點也在的圖像上；
③如果為偶函數，點在其圖像上，那么點，即點也在的圖像上；
知識點8、函數的單調性
（1）單調函數的定義
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當x1圖像描述 自左向右看圖像是上升的 自左向右看圖像是下降的
（2）嚴格單調函數的定義
對于定義在D上的函數y=f(x)，設區間I是D的一個子集；對于區間I上的任意給定的兩個自變量的值x1，x2，當x1如果總成立f(x1)如果總成立f(x1)>f(x2)，就稱函數y=f(x)在區間I上是 減函數；
（3）單調函數與單調區間的定義
如果函數y=f(x)在某個區間I上是增（減）函數，那么就稱函數y=f(x)在區間I上是單調函數；
并稱區間I是函數y=f(x)的一個單調區間；
【注意】
1、證明函數單調性的步驟
（1）取值.設是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；
（2）變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
（3）定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；
（4）得出結論；
2、【易錯點】提醒：
①單調區間與定義域的關系----單調區間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；
②單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的；
③不能隨意合并兩個單調區間；
④有的函數不具有單調性；
3、一些常見結論
（1）若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
（2）若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減)函數；
（3）若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
若且為減函數，則函數為減函數，為增函數；
4、“對勾函數”y＝x＋(a>0)的嚴格單調增區間為(－∞，－)，(，＋∞)；
嚴格單調減區間是[－，0)，(0，].
知識點9、函數的最值
前提 設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足
條件 （1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)＝M （3）對于任意的x∈I，都有f(x)≥m；（4）存在x0∈I，使得f(x0)＝m
結論 M為最大值 m為最小值
5.3 函數的應用
5.3.1 函數關系的建立；5.3.2 用函數觀點求解方程與不等式；5.3.3 用二分法求函數的零點
知識點10、函數關系的建立
在研究某些數學問題時，所研究的變量往往依賴于另一個變量，此時就需要建立這兩個變量之間的函數關系；
【注意】易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性；
知識點11、函數的零點
（1）函數零點的概念
對于函數y＝f(x)，把使f(x)＝0的 叫做函數y＝f(x)的零點.
函數零點的意義：函數的零點就是方程 ，亦即函數的圖像與軸交點的 ；
即：函數有零點方程有實數根函數的圖像與軸有交點；
（2）零點存在性定理
如果函數y＝f(x)滿足：①在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.
（3）函數零點與方程根的關系
方程f(x)＝0有實數根 函數y＝f(x)的圖像與x軸有交點 函數y＝f(x)有零點.
【注意】1、若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點，函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根.
2、由函數y＝f(x)(圖像是連續不斷的)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件；
3、并不是所有的函數都有零點，如函數就沒有零點；
4、函數零點的求法
（1）代數法：求函數零點就是求相應方程的實數根。一般可以借助于求根公式、因式分解、運算性質等求出方程的根；
（2）幾何法：對于不能用求根公式求解的方程，可以將它與函數的圖像聯系起來，借助圖像；
5、判斷零點是否存在的方法
（1）直接解方程，若有解，則存在零點；
（2）利用函數零點存在性定理判斷函數是否在區間上存在零點，除需判斷是否成立外，還需判斷函數在區間上是否為連續曲線.
6、判斷函數零點個數的主要方法：
（1）直接求出函數零點進行判斷；
（2）由函數，得，在同一平面坐標系下作出和的圖象，利用圖象判定與圖象的交點個數，也就是方程根的個數，即函數的零點個數；
（3）借助函數的單調性及函數零點存在性定理進行判斷.
知識點12、二分法
二分法求函數零點近似值的步驟
（1）確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f(a)f(b)＜0.
（2）求區間(a，b)的中點c.
（3）計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間：
①若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點；
②若f(a)f(c)＜0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c；
（4）判斷是否達到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟（2）～（4）；
*5.4 反函數
5.4.1 反函數的概念；5.4.2 反函數的圖像
知識點13、反函數
對于函數，記其值域為；如果對中任意一個值，在中總有唯一確定的值與它對應，且滿足；那么得到的關于的函數叫做的反函數，記作，；
由于習慣上，自變量常用表示，而函數值常用表示，因此把該函數改寫為；
知識點14、命題
在平面直角坐標系中，點P(a,b)與點P’(b,a)關于直線y=x對稱；
知識點15、互為反函數的圖像性質
互為反函數的兩函數的圖像關于直線y=x對稱；
【注意】互為反函數的兩個函數的關系：
①從函數角度看：若函數有反函數，則的反函數是，即和互為反函數。反函數的定義域與值域恰好是原函數的值域與定義域；
②從函數圖像看：原函數和反函數圖像關于對稱；
③從單調性來看：原函數和反函數均為單調函數，他們具有相同的單調性；
④若點在圖像上，則必在圖像上；
⑤已知，求，可利用，從中求出，即是.
