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利用曲線系方程巧解解析幾何試題
“曲線系方程”法,為解決一類解析幾何問題提供了新的思路,相較于聯立直線與曲線方程的通法,該法過程簡潔、計算量小,可以提高解題效率。
若兩曲線有公共點,則過點的曲線系方程為(不包含曲線).
由此不難得到:
(1)若兩直線與曲線共有四個交點,則過四點的曲線系方程為(不包含曲線);
(2)若直線交于點,直線交于點,過M,N兩點的曲線系方程為
一、求曲線的方程問題
例1.求過橢圓與拋物線的交點,且與直線相切的二次曲線方程.
解析:設所求曲線方程為,
即,與聯立,
得.
由題知,解得,
所以滿足條件的曲線方程為.
二、求斜率為定值問題
例2.已知拋物線上三點,若直線AB,AC的斜率互為相反數,則直線BC的斜率為_________
解析:將代人,得,則拋物線方程為.
設,
聯立
得.
由于A,B,C三點的縱坐標為該方程的三個根,
所以B,C兩點縱坐標滿足.
又,所以.故直線BC的斜率為.
三、求斜率和為定值問題
例3.(2021年全國卷)在平面直角坐標系xOy中,已知點,點滿足2,記的軌跡為.設點在直線上,過點的兩條直線分別交于A,B兩點和P,Q兩點,且,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.
解析:設,直線AB與直線PQ的斜率分別為,
則直線AB與直線PQ的方程為,
則A,B,P,Q四點滿足方程.
又A,B,P,四點在曲線上,
所以A,B,P,Q四點滿足方程
又由圓的相交弦定理的逆定理知A,B,P,Q四點共圓.由圓的一般式知方程式①中項系數為0,得,則.故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.
四、求斜率積為定值問題
例4.已知橢圓上一點,過點的直線與橢圓交于A,B,兩點（異于點P），求證：直線PA與PB的斜率積為定值.
解析：設直線PA,PB的斜率分別為,
則,
故P,A,B三點滿足方程1).
聯立,
整理,得.
由于P,A,B三點的縱坐標為該方程的根,
所以A,B兩點坐標滿足,
即為直線AB的方程.由直線AB過點,
則1),即.
故直線PA與直線PB的斜率積為定值.
五、求數量積為定值問題
例5.已知A,B為橢圓的左、右頂點,過其焦點的直線與橢圓交于C,D兩點,并與軸交于點(異于A,B)，直線AC,BD交于點,求證為定值.
解析：由題知,則.
設直線CD,AC,BD的斜率分別為,
則,
于是,,則.
由題知A,B,C,D四點滿足方程.,
即.
而A,B,C,D四點在橢圓上,則,且.
于是.故為定值.
六、求直線過定點問題
例6.已知A,B分別為橢圓的左、右頂點,為的上頂點,為直線上的動點,PA與的另一個交點為C,PB與的另一個交點為.
證明:直線CD過定點.
解析:設,則.
當時,直線CD即為軸;
當時,因為,所以,則.
設直線BC,BD的斜率分別為,
則,且.
于是B,C,D三點滿足方程.
聯立,得.
易知B,C,D三點的橫坐標為該方程的三個根,
所以.由及的任意性,知直線CD過定點
七、求圓過定點問題
例7已知拋物線經過點.設為原點,過拋物線的焦點作斜率不為0的直線交拋物線于兩點M,N,且直線分別交直線OM,ON于點和點.
求證:以AB為直徑的圓經過軸上的兩個定點.
解析:設,直線OM,ON的斜率分別為,
則,且.
于是O,M,N二點滿足方程,即.
聯立,整理,得.
易知點的坐標為該方程的三根,
則.
又焦點在直線MN上,所以,
即,即,解得.
以AB$直徑的圓的方程為,
令,得,即或.
故以AB為直徑的圓經過軸上的定點和.
八、求四點共圓問題
例8.已知橢圓,設不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點A,B,線段AB的中點為,直線OM與橢圓交于C,D兩點,求證:A,B,C,D四點共圓.
解析:設,
則.兩式相減,得,
整理得.
則有.
于是A,B,C,D滿足方程0.
又A,B,C,D四點滿足方程,
所以A,B,C,D四點滿足方程,
即.
令,得,有,
即,此即為, 四點所在的圓的方程.

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