⑥一些常用的結論：
（1）定義域上的單調函數必有反函數；
（2）奇函數若存在反函數，則其反函數也是奇函數；
（3）定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數；
【教師版】
《第 5 章 函數的概念、性質及應用》知識點解讀與例析（1）
【本章目錄】
5.1 函數
5.1.1 函數；5.1.2 函數的表示方法；
知識點1、函數的概念
一般地，設D是非空的實數集，且對D中任意給定的實數x，按照某種確定法則，都有唯一確定的實數值y與之對應，則這種對應關系稱為集合D上的一個函數；記作：y＝f(x)，x∈D.
知識點2、函數的定義域、值域
對于函數y＝f(x)，x∈D；其中x叫做自變量，其取值范圍（數集D）稱為 該函數的定義域；
對于自變量x0，由法則f所確定的x0所對應的值y0，稱為函數在x0處的函數值，記作y0=f(x0)；所有函數值組成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}稱為這個函數的值域；
知識點3、兩個函數相同
如果兩個函數的定義域和對應法則都完全一致，就稱這兩個函數是相同的.（同一個對應法則可能有不同的表述形式）例如：與；
知識點4、函數的表示方法
（1）用一個數學表達式來表示兩個變量之間的對應法則，這種表示函數的方法稱為解析法；
（2）對于函數；由（其中）的全體組成的集合叫做函數圖像；這種表示函數的方法方法叫做圖像法；
（3）通過列出自變量的值與對應函數值的相應表格來表達函數關系的方法叫做列表法；
知識點5、分段函數
若函數在其定義域內，對于定義域內的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數通常叫做分段函數；分段函數雖然由幾部分組成，但它表示的是一個函數；
【說明】（1）若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數；（2）分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，其值域等于各段函數的值域的并集，分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數；
【拓展】知識點6、復合函數
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做復合函數y＝f(g(x))的外層函數，
u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的內層函數；
5.2 函數的基本性質
5.2.1 函數的奇偶性；5.2.2 函數的單調性；5.2.3 函數的最值；
知識點7、 函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖像特點
偶函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)是偶函數 關于y軸對稱
奇函數 如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)是奇函數 關于原點對稱
【注意】1、如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0；2、如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)；3、奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性.
4、對稱性的三個常用結論
（1）若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
（2）若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
（3）若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.；
5、深入理解函數的奇偶性要注意以下四點：
（1）函數的單調性是函數“局部”性質，而奇偶性是函數的“整體”性質，只有對其定義域內的每一個x，都有（或），才能說是奇（或偶）函數；
（2）函數是奇函數或偶函數的一個必不可少的條件：定義域關于原點對稱.換言之，若所給函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性，例如，函數在區間上是偶函數，但在區間是無奇偶性可言；
（3）若奇函數在原點處有定義，則必有；
（4）若，且，則既是奇函數又是偶函數，既奇又偶的函數有且只有一類，即是關于原點對稱的非空實數集；
【特別注意】函數的奇偶性與單調性的差異：奇偶性是函數在定義域上的對稱性，單調性是反映函數在某一區間上的函數值的變化趨勢，奇偶性是相對于函數的整個定義域來說的，這一點與函數的單調性不同，從這個意義上講，函數的單調性是函數“局部”性質，而奇偶性是函數的“整體”性質；
6、 奇偶函數的圖像特征
（1）奇函數的圖像是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數的圖像是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
（2）偶函數的圖像是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數的圖像是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函數是偶函數；
（3）應用：
①如果知道一個函數是奇函數或偶函數，那么只要把它的定義域分成關于原點對稱的兩部分，得出函數在一部分上的性質和圖像，就可以推出這個函數在另一部分上的性質和圖像；
②如果為奇函數，點在其圖像上，那么點，即點也在的圖像上；
③如果為偶函數，點在其圖像上，那么點，即點也在的圖像上；
知識點8、函數的單調性
（1）單調函數的定義
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2
當x1圖像描述 自左向右看圖像是上升的 自左向右看圖像是下降的
（2）嚴格單調函數的定義
對于定義在D上的函數y=f(x)，設區間I是D的一個子集；對于區間I上的任意給定的兩個自變量的值x1，x2，當x1如果總成立f(x1)如果總成立f(x1)>f(x2)，就稱函數y=f(x)在區間I上是嚴格減函數；
（3）單調函數與單調區間的定義
如果函數y=f(x)在某個區間I上是增（減）函數，那么就稱函數y=f(x)在區間I上是單調函數；
并稱區間I是函數y=f(x)的一個單調區間；
【注意】
1、證明函數單調性的步驟
（1）取值.設是定義域內一個區間上的任意兩個量，且；
（2）變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
（3）定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；
（4）得出結論；
2、【易錯點】提醒：
①單調區間與定義域的關系----單調區間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；
②單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的；
③不能隨意合并兩個單調區間；
④有的函數不具有單調性；
3、一些常見結論
（1）若是增函數，則為減函數；若是減函數，則為增函數；
（2）若和均為增（或減）函數，則在和的公共定義域上為增（或減)函數；
（3）若且為增函數，則函數為增函數，為減函數；
若且為減函數，則函數為減函數，為增函數；
4、“對勾函數”y＝x＋(a>0)的嚴格單調增區間為(－∞，－)，(，＋∞)；
嚴格單調減區間是[－，0)，(0，].
知識點9、函數的最值
前提 設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足
條件 （1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)＝M （3）對于任意的x∈I，都有f(x)≥m；（4）存在x0∈I，使得f(x0)＝m
結論 M為最大值 m為最小值
5.3 函數的應用
5.3.1 函數關系的建立；5.3.2 用函數觀點求解方程與不等式；5.3.3 用二分法求函數的零點
知識點10、函數關系的建立
在研究某些數學問題時，所研究的變量往往依賴于另一個變量，此時就需要建立這兩個變量之間的函數關系；
【注意】易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數的定義域，必須驗證數學結果對實際問題的合理性；
知識點11、函數的零點
（1）函數零點的概念
對于函數y＝f(x)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)的零點.
函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖像與軸交點的橫坐標；
即：函數有零點方程有實數根函數的圖像與軸有交點；
（2）零點存在性定理
如果函數y＝f(x)滿足：①在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線；②f(a)·f(b)<0；則函數y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根.
（3）函數零點與方程根的關系
方程f(x)＝0有實數根 函數y＝f(x)的圖像與x軸有交點 函數y＝f(x)有零點.
【注意】1、若連續不斷的函數f(x)在定義域上是單調函數，則f(x)至多有一個零點，函數的零點不是一個“點”，而是方程f(x)＝0的實根.
2、由函數y＝f(x)(圖像是連續不斷的)在閉區間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區間[a，b]上有零點的充分不必要條件；
3、并不是所有的函數都有零點，如函數就沒有零點；
4、函數零點的求法
（1）代數法：求函數零點就是求相應方程的實數根。一般可以借助于求根公式、因式分解、運算性質等求出方程的根；
（2）幾何法：對于不能用求根公式求解的方程，可以將它與函數的圖像聯系起來，借助圖像；
5、判斷零點是否存在的方法
（1）直接解方程，若有解，則存在零點；
（2）利用函數零點存在性定理判斷函數是否在區間上存在零點，除需判斷是否成立外，還需判斷函數在區間上是否為連續曲線.
6、判斷函數零點個數的主要方法：
（1）直接求出函數零點進行判斷；
（2）由函數，得，在同一平面坐標系下作出和的圖象，利用圖象判定與圖象的交點個數，也就是方程根的個數，即函數的零點個數；
（3）借助函數的單調性及函數零點存在性定理進行判斷.
知識點12、二分法
二分法求函數零點近似值的步驟
（1）確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f(a)f(b)＜0.
（2）求區間(a，b)的中點c.
（3）計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間：
①若f(c)＝0(此時x0＝c)，則c就是函數的零點；
②若f(a)f(c)＜0(此時x0∈(a，c))，則令b＝c；
③若f(c)f(b)＜0(此時x0∈(c，b))，則令a＝c；
（4）判斷是否達到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟（2）～（4）；
*5.4 反函數
5.4.1 反函數的概念；5.4.2 反函數的圖像
知識點13、反函數
對于函數，記其值域為；如果對中任意一個值，在中總有唯一確定的值與它對應，且滿足；那么得到的關于的函數叫做的反函數，記作，；
由于習慣上，自變量常用表示，而函數值常用表示，因此把該函數改寫為；
知識點14、命題
在平面直角坐標系中，點P(a,b)與點P’(b,a)關于直線y=x對稱；
知識點15、互為反函數的圖像性質
互為反函數的兩函數的圖像關于直線y=x對稱；
【注意】互為反函數的兩個函數的關系：
①從函數角度看：若函數有反函數，則的反函數是，即和互為反函數。反函數的定義域與值域恰好是原函數的值域與定義域；
②從函數圖像看：原函數和反函數圖像關于對稱；
③從單調性來看：原函數和反函數均為單調函數，他們具有相同的單調性；
④若點在圖像上，則必在圖像上；
⑤已知，求，可利用，從中求出，即是.
⑥一些常用的結論：
（1）定義域上的單調函數必有反函數；
（2）奇函數若存在反函數，則其反函數也是奇函數；
（3）定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數；
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普通高中教科書 數學 必修 第一冊（上海教育出版社）

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